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素养提升课(三)　波的图像与振动图像、波的多解问题
[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
考点1　波的图像与振动图像的综合
问题
振动图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但两种图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的不同，现比较如下：
图像类型 振动图像 波的图像
研究对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
物理意义 表示同一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)某一质点在各时刻的位移 (4)各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻的加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随着时间推移，图像延续，但已有形状不变 随着时间推移，波形沿传播方向平移
一完整曲 线占横坐 标的距离 表示一个周期 表示一个波长
【典例1】　一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是该波中某振动质点的位移随时间变化的图像(两图用同一时刻作为起点)。
甲　　　　　　　　　　　　乙
(1)图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像______(填正确选项即可)；若该波沿x轴正方向传播，则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像________(填正确选项即可)。
A．x＝0处的质点　　 B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点 D．x＝3 m处的质点
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
思路点拨：题中给出了t＝1 s时的波形图和介质中某质点的振动图像，可根据波的传播方向和质点振动方向的关系进行分析。
[解析]　(1)当t＝1 s时，由题图乙可知，此时该质点在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由于该波沿x轴负方向传播，由题图甲知此时x＝0处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动。若该波沿x轴正方向传播，由题图甲可知，t＝1 s时x＝2 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动。
(2)在t＝1 s时，x＝3 m处的质点在正向最大位移处，可得振动图像如图所示。
[答案]　(1)A　C　(2)见解析图
　(1)如果已知波形图和波的传播方向，可以确定质点的振动方向；如果已知质点的振动方向和波的图像，可以确定波的传播方向。
(2)在分析和解答这类问题时，要看清是哪一时刻的波形图，对应着振动图像中哪一时刻质点正在向哪一方向振动，最后由振动方向与波的传播方向的关系求解。
[跟进训练]
1．一列横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中的沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过周期开始计时，则图乙描述的是(　　)
甲　　　　　　　　　　　乙
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
B　[根据波的图像可知，a处质点经过周期在波谷，b处质点经过周期在平衡位置且向下振动，c处质点经过周期在波峰，d处质点经过周期在平衡位置且向上振动，则题图乙描述的是b处质点的振动图像，选项B正确。]
考点2　波的多解问题
由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题。
1．造成波的多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．波动问题的几种可能性
(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，求：
(1)这列波的可能波速的表达式；
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
思路点拨：(1)由图可直接读出振幅和波长。
(2)由于波形的周期性和双向性，可分两种情况写出通项。
(3)根据题设给定的时间或波速代入通项进行判断。
[解析]　(1)未明确波的传播方向和Δt与T的关系，故有两组系列解。
当波向右传播时：
v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2…)， ①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s＝4(4n＋3) m/s(n＝0，1，2…)。 ②
(2)明确了波的传播方向，并限定3T＜Δt＜4T，设此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ，
即n＝3，代入②式
v左＝4(4n＋3) m/s＝4×(4×3＋3) m/s＝60 m/s。
(3)给定的波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝ λ，故波向右传播。
[答案]　(1)v右＝4(4n＋1)m/s(n＝0，1，2…)
v左＝4(4n＋3)m/s(n＝0，1，2…)　(2)60 m/s　
(3)向右传播
　解决波的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。
[跟进训练]
2．一列横波在x轴上传播，介质中a、b两质点的平衡位置分别位于x轴上xa＝0、xb＝6 m处，t＝0时，a质点恰好经过平衡位置向上运动，b质点正好到达最高点，且b质点到x轴的距离为4 cm，已知这列波的频率为5 Hz。
(1)求经过Δt＝0.25 s时a质点的位移大小以及这段时间内a质点经过的路程；
(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长、小于两个波长，求该波的波速。
[解析]　(1)由题意可知T＝＝0.2 s，
故经过Δt＝(1＋)T，a质点恰好到达最高点，
所以a质点的位移大小为4 cm，
a质点经过的路程为5A＝20 cm。
(2)若波沿x轴正方向传播，则有λ＝6 m(n＝0，1，2…)。
由于a、b在x轴上的距离大于一个波长、小于两个波长，故n＝1。
对应的波长λ＝ m，
得v＝λf＝ m/s。
若波沿x轴负方向传播，则有λ＝6 m(n＝0，1，2…)。
同理，由限制条件可得n＝1，v＝λf＝24 m/s。
[答案]　(1)4 cm　20 cm　(2) m/s或24 m/s
素养提升练(三)　波的图像与振动图像、波的多解问题
一、选择题
1．根据如图所示的甲、乙两图像，分别判断它们属于何种图像(　　)
甲　　　 　　　　乙
A．甲是振动图像，乙是波的图像
B．甲是波的图像，乙是振动图像
C．都是波的图像
D．都是振动图像
B　[波的图像横轴为x轴，表示介质中各振动质点的平衡位置，振动图像横轴为t轴，表示时间，故选项B正确。]
2．一列简谐横波沿x轴负方向传播，波速为v＝4 m/s。已知坐标原点(x＝0)处质点的振动图像如图所示，在下列选项中能够正确表示t＝0.15 s时波形的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[由振动图像知，周期T＝0.4 s，故波长λ＝vT＝1.6 m。同时还可以从振动图像知道坐标原点处的质点在t＝0.15 s时的位移为正，振动方向向y轴负方向，分析可知选项A正确。]
3．一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
甲　　　　　　　乙
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
B　[由题图乙可知，开始计时时刻，即0时刻质点L向上振动，再结合题图甲，可知该横波沿x轴正方向传播，A错；由该横波沿x轴正方向传播，从题图甲可看出，质点N该时刻向y轴负方向运动，B对；横波传播时，质点不随波迁移，C错；该时刻质点K与M的速度为零，加速度大小相等，但方向相反，D错。]
4．一简谐机械横波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。t＝0时刻的波形如图甲所示，a、b是波上的两个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是(　　)
甲　　　　　　乙
A．t＝0时质点a的速度比质点b的大
B．t＝0时质点a的加速度比质点b的小
C．图乙可以表示质点a的振动
D．图乙可以表示质点b的振动
D　[根据题图甲所示的波的图像可知，t＝0时质点a速度为零，质点b速度最大，即t＝0时质点a的速度比质点b的速度小，选项A错误；由于t＝0时质点a在位移最大处，所受回复力最大，加速度最大，所以t＝0时质点a的加速度比b的大，选项B错误；由于波沿x轴正方向传播，t＝0时质点a从正的最大位移处向下运动，质点b从平衡位置向下运动，所以题图乙可以表示质点b的振动，选项C错误，D正确。]
5．如图(a)，在均匀介质中有A、B、C和D四点，其中A、B、C三点位于同一直线上，AC＝BC＝4 m，DC＝3 m，DC垂直AB。t＝0时，位于A、B、C处的三个完全相同的横波波源同时开始振动，振动图像均如图(b)所示，振动方向与平面ABD垂直，已知波长为4 m。下列说法正确的是(　　)
A．这三列波的波速均为2 m/s
B．t＝2 s时，D处的质点开始振动
C．t＝4.5 s时，D处的质点向y轴负方向运动
D．t＝6 s时，D处的质点与平衡位置的距离是6 cm
C　[机械波在同一介质中波速大小相同，由题意知波长λ＝4 m，由题图(b)知周期T＝4 s，则波速v＝＝1 m/s，A错误；C波源发出的波最先传到质点D，tCD＝＝3 s，B错误；当t＝3 s时，质点D开始振动，然后重复波源的运动，A、B两列波经5 s才能传到质点D，t＝4.5 s时质点D的振动情况与C波源1.5 s时的相同，则t＝4.5 s时，质点D向y轴负方向运动，C正确；t＝6 s时三列波都已传到质点D，但A、C两波源引起的振动完全抵消，相当于只有B波源引起的振动，t＝6 s时质点D的振动情况与B波源1 s时的相同，则t＝6 s时，质点D到平衡位置的距离是2 cm，D错误。]
6．如图甲所示为一列简谐波在t＝0时刻的波形图，Q、P为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像。下列说法中正确的是(　　)
甲　 　　　　　　　乙
A．该波传播的速度大小为10 m/s
B．该波沿x轴正方向传播
C．t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴负方向
D．t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小等于质点P的加速度大小
A　[根据波动图像可知波长为λ＝4 m，根据振动图像可知周期为T＝0.4 s，所以波速为v＝＝10 m/s，故A正确；从振动图像上可以看出P质点在t＝0时刻从平衡位置向下振动，所以波应该沿x轴负方向传播，故B错误；由于波向左传播，波的周期为0.4 s，可知t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向，故C错误；根据波的传播方向可以知道0～0.05 s的时间内，P从平衡位置向下运动，而Q从原来位置向上移动，分析可知，t＝0.05 s时Q更衡位置，所以在t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小，故D错误。]
7．一列简谐横波沿x轴传播，如图甲所示为t＝1 s时的波形图，N、P、Q为介质中x＝1 m、x＝2 m 和x＝3 m处的三个质点，图乙为某质点的振动图像。由图像可知，下列说法中正确的是(　　)
甲　　　　　　　　　　　　乙
A．该简谐横波一定沿x轴正方向传播
B．图乙可能是质点P的振动图像
C．t＝2 s时刻，质点P的速度一定最大，且一定沿y轴负方向
D．t＝3 s时刻，质点Q的加速度一定最大，且一定沿y轴负方向
C　[根据振动图像可以确定，t＝1 s时质点经平衡位置向y轴正方向振动，若题图乙是质点N的振动图像，则根据平移法可判断，波向x轴负方向传播，A错误；因为题图乙显示t＝1 s时质点经平衡位置向y轴正方向运动，而质点P此时正在波峰位置，所以题图乙不可能是质点P的振动图像，B错误；根据题图乙可知质点的振动周期T＝4 s，t＝1 s时P处于波峰，t＝2 s时刻，P在平衡位置处速度最大，向y轴负方向运动，C正确；若波向x轴负方向传播，t＝3 s时刻，即经过T，则Q到平衡位置向y轴正方向运动，D错误。]
8．一列简谐波在某一时刻的波形如图中实数所示，经过一段时间，波形变成如图中虚线所示，已知波速大小为1 m/s。则这段时间可能是(　　)
A．1 s B．2 s
C．4 s D．6 s
A　[如果这列波向右传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，λ＝4 m，则这段时间可能为1 s、5 s、9 s…，故选项A正确；如果这列波向左传播，则传播的距离为nλ＋λ(n＝0，1，2，…)，则这段时间可能为3 s、7 s、11 s…，故选项B、C、D错误。]
9．如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线表示t＝0时刻的波形，虚线表示t＝0.7 s时刻的波形。则这列波的(　　)
A．波长为2 m
B．周期可能为0.4 s
C．频率可能为0.25 Hz
D．波速可能为5.7 m/s
B　[由题图可知，这列波的波长为λ＝4 m，选项A错误；由于该波沿x轴正方向传播，根据虚线波形和实线波形之间的时间间隔可得0.7 s＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，解得周期T＝ s(n＝0，1，2，…)，故周期可能为0.4 s，频率不可能为0.25 Hz，选项B正确，C错误；由v＝可知，波速不可能为5.7 m/s，选项D错误。]
10．如图甲所示，一列简谐横波在x轴上传播，图乙和图丙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且xab＝6 m。下列说法正确的是(　　)
甲　　　　　乙　　　　　　丙
A．波一定沿x轴正方向传播
B．波长一定是8 m
C．波速一定是6 m/s
D．波速可能是2 m/s
D　[由题中振动图像无法比较a、b两质点振动的先后，所以无法判断波的传播方向，A项错误；波沿x轴正方向传播时，由题中振动图像得出t＝0时刻，a质点经过平衡位置向下运动，而b位于波峰，结合波形可知xab＝λ(n＝0，1，2，…)，解得波长λ＝＝ m(n＝0，1，2，…)，则波速为v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)；同理可知，若波沿x轴负方向传播时，波长为λ＝ m(n＝0，1，2，…)，波速为v＝ m/s；由以上分析可知，B、C项错误；若波速v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，可知当n＝0时，v＝2 m/s，D项正确。]
二、非选择题
11．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
[解析]　(1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m，
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s，
Q点第一次出现波峰时P点振动了t2＝2T＋T＝，
质点每振动经过的路程为10 cm，当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
[答案]　(1)10 m/s　(2)1.1 s　(3)0.9 m
12．一列简谐横波沿直线传播，在波的传播方向上有P、Q两个质点，它们相距0.8 m。当t＝0时，P、Q的位移恰好都是正的最大值，且P、Q间只有一个波谷。当t＝0.6 s时，P、Q正好都处于平衡位置，且P、Q间只有一个波峰和一个波谷，且该波峰处质点的平衡位置到Q的距离第一次为0.2 m。
(1)若波由P传至Q，求波的周期；
(2)若波由Q传至P，求波速；
(3)若波由Q传至P，从t＝0时开始观察，哪些时刻P、Q间(P、Q除外)只有一个质点的位移大小等于振幅？
[解析]　由题意知λ＝0.8 m。
(1)若波由P传至Q，则t＝0.6 s＝T，
解得T＝0.8 s。
(2)若波由Q传至P，则t＝0.6 s＝T′，
解得T′＝2.4 s，
波速v＝≈0.33 m/s。
(3)若波由Q传至P，则T′＝2.4 s。从t＝0时刻开始，每经过半个周期，P、Q间只有一个质点的位移大小等于振幅，即t＝＝1.2n s，式中n＝0，1，2，…。
[答案]　(1)0.8 s　(2)0.33 m/s　(3)t＝1.2n s(n＝0，1，2，…)
12 / 12素养提升课(三)　波的图像与振动图像、波的多解问题
[学习目标]　1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
考点1　波的图像与振动图像的综合
问题
振动图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但两种图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的不同，现比较如下：
图像类型 振动图像 波的图像
研究对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
物理意义 表示同一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像信息 (1)质点振动周期 (2)质点振幅 (3)某一质点在各时刻的位移 (4)各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移 (3)任意一质点在该时刻的加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随着时间推移，图像延续，但已有形状不变 随着时间推移，波形沿传播方向平移
一完整曲 线占横坐 标的距离 表示一个周期 表示一个波长
【典例1】　一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是该波中某振动质点的位移随时间变化的图像(两图用同一时刻作为起点)。
甲　　　　　　　　　　　　乙
(1)图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像______(填正确选项即可)；若该波沿x轴正方向传播，则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像________(填正确选项即可)。
A．x＝0处的质点　　 B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点 D．x＝3 m处的质点
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
思路点拨：题中给出了t＝1 s时的波形图和介质中某质点的振动图像，可根据波的传播方向和质点振动方向的关系进行分析。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)如果已知波形图和波的传播方向，可以确定质点的振动方向；如果已知质点的振动方向和波的图像，可以确定波的传播方向。
(2)在分析和解答这类问题时，要看清是哪一时刻的波形图，对应着振动图像中哪一时刻质点正在向哪一方向振动，最后由振动方向与波的传播方向的关系求解。
[跟进训练]
1．一列横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中的沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，此后，若经过周期开始计时，则图乙描述的是(　　)
甲　　　　　　　　　　　乙
A．a处质点的振动图像
B．b处质点的振动图像
C．c处质点的振动图像
D．d处质点的振动图像
考点2　波的多解问题
由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题。
1．造成波的多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．波动问题的几种可能性
(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】　一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，求：
(1)这列波的可能波速的表达式；
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
思路点拨：(1)由图可直接读出振幅和波长。
(2)由于波形的周期性和双向性，可分两种情况写出通项。
(3)根据题设给定的时间或波速代入通项进行判断。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决波的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。
[跟进训练]
2．一列横波在x轴上传播，介质中a、b两质点的平衡位置分别位于x轴上xa＝0、xb＝6 m处，t＝0时，a质点恰好经过平衡位置向上运动，b质点正好到达最高点，且b质点到x轴的距离为4 cm，已知这列波的频率为5 Hz。
(1)求经过Δt＝0.25 s时a质点的位移大小以及这段时间内a质点经过的路程；
(2)若a、b在x轴上的距离大于一个波长、小于两个波长，求该波的波速。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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