资源简介

24.4　第1课时　弧长公式和扇形面积公式
素养目标
1.知道弧长、扇形面积的计算公式,会推导二者之间的关系.
2.会恰当熟练地运用公式计算弧长及扇形的面积,增强数学运用能力.
3.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程,体验从特殊到一般的学习方法.
◎重点:弧长及扇形面积公式的推导及应用.
【预习导学】
知识点一：弧长公式
认真阅读课本本课时“思考”至“例1”,完成下列“弧长公式”的推导:
将以圆心为顶点的周角360等分，则得到360个度数是1°的圆心角，每个圆心角所对的弧 (填“相等”或“不相等”),每条弧的长度等于圆周长的　　　　.设圆的半径为R,则圆的周长是 ,1°的圆心角所对的弧长是　　　　,n°的圆心角所对的弧长是　　　　.
归纳总结　在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l=　　　　.
知识点二：扇形面积公式
活动一:仿照“弧长公式”的推导过程,试着独立完成“扇形面积公式”的推导过程.
学习小助手：　在半径为R的圆中,将以圆心为顶点的周角360等分,则得到360个度数是1°的扇形,每个扇形的面积是圆面积的　　　　,即　　　　,n°的扇形的面积为　　　　 .
归纳总结　半径为R,圆心角为n°的扇形的面积S扇形=　　　　.
活动二:认真阅读课本本课时第二个“思考”下面一个自然段以及旁边的提示栏,解决下面的问题.
【讨论】为什么扇形的面积公式可以用弧长l和半径R表示为lR
【合作探究】
任务驱动一：弧长公式、扇形面积公式的变形应用
1.已知在☉O中,扇形的弧长为12π,所对的圆心角为40°,则☉O的半径为 ,扇形的面积为 .
变式演练　
1.已知某扇形的面积为12π,半径等于6,则它的圆心角等于 ,弧长为 .
2.如图,一扇形纸扇完全打开后,AB和AC的夹角为120°,AB的长为25 cm,贴纸部分的宽BD为15 cm.
(1)求的长度.
(2)求纸扇上贴纸部分的面积.
方法归纳交流　弧长公式和扇形面积公式中各有三个量,已知其中任意两个量,可以求出第三个.
温馨提示　若题目中没有精确度的要求,一般结果保留π.
任务驱动二：图形中特殊面积的求法
2.(推理能力)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以BC为直径的半圆O交斜边AB于点 D.
(1)证明:AD=3BD.
(2)求的长度.
(3)求阴影部分的面积.
变式演练　
如图,这是两个半圆,点O是大半圆的圆心,大半圆的弦AB与小半圆相切,且AB=18.问:能否求出阴影部分的面积 若能,求出此面积;若不能,请说明理由.
方法归纳交流　不规则图形面积的求法:用分割或补全的办法,转化为规则图形的面积和或者面积差.
参考答案
【预习导学】
知识点一
相等　　2πR　　
归纳总结
知识点二
活动一:
　　
归纳总结
活动二:
【讨论】
解:∵l=,∴S扇形==R·=lR.
【合作探究】
任务驱动一
1.54　324π
变式演练　1.120°　4π
2.解:(1)的长度为==π(cm).
(2)∵AB=25 cm,BD=15 cm,
∴AD=25-15=10(cm).
∵S扇形ABC==(cm2),
S扇形ADE==(cm2),
∴贴纸部分的面积为-=175π(cm2).
任务驱动二
2.解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
∵BC为半圆O的直径,
∴∠CDB=90°,
∴∠BCD=30°,
∴BC=2BD.
∵∠A=30°,
∴AB=2BC=4BD,
∴AD=3BD.
(2)由(1)得∠B=60°,易得△BOD为等边三角形,
∴∠BOD=60°.
∵BC=4,
∴OC=OD=OB=2,
∴的长为==π.
(3)∵BC=4,∠BCD=30°,
∴CD=BC=2,
∴图中阴影部分的面积=S扇形COD-S△COD=-×2×1=-.
变式演练　
解:能求出阴影部分的面积.
设大半圆与小半圆的半径分别为R和r,平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合,如图,作OH⊥AB于点H,连接OB,则OH=r,AH=BH=9.在Rt△OHB中,R2-r2=92=81,
∴S阴影=S半圆环=π(R2-r2)=π.

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