资源简介

24.2.2 第2课时　圆的切线
素养目标
1.会过圆上一点画圆的切线,通过探索得出切线的判定定理和性质定理.
2.能运用切线的判定定理和性质定理解决有关问题.
◎重点:切线的判定定理和性质定理.
【预习导学】
知识点一：切线的判定定理
认真阅读课本本课时第一个“思考”,回答其中的问题,并试着说一说你是如何判断直线l与☉O的位置关系的.
　　归纳总结　经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线.
温馨提示　根据圆的切线的判定定理,当一条直线同时满足以下两个条件时,才是圆的切线,缺一不可.①过半径的外端;②与这条半径垂直.
知识点二：切线的性质定理
认真阅读课本本课时的第二个“思考”,回答其中的问题.
归纳总结　圆的切线垂直于过 的半径.
温馨提示　切线的性质定理的几何语言表示:∵直线AB切☉O于点M,∴OM⊥AB.
【合作探究】
任务驱动一：证明一条直线是圆的切线的方法
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,过点A作AE⊥CD,交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.
(1)求证:AE是☉O的切线.
(2)已知AE=8 cm,CD=12 cm,求☉O的半径.
方法归纳交流　上述证切线的方法可简称为“连半径,证垂直”,当直线与圆的公共点不明确时(公共点没有用大写字母表示出来),过圆心作直线的 ,再利用“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”即可证明,简称为“作垂线,证相等”.
变式演练　
1.如图,已知☉O的半径为5,直线EF经过☉O上一点P(点E,F在点P的两旁),下列条件能判定直线EF与☉O相切的是 ( )
A.OP=5
B.OE=OF
C.点O到直线EF的距离是4
D.OP⊥EF
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上一点,DE=DC,以点D为圆心,DB的长为半径作☉D,AB=5,EB=3.
(1)求证:AC是☉D的切线.
(2)求线段AC的长.
任务驱动二：切线的性质定理的应用
2.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,大圆的弦AB切小圆于点C,求AB的长.
变式演练　
1.两个同心圆,大圆的弦AB切小圆于点C,AB=8,则圆环的面积为 .
2.如图,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,PC切☉O于点C,PC=3,PB=1,求☉O的半径.
3.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的切线,C是切点,弦CF⊥AB于点E,连接AC.
(1)求证:AC平分∠DCF.
(2)若AD⊥CD,BE=2,CF=8,求AD的长.
方法归纳交流　运用切线的性质解题时,连接半径,构造 ,利用 三角形的性质来解题.
参考答案
【预习导学】
知识点一
答:圆心到直线l的距离是OA,即圆的半径,所以直线l是☉O的切线,根据的是“如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线就是圆的切线”.
归纳总结
外端　垂直
知识点二
答:半径OA和直线l一定垂直.
归纳总结
切点
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)证明:如图,连接OA.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
∵DA平分∠BDE,
∴∠ODA=∠EDA,
∴∠OAD=∠EDA,
∴EC∥OA.
∵AE⊥CD,
∴AE⊥OA.
∵点A在☉O上,
∴AE是☉O的切线.
(2)如图,过点O作OF⊥CD,垂足为F.
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°,
∴四边形AOFE是矩形.
∴OF=AE=8 cm.
又∵OF⊥CD,
∴DF=CD=6 cm.
在Rt△ODF中,OD==10 cm,
即☉O的半径为10 cm.
方法归纳交流
垂线段
变式演练　1.D
2.解:(1)证明:如图,过点D作DF⊥AC于点F.
∵AB为☉D的切线,
∴∠B=90°,
∴AB⊥BC.
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,
∴BD=DF,
∴AC与☉D相切,
∴AC是☉D的切线.
(2)在△BDE和△FDC中,
∵BD=DF,DE=DC,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),
∴EB=FC.
∵AB=AF,
∴AB+EB=AF+FC,
即AB+EB=AC,
∴AC=5+3=8.
任务驱动二
2.解:如图,连接OA,OC.
∵弦AB切小圆于点C,∴OC⊥AB.
根据垂径定理可得AC=BC.
在Rt△OAC中,根据勾股定理可得AC=4,
∴AB=8.
变式演练　
1.16π
2.解:如图,连接OC.∵PC切☉O于点C,∴OC⊥PC.
设OC=OB=r,则OP=r+1.
在Rt△COP中,根据勾股定理可得r2+32=(r+1)2,
解得r=4,∴☉O的半径是4.
3.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵CD切☉O于点C,
∴∠OCD=90°,
∴∠ACD+∠ACO=90°.
∵CF⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACF+∠CAE=90°.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAE,
∴∠ACD=∠ACF,
∴AC平分∠DCF.
(2)由(1)可知,∠ACD=∠ACF.
∵CF⊥AB,CF=8,
∴CE=CF=4.
设☉O的半径为r,则OE=r-2,
在Rt△OEC中,OC2=OE2+CE2,
即r2=(r-2)2+42,
解得r=5,
∴AE=AB-BE=10-2=8.
∵∠ACD=∠ACF,AD⊥CD,CF⊥AB,
∴AD=AE=8.
方法归纳交流
垂直　直角

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