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函数专题02 函数性质常见考点归类（练习版）
一、知识清单：
1.单调性：
（1）增函数：
（或，[，）;
（2）减函数：
（或，[，）.
判断函数单调性常用方法：基本初等函数法（一次、二次、幂函数、指对数函数、三角函数等），同增或同减函数加法单调性不变，导数法，复合函数法.
2.奇偶性：定义域D关于原点对称
（1）偶函数：或，图像关于y轴(直线x=0)对称;
（2）偶函数或 关于直线x=a对称;
（3）偶函数或 图像关于直线x=a对称;
（4）奇函数：或，图像关于点对称.
（5）奇函数或 关于点对称;
（6）奇函数或 图像关于点对称;
（7）奇函数或 图像关于点对称;
（8）判断奇偶性方法1：先判断定义域是否关于原点对称，再利用定义进行判断奇偶性，也可以用特殊值先检验再用定义证明，已知单调性求参数可以用特殊值先求参数值再用定义验证.
（9）判断奇偶性方法2：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.
3.周期性：定义域D，T为非零常数,k为整数，以正余弦函数为例.
（1）定义：，都有，则T为的周期，kT也为周期;
（2） 周期为T=2a(a>0);
（3） 周期为T=2a(a>0);
（4）对称轴为x=a，x=b 周期为T=2|b-a|(b-a0);
（5）对称中心为， 周期为T=2|b-a|(b-a0);
（6）对称中心与对称轴为，x=b 周期为T=4|b-a|(b-a0);
4.对称性：定义域D.
（1）奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴(直线x=0)对称;
（2）关于直线x=a对称 偶函数或;
（3）满足 关于直线对称;
（4）关于点对称 奇函数或;
（5）满足 关于点对称;
（6）两个函数图像对称性：
①与关于y轴（直线x=0）对称;
②与关于x轴（直线y=0）对称;
③与关于点对称;
④与关于对称;
二、考点分类
考点01 判断或证明函数的单调性
1.下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A. B.y=|x2-2x| C.y=2x+2cos x D.y=
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
考点02 根据函数的单调性求参数值
1.已知a>0,且a≠1,函数f(x)= 在R上单调,
则a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B. C.
2.已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞)
3.已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(　　)
A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞)
4.函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞)
5.下列说法中,正确的是(　　)
A.若对任意x1,x2∈I,当x10,则y=f(x)在I上单调递增
B.函数y=x2在R上是增函数
C.函数y=-在定义域上是增函数
D.函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)
6.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有(　　)
A.g(x)+f(x)是增函数 B.f(x)-g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数
7．函数在上是减函数，则实数的范围是 .
8．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ．
考点03 比较函数值的大小关系
1.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
2.若a=ln 3,b=lg 5,c=log126,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b
3．已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7.已知定义域为R的函数f(x), x1,x2∈R,x1≠x2,都有<0,则(　　)
A.f(3)>f(π)>f(2) B.f(π)f(π)>f(3) D.f(π)>f(2)>f(3)
8.已知函数f(x)在R上为增函数,若不等式f(-4x+a)>f(-3-x2)对 x∈(3,+∞)恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞)
9.(多选)下列函数中,值域正确的是(　　)
A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6)
B.函数y=的值域为R
C.函数y=2x-的值域为
D.函数y=+的值域为[,+∞)
10.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)考点04 函数奇偶性的定义与判断
1．下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点05 由奇偶性求参数
1．若为偶函数，则 ．
2．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
4．若函数，为奇函数，则参数a的值为 ．
5．已知函数是偶函数，则 .
考点06 函数奇偶性的应用
1．函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C．4 D．6
2．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
考点07 函数的周期性
1.若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=,则f(23)=(　　)
A.-1 B.- C.0 D.
2．已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
3．已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ．
4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
5. (多选)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则(　　)
A.f(2 026)=2 B.f(x)的值域为[-1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点
6．（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数
C． D．
考点08 函数的对称性
1.已知函数f(x)的定义域为R,f为偶函数,f(2-x)+f(x)=0,f=-,则f=(　　)
A. C.0 D.-
2.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则(　　)
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(2 026)=-5 C.g(2 026)=-1 D.f(k)=2 020
3．已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
6.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ．
7.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
考点09 函数性质综合应用
1.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为(　　)
A. C.
2.．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B． C． D．
4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),
f(-1),f(0)的大小关系是(　　)
A.f(-1)5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 .
6．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1函数专题02 函数性质常见考点归类（解析版）
一、知识清单：
1.单调性：
（1）增函数：
（或，[，）;
（2）减函数：
（或，[，）.
判断函数单调性常用方法：基本初等函数法（一次、二次、幂函数、指对数函数、三角函数等），同增或同减函数加法单调性不变，导数法，复合函数法.
2.奇偶性：定义域D关于原点对称
（1）偶函数：或，图像关于y轴(直线x=0)对称;
（2）偶函数或 关于直线x=a对称;
（3）偶函数或 图像关于直线x=a对称;
（4）奇函数：或，图像关于点对称.
（5）奇函数或 关于点对称;
（6）奇函数或 图像关于点对称;
（7）奇函数或 图像关于点对称;
（8）判断奇偶性方法1：先判断定义域是否关于原点对称，再利用定义进行判断奇偶性，也可以用特殊值先检验再用定义证明，已知单调性求参数可以用特殊值先求参数值再用定义验证.
（9）判断奇偶性方法2：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.
3.周期性：定义域D，T为非零常数,k为整数，以正余弦函数为例.
（1）定义：，都有，则T为的周期，kT也为周期;
（2） 周期为T=2a(a>0);
（3） 周期为T=2a(a>0);
（4）对称轴为x=a，x=b 周期为T=2|b-a|(b-a0);
（5）对称中心为， 周期为T=2|b-a|(b-a0);
（6）对称中心与对称轴为，x=b 周期为T=4|b-a|(b-a0);
4.对称性：定义域D.
（1）奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴(直线x=0)对称;
（2）关于直线x=a对称 偶函数或;
（3）满足 关于直线对称;
（4）关于点对称 奇函数或;
（5）满足 关于点对称;
（6）两个函数图像对称性：
①与关于y轴（直线x=0）对称;
②与关于x轴（直线y=0）对称;
③与关于点对称;
④与关于对称;
二、考点分类
考点01 判断或证明函数的单调性
1.下列函数在(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A. B.y=|x2-2x| C.y=2x+2cos x D.y=
【答案】AC
【详解】　∵y=ex与为R上的增函数,∴为R上的增函数,故A正确;由y=|x2-2x|的图象(图略 )知,B不正确;对于C,y'=2-2sin x≥0,∴y=2x+2cos x在(0,+∞)上单调递增,故C正确;y=的定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞),故D不正确.
2．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.故选：C.
3．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.
4．下列函数是奇函数且在上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称，
又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故A错误；
对于B，函数是非奇非偶函数，故B错误；对于C，，因为，所以的定义域为关于原点对称，又，所以是奇函数，
又在上单调递增，为增函数，所以在上单调递增，故C正确；对于D，函数在上不为增函数，故D错误.故选：C.
5．下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A不是；
对于B，函数的定义域为R，，是奇函数，函数都是R上的增函数，因此函数在上单调递增，B是；对于C，函数的定义域为，不是奇函数，C不是；对于D，函数在上单调递减，在上不单调，D不是.故选：B
考点02 根据函数的单调性求参数值
1.已知a>0,且a≠1,函数f(x)= 在R上单调,
则a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B. C.
【答案】　D
【详解】因为函数f(x)在R上单调,由函数解析式可得函数f(x)在R上单调递增不满足题意,
故f(x)在R上单调递减,所以解得≤a<1.
2.已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞)
【答案】　B
【详解】因为函数f(x)在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a在(-∞,0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的取值范围是[-1,0].故选B.
3.已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围是(　　)
A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞)
【答案】　C
【详解】　f(x)=-+1+,由题意得2<<6,解得44.函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞)
【答案】　C
【详解】　函数f(x)=(x-4)·|x|=的图象如图所示,
由图可知函数的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞).
5.下列说法中,正确的是(　　)
A.若对任意x1,x2∈I,当x10,则y=f(x)在I上单调递增
B.函数y=x2在R上是增函数
C.函数y=-在定义域上是增函数
D.函数y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)
答案　AD
【详解】对于A,若对任意x1,x2∈I,当x10,则有f(x1)6.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)>0,g(x)>0,f(x)是减函数,g(x)是增函数,则下列说法正确的有(　　)
A.g(x)+f(x)是增函数 B.f(x)-g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数
【答案】　BD
【详解】对于A,若g(x)=2x,f(x)=,则g(1)+f(1)=,g(-1)+f(-1)=,故g(x)+f(x)不一定为增函数,A错误;而f(x)g(x)=1不是增函数,C错误;对于B,因为g(x)是增函数,所以-g(x)为减函数.
又f(x)是减函数,所以f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))为减函数,B正确;对于D,因为g(x)是增函数,且g(x)>0,所以>0且单调递减.又f(x)>0,且f(x)为减函数,所以=f(x)×为减函数,D正确.
7．函数在上是减函数，则实数的范围是 .
【答案】
【详解】函数，定义域为，又，
因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，
因此，解得.故答案为：
8．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.
9．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10．已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由是R上的单调递增函数，可得：，
解得：，所以实数a的取值范围为，故答案为：
考点03 比较函数值的大小关系
1.已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　)
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
【答案】　D
【详解】易知f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增,又>>>1,故f()>f()>f(),即c>b>a.
2.若a=ln 3,b=lg 5,c=log126,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b
【答案】　D
【详解】　∵a=ln 3>ln e=1,b=lg 5b,a>c,
∵lg 5==,log126==,∴构造函数f(x)==1-(x>0),
显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又∵0c>b.
3．已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即
由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为在上递增，且，所以，
所以，即，因为在上递增，且，
所以，即，所以，故选：D
5．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.
所以.故选：D
6．设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故.故选：D.
7.已知定义域为R的函数f(x), x1,x2∈R,x1≠x2,都有<0,则(　　)
A.f(3)>f(π)>f(2) B.f(π)f(π)>f(3) D.f(π)>f(2)>f(3)
【答案】　B
【详解】易知f(x)是R上的减函数,又π>3>2,故f(π)8.已知函数f(x)在R上为增函数,若不等式f(-4x+a)>f(-3-x2)对 x∈(3,+∞)恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞)
【答案】　C
【详解】由题意,得-4x+a>-3-x2对 x∈(3,+∞)恒成立,则a>-x2+4x-3对 x∈(3,+∞)恒成立.
设函数g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,则当x>3时,g(x)<0,所以a的取值范围为[0,+∞).
9.(多选)下列函数中,值域正确的是(　　)
A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6)
B.函数y=的值域为R
C.函数y=2x-的值域为
D.函数y=+的值域为[,+∞)
【答案】　ACD
【详解】对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).
对于B(分离常数法),y===2+,显然≠0,∴y≠2.
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
对于C(换元法),设t=,则x=t2+1,且t≥0,∴y=2(t2+1)-t=2+,
由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示),可得函数的值域为.
对于D,函数的定义域为[1,+∞),∵y=与y=在[1,+∞)上均单调递增,
∴y=+在[1,+∞)上为增函数,∴当x=1时,ymin=,即函数的值域为[,+∞).
10.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)【答案】　[-1,1)
【详解】依题意得 -1≤a<1.
所以实数a的取值范围是[-1,1).
考点04 函数奇偶性的定义与判断
1．下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，
，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，
因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：因为，对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，
当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.故选：.
3．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B
考点05 由奇偶性求参数
1．若为偶函数，则 ．
【答案】2
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，
所以.故答案为：2.
2．已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.
3．若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，
故此时为偶函数.故选：B.
4．若函数，为奇函数，则参数a的值为 ．
【答案】1
【详解】当时，，当时，，故，
而，故即，故答案为：1.
5．已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，时，整理得到，
故，故答案为：1
考点06 函数奇偶性的应用
1．函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【详解】由题意可得，解得，则.故选：C
2．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知对一切成立，
于是.故选：A
3．（多选）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．当时，
C．当且仅当 D．是的极大值点
【答案】ABD
【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，， 故C错误；对D，当时，，则，
令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；
故选：ABD.
4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.
5．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，
因为，所以，令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．，
，所以．
[方法二]：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手，由两个对称性可知，函数的周期．所以．
故选：D．
考点07 函数的周期性
1.若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=,则f(23)=(　　)
A.-1 B.- C.0 D.
【答案】　B
【详解】由f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是周期为4的周期函数,f(23)=f(23-4×6)=f(-1).
因为f(-1+2)=-f(-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=,所以f(-1)=-f(1)=-=-,故选B.
2．已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
【答案】
【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4.
所以，.
又当时，，所以，，.
3．已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
又，所以．故答案为：.
4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.
故选：B.
5. (多选)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则(　　)
A.f(2 026)=2 B.f(x)的值域为[-1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点
【答案】　AB
【详解】　f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=2,所以A正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,
所以当x∈[0,2]时,函数的值域为[-1,2],由于函数是偶函数,所以函数的值域为[-1,2],所以B正确;当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又函数的周期是4,
所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误;令f(x)=2x-2=0,所以x=1,
所以f(1)=f(-1)=0,由于函数的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,
所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误.
6．（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数
C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.故选：AC.
考点08 函数的对称性
1.已知函数f(x)的定义域为R,f为偶函数,f(2-x)+f(x)=0,f=-,则f=(　　)
A. C.0 D.-
【答案】　A
【详解】因为f为偶函数,所以f=f,所以f(-x+2)=f(x-1),
因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(x-1)+f(x)=0,即f(x)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x-2),
故f(x)=f(x-2),故函数f(x)的一个周期为2,故f=f=f.
由f(x-1)+f(x)=0,令x=得,f+f=0,因为f=-,所以f=,故f=f=.
2.(多选)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,g(x)的图象关于直线x=2对称,f(x)-g(2+x)=4,g(2)=3,则(　　)
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(2 026)=-5 C.g(2 026)=-1 D.f(k)=2 020
【答案】　BD
【详解】由题意知f(x)-4=g(2+x),g(2+x)=g(2-x),所以f(x)-4=f(-x)-4,所以f(x)=f(-x),所以A错误;
由f(0)=4+g(2)=7,因为f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,所以f(1)=1,f(x+2)+f(-x)=2,
所以f(x+4)+f(-x-2)=2,又因为f(x+2)=f(-x-2),所以f(x+4)=f(-x)=f(x),
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 026)=f(2)=2-f(0)=2-7=-5,所以B正确;由g(2 026)=f(2 024)-4=f(0)-4=3,所以C错误;
因为f(1)=1,f(2)=2-f(0)=2-7=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1,f(4)=f(0)=7,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,所以f(k)=506×4+f(1)+f(2)=2 020,所以D正确.
3．已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】由为奇函数，得，
所以图象的对称中心为，令
由的图象关于直线对称，得，
由得，所以，
则的一个周期为4，则
则．
故选：B.
4．已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】因为为定义在上的奇函数，则，
又因为，则，
可得，可知2为的一个周期，
所以.故选：B.
5.已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，
代入得，即，所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以，因为，所以.
所以.
故选：D
6.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ．
【答案】
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，
则对任意的，，，则，
所以，，所以，函数是周期为的周期函数，且，
因此，.故答案为：.
7.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】定义在上的奇函数满足，
则，于是，
即的周期为4，则．故选：C.
8.已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】因为为奇函数，所以，
用代替得，又为定义在上的奇函数，所以，
所以，是以4为周期的周期函数，
因为，所以.故选：D
考点09 函数性质综合应用
1.已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0,则实数t的取值范围为(　　)
A. C.
【答案】D
【详解】因为f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(x)在[-2,0]上单调递增,
所以f(x)在[-2,2]上单调递增,又f(2t-1)+f(t)<0,则f(2t-1)<-f(t),所以f(2t-1)所以解得-≤t<,故实数t的取值范围为.
2.．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以为奇函数，
由恒成立，即恒成立，
所以对于任意恒成立，当时；
当时，又，当且仅当，即时取等号，
所以，所以；综上可得实数的取值范围为.
故选：A
3．（多选题）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为是偶函数， 所以，
又因为是奇函数，所以，所以，
所以，所以，所以的周期为，故A错误；
又当时，，所以，选项B正确；
，选项C正确；，选项D正确.
故选：BCD.故答案为：.
4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(-6.5),
f(-1),f(0)的大小关系是(　　)
A.f(-1)C.f(-1)【答案】D
【详解】∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为2,
∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,f(-6.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),
∴f(0)5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 .
【答案】0
【详解】由题知，是奇函数且是周期为4的周期函数，
又当时，
则
，故.故答案为：0
6．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.
[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，
所以，所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
7.已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，所以．故选：A．

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