资源简介

24.2.2第3课时　切线长定理
素养目标
1.知道切线长的概念,三角形的内切圆、内心的概念.
2.探索切线长定理,并会利用切线长定理解决问题.
3.会画出三角形的内切圆,会利用三角形内心的性质解题.
◎重点:切线长定理及其应用;三角形的内心及其性质.
【预习导学】
知识点一：切线长的概念
认真阅读课本本课时第一自然段,理解“切线长”的概念,并解决下面的问题.
切线和切线长有什么不同
知识点二：切线长定理*
认真阅读课本本课时“探究”及其下面的证明过程,按照其中的活动要求操作,解决下面的问题.
(1)回答“探究”中提出的问题.
　　(2)说一说在证明“切线长定理”时,主要用到了哪些定理
归纳总结　从圆外一点可以引圆的 条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.
温馨提示　切线长定理的几何语言:∵PA,PB切☉O于点A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.
【合作探究】
任务驱动一：切线长定理的应用
1.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点为A,B,BC为☉O的直径,连接AB,AC,OP.
求证:(1)∠APB=2∠ABC.
　　(2)AC∥OP.
　　变式演练　
1.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P= °.
2.如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径,CF是☉O的切线,E为切点,点F在AD上,BE是☉O的弦,求△CDF的面积.
方法归纳交流　切线长定理包括 相等和 相等两个结论.当连接切线长定理中的两个切点时,可得等腰三角形、垂径定理等,所以利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等.
任务驱动二：直角三角形内切圆半径的求法
2.如图,直角三角形的直角边为a,b,斜边为c,内切圆的半径为r,与三边分别切于点D,E,F,请用直角三角形的三边长a,b,c表示内切圆半径r.
　　变式演练　
1.△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18 cm,BC=28 cm,CA=26 cm,求AF,BD,CE的长.
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.
(1)连接OA,OB,则∠AOB=　　　　.
(2)若BD=6,AD=4,求☉O的半径r.
方法归纳交流　若直角三角形的直角边为a,b,斜边为c,则这个直角三角形的内切圆的半径可以表示为　　　　　　　　　　.
参考答案
【预习导学】
知识点一
答:切线是直线,不可度量;切线长是指线段的长度.
知识点二
(1)答:PA=PB,∠APO=∠BPO.
(2)答:切线的性质定理——连半径,得垂直;用“HL”证明直角三角形全等;全等三角形的对应边相等、对应角相等.
归纳总结
两　相等　平分
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:(1)∵PA,PB是☉O的两条切线,
∴∠APO=∠BPO=∠APB,PA=PB,
∴PO⊥AB,∴∠ABP+∠BPO=90°.
∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB,∴∠ABP+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠BPO=∠APB,即∠APB=2∠ABC.
(2)∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,即AC⊥AB.
由(1)可知PO⊥AB,∴AC∥OP.
变式演练　1.76
2.解:设AF=x.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=90°,
∴DA⊥AB,
∴AD是☉O的切线.
∵CF是☉O的切线,E为切点,
∴EF=AF=x,
∴FD=1-x.
∵CB⊥AB,
∴CB 为☉O 的切线,
∴CB=CE,
∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x.
在Rt△CDF中,由勾股定理得到CF2=CD2+DF2,
即(1+x)2=1+(1-x)2,
解得x=,
∴DF=1-x=,
∴S△CDF=×1×=.
方法归纳交流
线段　角
任务驱动二
2.解:如图,连接OD,OE.∵☉O是△ABC的内切圆,∴OD⊥BC,OE⊥AC.
∵∠C=90°且CD=CE,∴四边形ODCE是正方形,
∴CD=CE=r,
∴BD=BC-CD=a-r,AE=AC-CE=b-r.
由切线长定理可得BF=BD=a-r,AF=AE=b-r,
∴(a-r)+(b-r)=c,
整理得r=.
变式演练　
1.解:根据切线长定理,得
AE=AF,BF=BD,CE=CD.
设AF=AE=x cm,
则CE=CD=(26-x)cm,
BF=BD=(18-x)cm.
∵BC=28 cm,
∴(18-x)+(26-x)=28,解得x=8,
∴AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm.
2.解:(1)135°.　提示:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴O为△ACB的内心,
∴∠OBA=∠ABC,∠OAB=∠CAB.
∵∠C=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°,
∴∠OBA+∠OAB=×90°=45°,
∴∠AOB=180°-∠45°=135°,
故答案为135°.
(2)如图,连接EO,FO.
∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,EC=CF.
又∵∠C=90°,
∴四边形ECFO是矩形.
又∵EO=FO,
∴矩形OECF是正方形.
设EO=x,
则EC=CF=x.
在Rt△ABC中,
BC2+AC2=AB2,
故(x+6)2+(x+4)2=102,
解得x1=2,x2=-12(不合题意,舍去),
即☉O的半径r为2.
方法归纳交流
r=或r=

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