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2.4.2圆的一般方程 难点训练微专题(学生版）
突破通法：
求圆的方程的常用方法
选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于，，的方程组，进而求出，，的值.
注意：二元二次方程表示圆的充要条件是
在解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
微专题训练
一、单选题
1．已知表示圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（ ）
A．8 B．7 C． D．
二、多选题
9．若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆关于直线对称
C．若，则圆过坐标原点
D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或
三、填空题
11．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ．
12．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 .
四、解答题
13．求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上．
14．到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
15．已知点在圆上运动，点.
(1)求的最小值；
(2)若为的中点，求点的轨迹方程.2.4.2圆的一般方程 难点训练微专题(解析版）
突破通法：
求圆的方程的常用方法
选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于，，的方程组，进而求出，，的值.
注意：二元二次方程表示圆的充要条件是
在解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
微专题训练
一、单选题
1．已知表示圆，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解.
【详解】由题意知，由可得，
所以，即，解得或，
当时，方程为，可化为，不合题意；
当时，方程为，可化为，符合题意，
所以.
故选：.
2．当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角.
【详解】方程可化为（其中），
当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线的斜率为1，即倾斜角为.
故选：B
3．“或”是“定点在圆的外部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论.
【详解】定点在圆的外部，
，化简得，
k的取值范围：或，
所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
4．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可.
【详解】因为方程可变形为，
由题知，解得，实数的取值范围是.
故选：C
5．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围.
【详解】由题意，
在圆中，，
∴圆心坐标为，半径为3．

∵圆上所有点都在第二象限，
∴，解得．
故选：C.
6．“关于，的方程：表示圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或，
因为真包含于，
所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7．在平面内，两定点、之间的距离为，动点满足，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设点，根据求出点的轨迹方程，结合圆的周长公式可求得结果.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则点、，
设点，由可得，
整理可得，化为标准方程得，如下图所示：
所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
因此，点轨迹的长度为.
故选：A.
8．已知圆，圆，点P在圆N上运动，直线与圆M相切于点A，则的最大长度为（ ）
A．8 B．7 C． D．
【答案】C
【分析】利用圆的切线长公式以及点到圆的距离的位置关系求解.
【详解】由题，圆，圆，
所以圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
作图如下，
因为,
由几何性质可知，当的坐标为时，有最大值为，
此时最大，最大值为，
故选:C.
二、多选题
9．若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】ABC
【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项.
【详解】圆，代入点，
则，则点在圆外，
所以的最大值为，最小值为，，
所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7.
故选：ABC
10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆关于直线对称
C．若，则圆过坐标原点
D．若圆的圆心到轴的距离等于圆的半径，则或
【答案】BCD
【分析】把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，再根据圆的性质判断各选项是否正确.
【详解】圆：，
所以圆心为，圆的半径：，（），故A错误；
因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故B正确；
对C：当时，圆：，所以圆过坐标原点，故C正确；
对D：由且或，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
11．已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ．
【答案】，
【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标.
【详解】由题设，可得，故，
令，则，不妨令其为，令
令，则，且，
所以或，则是的两个根，
经过，，三点的圆为，
所以，即是的两个根，则，
且且（否则与中一点重合且为原点），则，
综上， ，则，
令，可得，即或，
对应分别为，所以圆必过，.
故答案为：，
12．已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；
【详解】设，
M为线段的中点，，
而A是圆C上一动点，
故，
整理得：，
即，
故动点M的轨迹方程为.
故答案为：
四、解答题
13．求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上．
【答案】证明见解析
【分析】找出圆心坐标，消去参数即可.
【详解】证明：由圆方程得：
．
设圆心坐标为，则，
由得，代入化简得：，
所以不论为何值，圆心在同一直线上．
14．到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据题设建立方程求解即可.
【详解】，，
代入，得，
化简得，
则动点的轨迹方程为．
15．已知点在圆上运动，点.
(1)求的最小值；
(2)若为的中点，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可；
（2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程
【详解】（1）圆的标准方程为，
故圆心，半径.
因为，所以点在圆外.
所以的最小值为.
（2）设.
因为为线段的中点，
所以则
因为点在圆上运动，
所以，
代入得，
化简得，
所以点的轨迹方程为.

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