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第二十四章　圆　复习课
复习目标
1.知道圆的有关概念,能说出垂径定理,圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理以及圆周角定理,并会用这些定理解决有关问题.
2.知道点和圆、直线和圆的位置关系;知道切线的概念,切线的性质;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.
3.能利用正多边形和圆的关系进行正多边形的有关计算;会计算弧长和扇形面积.
4.通过用圆的知识解决问题,体会分类讨论的思想,体会数学来源于生活,应用于生活.
◎重点:垂径定理、圆周角定理及推论;切线的性质和判定;有关圆的计算.
【体系构建】
　　完成下面的知识结构图.
【专题复习】
专题一：垂径定理及推论
1.如图,一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40 m,桥离水面的最大距离CD为10 m,一艘水面以上宽度为30 m,高度为6 m的船能否通过这座拱桥
　　变式演练　
如图,一圆弧形拱桥的圆心为E,拱桥的水面跨度AB=80米,拱桥到水面的最大高度DF为20米.
(1)求拱桥的半径.
(2)现水面上涨后的水面跨度为60米,则水面上涨的高度为　　　　米.
专题二：圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系
2.如图,点A,C,B,D在☉O上,且=,弦AB,CD相交于点E,AE与CE相等吗 请说明理由.
变式演练　
若上题中弦AB与CD的交点在圆外(如图),其他条件不变,则AE和CE还相等吗 为什么
专题三：切线的性质和判定
3.如图,已知☉O的半径为1,DE是☉O的直径,过点D作☉O的切线,点C是AD的中点,AE交☉O于点B,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长.
(2)BC是☉O的切线吗 若是,给出证明;若不是,请说明理由.
方法归纳交流　题目条件中有圆的切线时,常连接过切点的 ,证明圆的切线时,切点已知,则连 ,证 ;切点未知,则作 ,证 .
变式演练　
如图,AB为☉O的直径,PD切☉O于点C,与AB的延长线交于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E,连接PA,且∠EDB=∠EPA.
(1)求证:PA是☉O的切线.
(2)若PA=6,DA=8,求☉O的半径.
专题四：圆中的计算问题
4.如图,从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC,并将剪下来的扇形围成一个圆锥,则圆锥的底面半径为 dm.
　　变式演练　
如图,在△AOB中,OA=3,OB=5,将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A'OB'.
(1)求点A扫过的弧长.
(2)求线段AB扫过的面积(阴影部分的面积).
参考答案
【体系构建】
>　=　<　>　=　<　一半　互补
【专题复习】
专题一
1.解:如图,设该圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OC.假设船能通过圆弧形拱桥,且可以通过的船的最大高度为CG,并过点G作EF∥AB,连接OE.设圆的半径为r cm,则AC=20 m,OC=(r-10)m.
在Rt△AOC中,由勾股定理得r2=202+(r-10)2 ,解得r=25,
∴OC=r-10=15(m).
在Rt△OEG中,由勾股定理得r2=152+OG2,解得OG=20,
∴可以通过的船的最大高度为CG=OG-OC=20-15=5(m).
又∵6>5,∴该船不能通过这座拱桥.
变式演练　
解:(1)由垂径定理知,F是AB的中点,AF=FB=AB=40(米),EF=ED-FD=AE-DF.
由勾股定理知,AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2.
设圆的半径是r,
则r2=402+(r-20)2,
解得r=50,
即拱桥的半径为50米.
(2)如图,设水面上涨后的水面跨度MN为60米,MN交ED于点H,连接EM,
则MH=NH=MN=30(米),
∴EH==40(米).
∵EF=50-20=30(米),
∴HF=EH-EF=10(米).
故答案为10.
专题二
2.解:AE=CE.
理由:如图,连接AC.
∵=,∴=,∴∠C=∠A,∴AE=CE.
变式演练　
解:相等.
理由:如图,连接AC.
∵=,∴=,∴∠C=∠A,∴AE=CE.
专题三
3.解:(1)如图,连接BD,则∠DBE=90°.
∵四边形BCOE是平行四边形,∴BC∥OE,BC=OE=1.
在Rt△ABD中,C为AD的中点,
∴BC=AD=1,∴AD=2.
(2)是.
证明:如图,连接OB,由(1)得BC∥OD,且BC=OD,∴四边形BCDO是平行四边形.
又∵AD是☉O的切线,∴OD⊥AD,∴四边形BCDO是矩形,∴OB⊥BC,
∴BC是☉O的切线.
方法归纳交流
半径　半径　垂直　垂直　半径
变式演练　
解:(1)证明:∵∠EDB=∠EPA,∠POA=∠DOE,
∴∠PAO=∠DEO,
又∵DE⊥PO,∠DEO=90°,
∴∠PAO=∠DEO=90°.
又∵OA是半径,
∴PA是☉O的切线.
(2)在Rt△PAD中,PA=6,DA=8,
根据勾股定理得PD==10.
∵PD与PA都为圆的切线,
∴PC=PA=6,
∴DC=PD-PC=10-6=4.
在Rt△CDO中,设OC=r,则有DO=8-r,
根据勾股定理得(8-r)2=r2+42,
解得r=3,
∴☉O的半径为3.
专题四
4.1
变式演练　
解:(1)由旋转的性质得到∠AOA'=90°,OA'=OA=3,
∴的长为=,
∴点A扫过的弧长是.
(2)由旋转的性质得到∠BOB'=90°,OB'=OB=5,△AOB的面积=△A'OB'的面积.
∵阴影的面积=扇形BOB'+△AOB的面积-扇形AOA'-△A'OB'的面积=扇形BOB'的面积-扇形AOA'的面积,
∴阴影部分的面积为-=4π.

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