资源简介

数列不等式的证明
题型1：裂项放缩
方法提炼
常见的放缩
.
.
.
;
;
.
.
.
.
在利用“放缩法”证明不等式问题时,容易出现放缩过度的情况.我们可以通过裂项后的首项或前几项的和判断放缩的精度是否满足题设要求，调整放缩的起点,从第k(2≤k≤4)项开始放缩.
已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可；
（2）法一：直接放缩法，利用即可证出；
法二：由可得，即可证明不等式.
【详解】（1）因为为正项数列，①，
当时，得；
当时，②，
①－②得，，得．
所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以．
（2）解法1：因为，
所以当时，
，
当时也符合，所以原不等式成立．
解法2：因为，所以，
所以，
所以当时，
，
当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立．
已知在数列中，，且满足，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.4
【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项
【分析】等式两边同除，构造等比数列求出，带入求和公式利用放缩法裂项相消证明即可.
【详解】因为，且满足，显然对任意，，
等式两边同除以得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，解得，
所以
．
（1）求证：；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）解法1将放大为后再求和，证明和小于3即可；解法2将放大为后再求和，证明和小于3即可；
（2）先将通项放大为，再利用裂项相消求和法求和即可证明.
【详解】（1）解法1：
，
．
解法2：
，
．
（2）
．
（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】裂项相消法求和
【分析】（1）根据，通过放缩即可证明；
（2）根据，通过放缩即可证明；
（3）根据放缩即可证明.
【详解】（1）因为，
则，
所以．
（2）因为，
则，
所以．
（3）因为，
所以．
题型2：等比放缩
方法提炼
类似的形式, 解题时可以尝试利用等比放缩的思想,其基本思路为：
设是指目标式通项, 是估计能符合要求的等比数列的通项.若能证明，则().
确定的方法
令，可得首项，从而确定了的通项公式，验证即可.
通过构造不等式，可得，以此再选取合适的值，有时可能会利用极限思想来求解.
若数列满足，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的其他性质、放缩法
【分析】将数列进行放缩，证明即可
【详解】设，则，
时，，取，则，
又，即证明，且
所以
．
若数列满足，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的其他性质、放缩法
【分析】利用放缩法证明即可.
【详解】，，
当时，不等式显然成立.
当时，
．
若数列满足，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】等比数列前n项和的其他性质、放缩法
【分析】利用放缩法以及等比数列前项和求解.
【详解】时，，
.
题型3：单调性放缩
方法提炼
作差法
数列是单调递增数列；
数列是单调递减数列；
数列是常数数列.
比商法
或数列是单调递增数列；
或数列是单调递减数列；
数列是常数数列.
若数列满足，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、求等比数列前n项和、放缩法
【分析】构造数列：，判断为递增数列，分析推得，则，利用等比数列的求和公式计算并放大即得证.
【详解】设，则，
由，
即，因，故，即；
则有，
故
，原命题得证．
已知数列中各项都小于1，，即数列前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和
【分析】根据可得即数列单调递减.构造函数证明，即，根据等比数列求和即可求解.
【详解】解析：由，因为数列中各项都小于1，故与同号，又，所以，故，即，所以，又，所以时，，，而函数在上单调递减，所以由得，即，所以，
故选:A．
已知函数，，对于任意的，都有.
（1）求的取值范围
（2）若，证明：()
（3）在（2）的条件下，证明：
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、数学归纳法证明数列问题、放缩法
【分析】（1）根据函数的表达式，再结合，得，解不等式，又，得到，又取任意正整数，所以；
（2）先用导数进行研究，可到函数在区间上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明()；
（3）由，解得，变形得，又，所以，，则在上递增，再通过放缩得，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.
【详解】（1）由题得，
恒成立
，故：
（2）
当时，
函数在(1，)上是单调递增函数.
下面用数学归纳法证明：
①当时，由得成立.
②假设当时，结论成立.即：
那么当时
这表明当时不等式也成立，综合①②可知：当，时成立
（3）且
令，则在上递增
由（2）知：
又
左边
题型4：浓度放缩
方法提炼
糖水不等式：若，，则有.
如果把式中的看成是一杯糖水的质量, 而b看成是这杯糖水中所含糖的质量, m看成是后加的一块糖的质量, 那么就是原来糖水的百分比浓度, 而就是加糖后的糖水的百分比浓度, 显然加糖后百分比浓度增大, 即有, 如果再加一块糖k , 则百分比浓度更大, 即 .
证明姐妹不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】放缩法
【分析】不等式也可以表示为和，利用错位相乘可得，进而可证，第二个不等式可以按照第一个来证明.
【详解】（1）不等式也可以表示为
，利用可得
，（错位相乘）
，
得，
即．
（2）不等式可以表示为．
由(1)同理得，
，
即．
已知函数.若在区间上的最小值为，令.求证:.
【答案】证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、裂项相消法求和、放缩法
【分析】确定，再证明 ，相加相消，即可证明结论．
【详解】证明：，，
的单调减区间为，
在上单调递减，
，
，
，
即有，
．
题型5：递推放缩
方法提炼
累加放缩
对于型，可结合累加公式进行放缩，得.
累乘放缩
对于型，可结合累乘公式进行放缩，得.
形如的二次型递推数列可化为:
，其中要对式子进行范围估计，从而得到，进一步可化为，此为累加放缩.
也可将进一步化为，此为累乘放缩.
，其中要对式子进行范围估计，此为累乘放缩.
已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质、数列不等式恒成立问题
【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出．
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
数列满足：，，记数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和
【分析】根据题意的递推公式可得，进而可得和，利用累加法和裂项相消求和法得到，进而得出的取值范围.
【详解】由题意知，，
，即，
则，即，
由累加法可得，
所以当时，，
所以，
又，得，
所以，
故选：D
已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】根据递推式易得，以及，根据累加法得出，进而，类似可得，进而可得结论.
【详解】显然，由，故与同号，
由得，故，
所以，
又，所以；
由，
所以，
故，
累加得，
所以，
所以，
所以，
另一方面，由，所以
，累加得，
故，即，
所以；综合得．
故选：B.
已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、累乘法求数列通项
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当时，
则，当且仅当时等号成立，
，
由累乘法可得，且，
则，当且仅当时取等号，
由裂项求和法得：
所以，即．
故选：A．
题型6：切线放缩
方法提炼
常见的切线放缩不等式：
;
;
当时，;
当时，.
由上述的切线放缩不等式，还可得：
;
；
;
;
；
.
求证：.
【答案】证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、放缩法
【分析】观察不等式，构造函数不等式，变形得， 累加，再放缩即可得证.
【详解】先构造函数，，易知在递增，在递减，
所以
所以有，
从而
所以
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.
【答案】（1）最小值为1；（2）最小值为2.
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；
（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩，再根据最小整数适当缩放即可求.
【详解】解：（1），
当时，，故在单调递减，
当时，，在单调递增，
故（1），故的最小值为1；
（2）由（1）可得，即，
所以，，，
则，
故，
所以，
又因为，
故对任意正整数，的整数的最小值为2.
已知函数， ，（其中，为自然对数的底数， ……）.
（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值.
【答案】（1）1；（2）2
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，求出h（x）的解析式，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的值即可；（2）得到1+x≤ex，令x=﹣（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则0＜1﹣≤，得到累加，通过放大不等式，证明即可．
解析：
（1）因为，所以，
由对任意的恒成立，即，由，
（i）当时， ， 的单调递增区间为，
所以时， ，所以不满足题意.
(ii)当时，由，得
时， ， 时， ，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为 .
设，所以，① 因为，令得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，②，由①②得，则.
（2）由（1）知，即，
令（， ）则，
所以，
所以
，
所以，又，所以的最小值为
已知函数.
（1）若恒成立，求m的最大值；
（2）设a为整数，且对于任意正整数n，，求a的最小值.
【答案】（1）1；（2）3.
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）对函数进行求导，判断函数的单调性，最后求出最小值，由题意可得m的最大值；
（2）由(1)可得时，，令对此进行放缩，最后利用裂项相消法求出的最小值.
【详解】（1），
当，，为减函数；当，，为增函数，
所以在处取得最小值，且，
因为恒成立，所以，即 所以m的最大值为1.
（2）由（1）知当时，，
令，则有，
即有，
即有，
即， 对任意恒成立，
又，所以整数a的最小值为3.
题型7：数学归纳法
方法提炼
数学归纳法的步骤
基例验证：证明当时结论成立;
归纳假设：假设当时结论成立;
归纳假设：以"当时结论成立"为条件, 推出"当时,
结论也成立 "；
结论：由数学归纳法，得出对所有的自然数命题成立的结论.
用数学归纳法证明不等式：．
【答案】证明见解析
【难度】0.85
【知识点】数学归纳法
【分析】（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时不等式成立，验证当时不等式也成立，此处采用“取差法”证明不等关系成立．
【详解】（i）当时，左边，右边，显然，左边右边，原不等式成立；
（ii）假设当时不等式成立，
即，
那么当时，
．
又，
所以，
即时，不等式也成立．
由（i）（ii）可知，对任意，不等式都成立．
当且时，求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】数学归纳法、数列不等式恒成立问题
【分析】用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，应注意在归纳假设的基础上，进行合理放缩即可得证．
【详解】（i）当时，
左边，右边，左边右边，不等式成立；
（ii）假设当时，命题成立，
即，
当时，有：
．
由（i）（ii）可知，原不等式对任意且均成立．
已知数列的通项公式为，试问是否存在常数，，，使等式对一切都成立？
【答案】存在
【难度】0.65
【知识点】数学归纳法
【分析】先令，，，列方程组求得的值，再用数学归纳法证明.
【详解】分别令，，，得方程组，即，
解得，，.
所以.
下面用数学归纳法证明：
（i）当时，，左边，右边，等式成立；
（ii）假设当时等式成立，
即，
当时，
，
即当时等式成立.
由（i），（ii）可知对一切，等式都成立.
已知数列满足且，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、求等比数列前n项和
【分析】（1）应用数学归纳法证明不等式；
（2）结合（1）知，再计算化简，最后应用数学归纳法证明不等式；
【详解】（1）由于，
（i）当时，显然成立；
（ii）假设当时，成立，
当时，
因为，
所以成立，
所以，
所以，
所以成立，
综合（i）（ii）可知．
（2），
则，
，
，
，
要证，
只需证，
只需证，
因为，所以，
所以．
而可以看作的前项的和，
，
故只要证明即可，
即证明．
下面用数学归纳法证明：
（i）当时，显然成立；
（ii）假设当时，成立，
当时，
．
综合（i）（ii）可知成立，所以待证不等式成立．数列不等式的证明
题型1：裂项放缩
方法提炼
常见的放缩
.
.
.
;
;
.
.
.
.
在利用“放缩法”证明不等式问题时,容易出现放缩过度的情况.我们可以通过裂项后的首项或前几项的和判断放缩的精度是否满足题设要求，调整放缩的起点,从第k(2≤k≤4)项开始放缩.
已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
已知在数列中，，且满足，求证：．
（1）求证：；
（2）已知，求证：．
（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：．
题型2：等比放缩
方法提炼
类似的形式, 解题时可以尝试利用等比放缩的思想,其基本思路为：
设是指目标式通项, 是估计能符合要求的等比数列的通项.若能证明，则().
确定的方法
令，可得首项，从而确定了的通项公式，验证即可.
通过构造不等式，可得，以此再选取合适的值，有时可能会利用极限思想来求解.
若数列满足，求证：．
若数列满足，求证：．
若数列满足，求证：．
题型3：单调性放缩
方法提炼
作差法
数列是单调递增数列；
数列是单调递减数列；
数列是常数数列.
比商法
或数列是单调递增数列；
或数列是单调递减数列；
数列是常数数列.
若数列满足，求证：．
已知数列中各项都小于1，，即数列前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
已知函数，，对于任意的，都有.
（1）求的取值范围
（2）若，证明：()
（3）在（2）的条件下，证明：
题型4：浓度放缩
方法提炼
糖水不等式：若，，则有.
如果把式中的看成是一杯糖水的质量, 而b看成是这杯糖水中所含糖的质量, m看成是后加的一块糖的质量, 那么就是原来糖水的百分比浓度, 而就是加糖后的糖水的百分比浓度, 显然加糖后百分比浓度增大, 即有, 如果再加一块糖k , 则百分比浓度更大, 即 .
证明姐妹不等式：
(1)；
(2)．
已知函数.若在区间上的最小值为，令.求证:.
题型5：递推放缩
方法提炼
累加放缩
对于型，可结合累加公式进行放缩，得.
累乘放缩
对于型，可结合累乘公式进行放缩，得.
形如的二次型递推数列可化为:
，其中要对式子进行范围估计，从而得到，进一步可化为，此为累加放缩.
也可将进一步化为，此为累乘放缩.
，其中要对式子进行范围估计，此为累乘放缩.
已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
数列满足：，，记数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
题型6：切线放缩
方法提炼
常见的切线放缩不等式：
;
;
当时，;
当时，.
由上述的切线放缩不等式，还可得：
;
；
;
;
；
.
求证：.
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值.
已知函数， ，（其中，为自然对数的底数， ……）.
（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数， ，求的最小值.
已知函数.
（1）若恒成立，求m的最大值；
（2）设a为整数，且对于任意正整数n，，求a的最小值.
题型7：数学归纳法
方法提炼
数学归纳法的步骤
基例验证：证明当时结论成立;
归纳假设：假设当时结论成立;
归纳假设：以"当时结论成立"为条件, 推出"当时,
结论也成立 "；
结论：由数学归纳法，得出对所有的自然数命题成立的结论.
用数学归纳法证明不等式：．
当且时，求证：．
已知数列的通项公式为，试问是否存在常数，，，使等式对一切都成立？
已知数列满足且，求证：
(1)；
(2)．

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