资源简介

24.1.2　垂直于弦的直径
素养目标
1.通过折叠、作图等方法,理解圆的轴对称性.
2.利用圆的轴对称性,探索垂径定理,理解垂径定理的内容.
3.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
◎重点:垂径定理、推论及其简单应用.
【预习导学】
知识点一：圆的轴对称性
阅读课本本课时“探究”至“圆是轴对称图形……”,解决下列问题.
1.按照课本“探究”的要求折纸,可以发现折线两侧的半圆 ,所有的折痕都交于一点,这点就是 .
2.要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在 .
3.如图,P为☉O上任意一点,AB为☉O的任意一条直径,请说明☉O关于直线AB对称,补全下面的说理过程.
证明:过点P作PM⊥AB于点M,延长PM交☉O于点P',连接OP,OP'.
在△OPP'中, ,且PP'⊥AB,
∴ (等腰三角形三线合一),
即 是PP'的垂直平分线,
∴圆上任意一点P关于直线AB的对称点也在圆上,
∴☉O关于直线 对称.
　　归纳总结　圆是 图形,对称轴是 ,有 条.
知识点二：垂径定理
阅读课本本课时“从上面的证明”至“例2”之前的内容,解决下列问题.
如图,在☉O中,弦AB(不是直径)与直径CD垂直,垂足为E,根据圆的轴对称性,当把☉O沿CD所在的直线折叠时,点A与点B重合.
学习小助手：　(1)线段AE与线段BE重合,所以AE BE,即直径CD平分弦AB;
(2)与 重合,所以= ,即直径CD平分 ;
(3) 与 重合,所以 = ,即直径CD平分 .
思考:直径CD与弦AB有怎样的位置关系 这样的一条直径CD平分了哪些量
归纳总结　 于弦的直径 弦,并且 弦所对的两条弧.
温馨提示　几何语言表示:∵CD为☉O的直径,CD⊥AB,∴AE=BE,=,=(垂径定理).
【合作探究】
任务驱动一：垂径定理及其推论
1.如图,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E,若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗 和相等吗 和呢
归纳总结　推论:平分弦(不是直径)的直径 于弦,并且 弦所对的两条弧.
思考:“垂径定理”中的“弦”为直径时,结论还成立吗 “推论”中“被平分的弦”为什么不能是直径 请简单说明理由.(可以画图说明)
任务驱动二：垂径定理的简单应用(图形计算)
2.如图,在☉O中,直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1 cm,EB=5 cm,且∠DEB=60°,求CD的长.
任务驱动三：垂径定理的实际应用
3.(应用意识)如图,这是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以点O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离是6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(结果精确到0.1 m)
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.重合　圆心
2.圆上
3.OP=OP'　PM=P'M　AB　AB
归纳总结
轴对称　直径所在的直线(或过圆心的直线)　无数
知识点二
(1)=
(2)　　
(3)　　　　
思考:
答:直径CD与弦AB垂直,直径CD平分了弦AB和弦AB所对的两条弧.
归纳总结
垂直　平分　平分
【合作探究】
任务驱动一
1.解:如图,连接OA,OB,则△AOB为等腰三角形.
∵AE=BE,
∴CD⊥AB(三线合一).
由垂径定理得=,=.
归纳总结
垂直　平分
思考:
答:垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立,如图1;推论中被平分的“弦”不是直径,如果这条弦是直径的话,任意两直径都互相平分,结论就不一定成立,如图2.
任务驱动二
2.解:如图,过点O作OP⊥CD于点P,连接OD,
∴CP=PD.
∵AE=1,EB=5,
∴AB=6,
∴OE=2.
在Rt△OPE中,∠DEB=60°,
∴∠POE=30°,
∴PE=OE=×2=1,
∴OP===,
∴PD==,
∴CD=2PD=2(cm).
任务驱动三
3.解:如图,连接OC,AB交CD于点E.
由题意知,AB=1.6+6.4+4=12,
所以OC=OB=6,
OE=OB-BE=6-4=2,
由题意可知,AB⊥CD,
∵AB过点O,
∴CD=2CE,
在Rt△OCE中,由勾股定理得CE===4,
∴CD=2CE=8≈11.3 m,
所以路面CD的宽度为11.3 m.

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