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§2.1 直线的倾斜角与斜率
目录 考法1：求直线斜率 3 考法2：倾斜角与斜率的转化 6 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 8 考法4：斜率公式的应用 11 求参数的取值范围 11 解决三点共线问题 13 求函数最值（范围） 14 比较大小 15 考法5：两条直线平行和垂直的判定 17 考法6：两条直线平行与垂直的应用 19 求参数 19 解决平面几何问题 22
直线的倾斜角
当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。因此，直线的倾斜角的取值范围为.
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母表示，即.
倾斜角
直线 与x轴平行或重合 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
斜率 不存在
倾斜角是 90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
经过两点的直线的斜率公式
经过两点、的直线的斜率公式.
若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则，那么斜率为的直线的一个方向向量可以为.
两点直线平行的判定
若两条直线（不重合）中有一条直线没有斜率，则当另一条直线也没有斜率时，即两条直线的倾斜角都是，它们互相平行.
对于斜率分别为的两条直线，有.
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在分别为；②与不重合；
(2)或与重合.
(3)或与的斜率都不存在.
两点直线垂直的判定
若两条直线中有一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0，即一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为时，两条直线互相垂直.
对于斜率分别为的两条直线，有.
考法1：求直线斜率
方法提炼
求直线斜率的方法
定义法:已知直线的倾斜角或的某个三角函数值时,常根据直线斜率的定义k=tan来求斜率.
公式法：若直线过两点，且，则斜率.
如果直线沿轴负方向平移m个单位长度,再沿y轴正方向平移n个单位长度后,又回到原来的位置,求直线的斜率。此类题可通过平移前与平移后的两个方程的同一性,进行相应系数的比较求得结果。
直线斜率的的变化规律：
当时，直线越陡越大；
当时，直线越平缓越大.
已知点，，则直线AB的斜率 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率
【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式计算即得.
【详解】由点，，得直线AB的斜率.
故答案为：
直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 .
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义
【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可.
【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率．
故答案为：．
如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】直线斜率的定义
【分析】根据图象，由斜率的定义求解.
【详解】解：由图象知：，
故选：A
已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　）
A． B．- C．2 D．-2
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
【详解】设点是直线上的一点，
将点右平移4个单位长度，
再向下平移2个单位长度，得到点仍在该直线上，
则直线的斜率．
故选：B．
在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率
【分析】在坐标系中描点连线判断出为等腰三角形，得出角平分线所在直线的斜率即为中线的斜率，即可求解．
【详解】如下图：在平面直角坐标系中，描出，
，，
所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线，
边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：，
故答案为：．
考法2：倾斜角与斜率的转化
方法提炼
当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时，斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时,斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在)。
（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为
【答案】CD
【难度】0.94
【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误；
B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误；
C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确；
D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确；
故选：CD.
（多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围.
【详解】由于，所以，
又，所以.
故选：D
已知两点，，若实数，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系
【解析】先求出直线AB的斜率，得出k的范围，进而得出倾斜角正切值的范围，即可求出倾斜角范围.
【详解】，，
直线AB的斜率为，
，，
即，且，
倾斜角的取值范围为.
故选：B.
考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围
方法提炼
已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线与线段AB有交点的情况下直线的斜率的取值范围。若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:
连接PA,PB;
由求出;
结合图形即可写出满足条件的直线的斜率的取值范围。
已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围.
解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围.
【详解】解法一：由题意，，．
设直线，的倾斜角分别为α，β，则，．
如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于，
当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为．
故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为．
故答案为：； ．
解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即．
由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，
所以，即，解得或．
故直线的斜率的取值范围为，
所以其倾斜角的取值范围为．
故答案为：； ．
已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率
【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率
【分析】求出直线的斜率，再结合图形即可得解.
【详解】因为，，
所以直线的斜率分别为，
由图形知，当或，即或时，直线l与线段AB相交，
所以直线与线段不相交时，直线l斜率k的取值范围为.
故选：A.
已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题设，，如下图示，所以．
故选：D
考法4：斜率公式的应用
求参数的取值范围
经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、斜率公式的应用、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，
解得 ，即实数m的范围是，
故选：C
过两不同点的直线的斜率为1，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知斜率求参数
【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案.
【详解】根据题意可得，解得或．
当时，点重合，不符合题意，舍去．
当时，经验证，符合题意．
故选：C.
已知坐标平面内两点．
(1)当直线MN的斜率不存在时，求的值；
(2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)答案见解析．
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用
【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数；
（2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围.
【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等，
即，解得；
（2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得．
直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或．
综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为，
直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为.
解决三点共线问题
方法提炼
证明三点共线有很多方法,如利用(距离法),而证明已知坐标的三点共线,利用斜率是最简单的方法,如直线AB,BC的斜率相等,则A,B,C三点共线;反过来,若A,B,C三点共线,则直线AB,BC的斜率相等(斜率存在时)或直线AB,BC的斜率都不存在。
斜率为2的直线过，，三点，则 ．
【答案】1
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率
【分析】由两点间的斜率公式代入计算解出，可得结果.
【详解】由题意可得，
解得，，
所以可得．
故答案为：1
若三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】斜率公式的应用
【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可.
【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在，
所以，则，解得．
故选：B.
一束光线从点射入，经过x轴上的点P反射后，经过点，则点P的坐标为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知两点求斜率
【分析】根据入射光线经过点A，知点A关于x轴的对称点在反射光线的反向延长线上，， 三点在同一条直线上，利用斜率相等即可求解.
【详解】因为入射光线经过点A，所以点A关于x轴的对称点在反射光线的反向延长线上，设点P的坐标为.易知点的坐标为，则， 三点在同一条直线上，所以即解得，所以点P的坐标为.
求函数最值（范围）
方法提炼
可将看成动点P(x,y)与定点所在直线的斜率,从而将求代数式的最大
(小)值问题转化为求直线的斜率的最大(小)值问题,即将代数问题转化为几何问题来处理.
已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】我们只要把看作动点与定点的斜率，就可以结合图象得到范围.
【详解】当点与重合，则，代入得，
当点与重合，则，代入得，
我们把看作动点与定点的斜率，
再结合图象：
利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知，
故答案为：.
已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】8
【难度】0.65
【知识点】求分式型目标函数的最值、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用
【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值.
【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率．
如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增，
当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8．
故答案为：8
比较大小
方法提炼
对于含有分式结构的一些不等式,只要与过两点的斜率公式在结构上类似，可以考虑其几何意义,用斜率作答。
三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（ ）
A．，，中最大的是 B．，，中最大的是
C．，，中最大的是 D．，，中最小的是
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的平均数、斜率公式的应用
【分析】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则为中点与原点连线的斜率；进而得到答案．
【详解】若为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，
则为线段中点与原点连线的斜率，
故中最大的是.
故选：B.
已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】平均变化率
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
考法5：两条直线平行和垂直的判定
已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线平行、既不充分也不必要条件
【分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.
【详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，
若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．
故选：B．
（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A．的倾斜角为，的斜率为
B．的斜率为，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的方向向量为
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.
【详解】对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.
故选：BCD
考法6：两条直线平行与垂直的应用
求参数
方法提炼
由两条直线平行、垂直求参数的值,一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率,利用斜率相等、斜率之积为-1求解。但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的特殊情况。
已知，，．
(1)求点的坐标，满足，；
(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数
【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；
（2）根据条件可得即可求出结果.
【详解】（1）设，
由已知得，
又，可得，
即．　①
由已知得，
又，可得，
即．　②
联立①②解得，
∴．
（2）设，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴轴，
故直线MQ的倾斜角为90°．
（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、已知斜率求参数、已知直线垂直求参数
【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案.
【详解】由斜率的定义，直线的斜率，
因为，则，解得或，
代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在，
故或均满足题意，
故选：AD.
（多选）已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．4
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】求出直线斜率，分类讨论，分斜率为0和不为0讨论．
【详解】设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.
若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；
②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.
由k1k2＝－1，可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.所以当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
故选：AC．
已知点，点在轴上，且，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线垂直、直线的斜率
【详解】由题意设 ，又 ，∴ ，∵ ，∴ ，解得： ．∴点 的坐标为 或 ．故选C．
在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ．
【答案】/（0.5）
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可.
【详解】设横坐标为，且由题意得，
与相互垂直，，解得,故,
故答案为：
解决平面几何问题
方法提炼
由已知点的坐标判断图形形状的一般步骤:
第一步:在平面直角坐标系内画出图形，根据所画图形作出直观猜想;
第二步:求出各边所在直线的斜率,判断边的平行或垂直关系;
第三步:确定几何图形的形状。
顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
【答案】A
【难度】0.85
【解析】由四个点的坐标可求出，，， 根据斜率关系以及线段的长度，即可得结果.
【详解】因为，，，，
所以，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形.
故选：A
已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为 ．
【答案】，3或
【难度】0.65
【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数
【分析】结合斜率公式，分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】解：，，．
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，解得．
综上所述，m的值为，3或．
故答案为：，3或
已知点，，，，
(1)试判断直线和直线的位置关系；
(2)试判定四边形的形状.
【答案】(1)
(2)四边形为直角梯形
【难度】0.65
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直
【分析】（1）求出可得两直线线关系；
（2）求出且可得四边形形状；
【详解】（1）由题意可得，
则，，
所以两条直线平行，即，
（2）因为，，
所以，即与不平行，
又，所以，
所以四边形为直角梯形.§2.1 直线的倾斜角与斜率
目录 考法1：求直线斜率 3 考法2：倾斜角与斜率的转化 4 考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围 5 考法4：斜率公式的应用 6 求参数的取值范围 6 解决三点共线问题 6 求函数最值（范围） 7 比较大小 7 考法5：两条直线平行和垂直的判定 8 考法6：两条直线平行与垂直的应用 9 求参数 9 解决平面几何问题 9
直线的倾斜角
当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。因此，直线的倾斜角的取值范围为.
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母表示，即.
倾斜角
直线 与x轴平行或重合 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
斜率 不存在
倾斜角是 90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
经过两点的直线的斜率公式
经过两点、的直线的斜率公式.
若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则，那么斜率为的直线的一个方向向量可以为.
两点直线平行的判定
若两条直线（不重合）中有一条直线没有斜率，则当另一条直线也没有斜率时，即两条直线的倾斜角都是，它们互相平行.
对于斜率分别为的两条直线，有.
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率存在分别为；②与不重合；
(2)或与重合.
(3)或与的斜率都不存在.
两点直线垂直的判定
若两条直线中有一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0，即一条直线的倾斜角为，另一条直线的倾斜角为时，两条直线互相垂直.
对于斜率分别为的两条直线，有.
考法1：求直线斜率
方法提炼
求直线斜率的方法
定义法:已知直线的倾斜角或的某个三角函数值时,常根据直线斜率的定义k=tan来求斜率.
公式法：若直线过两点，且，则斜率.
如果直线沿轴负方向平移m个单位长度,再沿y轴正方向平移n个单位长度后,又回到原来的位置,求直线的斜率。此类题可通过平移前与平移后的两个方程的同一性,进行相应系数的比较求得结果。
直线斜率的的变化规律：
当时，直线越陡越大；
当时，直线越平缓越大.
已知点，，则直线AB的斜率 .
直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 .
如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　）
A． B．- C．2 D．-2
在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ．
考法2：倾斜角与斜率的转化
方法提炼
当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时，斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在);按顺时针方向旋转到与y轴平行或重合的位置时,斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在)。
（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为
（多选）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知两点，，若实数，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考法3：直线与线段的相交关系求斜率范围
方法提炼
已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线与线段AB有交点的情况下直线的斜率的取值范围。若直线PA,PB的斜率均存在,则步骤为:
连接PA,PB;
由求出;
结合图形即可写出满足条件的直线的斜率的取值范围。
已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ．
已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考法4：斜率公式的应用
求参数的取值范围
经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A． B．
C． D．
过两不同点的直线的斜率为1，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
已知坐标平面内两点．
(1)当直线MN的斜率不存在时，求的值；
(2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围．
解决三点共线问题
方法提炼
证明三点共线有很多方法,如利用(距离法),而证明已知坐标的三点共线,利用斜率是最简单的方法,如直线AB,BC的斜率相等,则A,B,C三点共线;反过来,若A,B,C三点共线,则直线AB,BC的斜率相等(斜率存在时)或直线AB,BC的斜率都不存在。
斜率为2的直线过，，三点，则 ．
若三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
一束光线从点射入，经过x轴上的点P反射后，经过点，则点P的坐标为
求函数最值（范围）
方法提炼
可将看成动点P(x,y)与定点所在直线的斜率,从而将求代数式的最大
(小)值问题转化为求直线的斜率的最大(小)值问题,即将代数问题转化为几何问题来处理.
已知，，若点在线段上，则的取值范围是 ．
已知实数满足，则的最大值为 ．
比较大小
方法提炼
对于含有分式结构的一些不等式,只要与过两点的斜率公式在结构上类似，可以考虑其几何意义,用斜率作答。
三名工人种植同一种果树，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和种植的果树数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和种植的果树数，.记为第名工人在这一天中平均每小时种植的果树数，则（ ）
A．，，中最大的是 B．，，中最大的是
C．，，中最大的是 D．，，中最小的是
已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考法5：两条直线平行和垂直的判定
已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直
（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A．的倾斜角为，的斜率为
B．的斜率为，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的方向向量为
考法6：两条直线平行与垂直的应用
求参数
方法提炼
由两条直线平行、垂直求参数的值,一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率,利用斜率相等、斜率之积为-1求解。但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的特殊情况。
已知，，．
(1)求点的坐标，满足，；
(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．
（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
（多选）已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是（ ）
A．－4 B．－3 C．3 D．4
已知点，点在轴上，且，则点的坐标为
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ．
解决平面几何问题
方法提炼
由已知点的坐标判断图形形状的一般步骤:
第一步:在平面直角坐标系内画出图形，根据所画图形作出直观猜想;
第二步:求出各边所在直线的斜率,判断边的平行或垂直关系;
第三步:确定几何图形的形状。
顺次连接点，，，所构成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对
已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为 ．
已知点，，，，
(1)试判断直线和直线的位置关系；
(2)试判定四边形的形状.

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