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河北省百师联盟2026届高三上学期开学摸底联考数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D.
3. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 响应“全民健身+电竞”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下(单位∶分)∶
105 112 118 120 123 125 127 129 130 132 135 137 139 141 143 145 147 150
这18名选手1分钟内健身操动作完成得分的第60百分位数为（ ）
A. 132 B. 133.5 C. 135 D. 136
6. 已知圆台的上、下底面面积分别为16π和36π，其侧面积为30π，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则的大小关系为(参考数据∶) （ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的首项为1，，则数列的前20项和为（ ）
A. 190 B. 380 C. 210 D. 420
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线可以是圆
B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 当曲线是椭圆或双曲线时，焦距均为6
10. 设，则下列说法正确的有（ ）
A. 的展开式中所有项的二项式系数的和为
B.
C.
D.
11. 关于函数，有下述四个结论，则正确的有（ ）
A. 是的一个周期
B. 的最小值为
C. 在区间上单调递减
D. 在上有4052个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________.
13. 已知向量，，若在方向上的投影向量为，则________．
14. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球表面积为_________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
16. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 在校园文化建设中，社团活动丰富多彩．学校为了解高一、二学生对手工制作社团的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”，每月参与手工制作社团活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”．随机抽取100名学生，得到如下统计数据：
学生 参与热情 合计
积极参与 一般参与
高一学生 30 20 50
高二学生 25 25 50
合计 55 45 100
（1）依据的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级有关联？
（2）该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随机选一个．若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为；若周一选绘画社团，周二选手工制作社团的概率为．求小李周二选绘画社团的概率．
（3）用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作社团的学生人数为，记“”的概率为，求使取得最大值的的值．
参考公式及数据： 其中．
0.1 005 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18. 已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线方程．
（2）设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补．
①求的值；
②若，求面积的最大值．
19. 已知函数，其中．
（1）求的单调区间；
（2）若函数有两个不相等零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
参考答案
1-8.CCBDC AAC
9.BCD
10.ABC
11.BD
12.[1, 2].
13.7
14.52π

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