资源简介

24.1.3　弧、弦、圆心角
素养目标
1.理解圆心角的概念,并能够准确辨认圆心角所对的弧和弦.
2.利用圆的中心对称性,研究圆心角、弧、弦之间的关系,能利用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关的证明与计算问题.
◎重点:圆心角、弧、弦之间的关系.
【预习导学】
知识点一：圆的中心对称性
认真阅读课本中“探究”以及“探究”下面的一个自然段,按照“探究”中提供的方法研究圆的中心对称性.
归纳总结　圆是一个 对称图形, 是对称中心.把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得图形都与原图形 .
知识点二：圆心角及其所对的弦、弧
认真阅读课本中“探究”下面第二个自然段中关于“圆心角”的概念,填空:
揭示概念:顶点在 的角叫作圆心角.
知识点三：圆心角及其所对的弧、弦之间的关系定理
认真阅读课本“思考”至“例3”,并解决下面的问题.
(1)对于“思考”中提出的问题,你还有其他的说理方法吗
(2)如图,①若=,∠AOB=∠A'OB'吗 AB=A'B'吗
说理如下:旋转,使点A与点A'重合,则点B与点B'重合,可得AB= ,∠AOB= .说明在同圆或等圆中,当两条弧相等时,它们所对的 相等,所对的 相等.
②若AB=A'B',则∠AOB=∠A'OB'吗 两条弦所对的劣弧相等吗 优弧呢 试着说一说理由.
归纳总结　在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,那么它们所对的其余各组量 .
【讨论】上面结论中能否把条件“在同圆或等圆中”去掉 为什么 举反例说明.
【合作探究】
任务驱动一：圆心角及其所对弧、弦之间的关系定理的理解
1.下列说法中,正确的是 ( )
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦也相等
D.相等的弦所对的圆心角也相等
变式演练　
如图,在☉O中,=,则下列结论①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=∠BOD;④=中,所有正确的结论是
(填序号).
任务驱动二：圆心角、弧、弦之间的关系定理的应用
2.如图,已知AB和CD是☉O的两条直径,弦CE∥AB,所对的圆心角为40°,求∠BOD的度数.
　　变式演练　
如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.
(1)求证:=(方法指导:转化为证明所对的圆心角相等).
(2)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 为什么
参考答案
【预习导学】
知识点一
归纳总结
中心　圆心　重合
知识点二
提示概念:
圆心
知识点三
(1)答:可以用三角形全等证明两条弦相等.
在△AOB和△A'OB'中,OA=OA',∠AOB=∠A'OB',OB=OB',
∴△AOB≌△A'OB',∴AB=A'B'.
(2)①A'B'　∠A'OB'　圆心角　弦
②答:法一:利用旋转,使点A与点A'重合,则点B与点B'重合,可得∠AOB=∠A'OB',=.
法二:用三角形全等说明.因为AB=A'B',OA=OB=OA'=OB',所以△AOB≌△A'OB',所以∠AOB=∠A'OB',进而得到两弦所对的优弧相等,所对的劣弧也相等.
归纳总结
相等
【讨论】
答:不能去掉.
如图,虽然∠AOB=∠A'O'B',但AB≠A'B',≠.
【合作探究】
任务驱动一
1.B
变式演练　①②③④
任务驱动二
2.解,如图,连接OE.
由题意得∠COE=40°.
∵OC=OE,∴∠C=70°.
又∵CE∥AB,∴∠AOD=∠C=70°,
∴∠BOD=110°.
变式演练　
解:(1)如图,连接OM,ON.
在Rt△OCM和Rt△ODN中.
∵AC=BD,OA=OB,
∴OC=OD.
又∵OM=ON,
∴Rt△OCM≌Rt△ODN,
∴∠AOM=∠BON,∴=.
(2)成立.
由OC=OM,可知∠AOM=60°,
同理可知∠BON=60°,故∠MON=60°,
∴==.

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