资源简介

24.1.4 第2课时　圆内接四边形
素养目标
1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的定义.
2.能说出圆内接四边形的性质,并能灵活运用该性质解决问题.
◎重点:圆内接四边形的性质及应用.
【预习导学】
知识点一：圆内接多边形以及多边形的外接圆
认真阅读课本“例4”下面一个自然段,理解“圆内接多边形”“多边形的外接圆”,填空:
揭示概念:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫作 ,这个圆叫作这个多边形的 .
知识点二：圆内接四边形的性质
阅读课本“思考”至“练习”前的内容,解决下列问题.
如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.
(1)用彩色笔分别在图中画出∠BCD,∠BAD
所对的弧,并画出这些弧所对的圆心角(用∠1和∠2表示).
(2)由(1)中所画的图可知,∠1+∠2= ,根据圆周角定理可知∠BAD+∠BCD= ,同理可证∠ABC+∠ADC= .
归纳总结　圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角 .
【合作探究】
任务驱动一：圆内接四边形的外角与内角之间的关系及应用
1.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠DCE是四边形的一个外角.求证:∠DCE=∠BAD.
归纳总结　圆内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的 (简称内对角).
变式演练　
1.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点.若∠BAD=105°,则∠DCE的度数是 ( )
A.115°
B.105°
C.100°
D.95°
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,E为BC延长线上一点,连接AC,BD,若DA=DB,求证:CD平分∠ACE.
任务驱动二：圆内接四边形性质的应用
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分∠DBE,AD=5,CE=,求AE的值.
变式演练　
1.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,K为上一动点,AK,DC的延长线相交于点F,连接CK,KD.求证:∠AKD=∠CKF.
　　2.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)求证:BD为圆的直径.
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=3,求此圆半径的长.
参考答案
【预习导学】
知识点一
提示概念:
圆内接多边形　外接圆
知识点二
(1)解:
(2)360°　180°　180°
归纳总结
互补
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°.
又∵∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
归纳总结
对角
变式演练　1.B
2.证明:∵四边形ABCD内接于☉O,
∴∠DAB=∠DCE.
∵DA=DB,
∴∠DAB=∠DBA,
∴∠DBA=∠DCE.
∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角,
∴∠DBA=∠DCA,
∴∠DCA=∠DCE,即CD平分∠ACE.
任务驱动二
2.解:连接AC,如图.
∵BA平分∠DBE,
∴∠1=∠2.
∵∠1=∠CDA,∠2=∠3,
∴∠3=∠CDA,∴AC=AD=5.
∵AE⊥CB,∴∠AEC=90°,
∴AE===2.
变式演练
1.证明:如图,连接AD,∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角,∴∠CKF=∠ADC.
∵AB为☉O的直径, 弦CD⊥AB,
∴=,
∴∠ADC=∠AKD,
∴∠AKD=∠CKF.
2.解:(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴=.
∵∠BAC=∠ADB,
∴=,
∴+=+,
∴=,
∴是半圆,
∴BD是圆的直径.
(2)∵BD是圆的直径,
∴∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°.
∵BD是圆的直径,
∴BD垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵AC=AD,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ADC=60°.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=∠ADC=30°.
∵CF∥AD,
∴∠F+∠BAD=180°,
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∵∠FBC+∠ABC=180°,
∴∠FBC=∠ADC=60°,
∴BC=2BF=6.
∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,
∴BC=BD.
∵BD是圆的直径,
∴圆的半径长是6.

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