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1.3 证明 [浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
2．（2024八上·永嘉月考）如图，若则下列结论中不成立的是（　　）
A． B． C．DA平分 D．
3．（2024八上·杭州月考）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（　　）
A．34° B．35° C．69° D．104°
4．（2024八上·义乌月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的、、三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
5．（2024八上·乐清月考）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．75°
6．（2024八上·拱墅月考）如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．（2024八上·柯桥月考）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　）
A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E
8．（2024八上·金华月考）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024八上·拱墅月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的a、b、C三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
10．（2024八上·金华月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形中最多只有一个角不是锐角
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
11．（2024八上·义乌月考）如图，已知在中，，点在上且．设，，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024八上·义乌月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
13．（2024八上·柯桥月考）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（　　）
A．120° B．90° C．100° D．30°
14．（2024八上·吴兴月考）如图，，连接，点 D 恰好在上， 则（　　）
A．60 ° B．59 ° C．61 ° D．无法计算
15．（2023八上·临平月考）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2024八上·金华月考）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为　 　．
17．（2024八上·义乌月考）中，，那么与相邻的一个外角等于　 　
18．（2024八上·宁波月考）如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则．
19．（2024八上·杭州月考）如图，在中，平分，则．
20．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，点D在上，沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为　 　．
21．（2024八上·诸暨月考）如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　度．
22．（2024八上·吴兴月考）如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　 　．
23．（2024八上·义乌月考）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为　 　．
24．（2024八上·浦江月考）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是　 　．
25．（2024八上·乐清月考）如图，将沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在直线重合，点落在边上的点处，若，，则．
26．（2024八上·余杭月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝　 　°．
27．（2023八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠BDC=　 　度；
28．（2023八上·新昌月考）如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　 　．
三、证明题
29．（2024八上·柯桥月考）如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，，，．
（1）求证：；
（2）若，求∠CDE的度数．
30．（2024八上·恩平月考）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
31．（2024八上·义乌月考）如图，已知和，，，，与交于点，点在上．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
32．（2024八上·永嘉月考）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．
（1）证明：；
（2）求的长．
33．（2024八上·龙湾月考）如图，的两条高线相交于点．将下面证明的过程补充完整．
证明：∵是的两条高线（ ① ），
∴（高线的定义）．
∵（ ② ）（ ③ ），
∴，
∴（ ④ ）．1.3 证明 [浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·诸暨月考）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
C
解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故选：C．
根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”列式计算．
2．（2024八上·永嘉月考）如图，若则下列结论中不成立的是（　　）
A． B． C．DA平分 D．
D
解：A、∵，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D符合题意；
故答案为：D．
根据全等三角形对应角相等得，从而得，即可判断A成立；根据全等三角形对应角相等以及三角形外角的性质得，即可判断B成立；根据全等三角形的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，即可判断C成立；根据全等三角形对应边相等得，即可判断D不成立.
3．（2024八上·杭州月考）如图，将三角形纸板直角顶点放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，则∠3的度数为（　　）
A．34° B．35° C．69° D．104°
A
解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案为：A．
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和，即可得到答案.
4．（2024八上·义乌月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的、、三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
D
解：A、∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，故A不符合题意；
B、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），故B不符合题意；
C、三条线段能组成三角形的关键条件是：任意两边之和大于第三边，例如，但是1，2，3中，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、对顶角相等，故D符合题意.
故答案为：D．
利用三角形的外角性质可对A作出判断；利用SAS证全等可对B作出判断，利用三条线段能组成三角形的关键条件可对C进行判断；利用对顶角相等可对D进行判断．
5．（2024八上·乐清月考）一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．75°
D
6．（2024八上·拱墅月考）如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
A
解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示：
则，，
，，
；
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：A．
根据三角形高的性质以及三角形内角和定理，可得；根据三角形全等的判定和性质，即可得AM=FN，进而可得.
7．（2024八上·柯桥月考）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　）
A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E
D
解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意，
同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，
故选：D．
由题意知五名同学中成绩由高到低的顺序是E、D、C、B、A，再取前三名成绩即可．
8．（2024八上·金华月考）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
C
解：∵∠2是△BO1O2的外角，
∴∠O1BO2=∠2-∠1=140°-120°=20°，
∵BO1，BO2是∠ABC的三等分线，
∴=20°，∠ABC=3∠O1BO2=60°，
在△BCO1中，∠CBO1=20°，∠2=140°，
∴∠BCO1=180°-∠2-∠CBO1=20°，
∵CO1是∠ACB的平分线，
∴∠BCO1 =∠ACO1=20°，∠ACB=40°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°， 故答案为：C.
利用三角形的外角性质，可求出∠O1BO2=20°，结合三等分线的定义，可求出∠ABC=60°和=20°，再利用三角形内角和定理可求出∠BCO1 =20°，结合角平分线的定义可求出∠ACB=40°，再利用三角形的内角和定理即可得出答案.
9．（2024八上·拱墅月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的a、b、C三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
D
解：A、三角形的外角大于和它不相邻的内角，A选项不符合；
B、两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，B选项不符合；
C、满足a+b>c，同时要满足a-bD、对顶角相等，D选项符合；
故答案为：D.
根据真命题的定义，命题的题设成立，命题的结论也一定成立，分别对A、B、C、D四个选项进行判断，A选项不符合，因为三角形的外角大于和它不相邻的内角，B选项不符合，因为两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，C选项不符合，因为组成三角形三边的条件是两边之和大于第三边，还要同时满足两边之差小于第三边，D选项符合，对顶角相等.
10．（2024八上·金华月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形中最多只有一个角不是锐角
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
C
解：A、 锐角三角形的三条高都在三角形内，钝角三角形有两条高在三角形外部，故A错误；
B、 钝角三角形中，钝角的外角小于内角，故B错误；
C、 三角形中最多只有一个角不是锐角，故C正确；
D. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故D错误；
故答案为：C．
根据三角形高、外角、内角和以及垂直平分线和角平分线的性质对选项逐一进行判断即可．
11．（2024八上·义乌月考）如图，已知在中，，点在上且．设，，则（　　）
A． B．
C． D．
D
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：D．
由等边对等角可得，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可将β表示为，由直角三角形锐角互余可得，将两式相加即可求解．
12．（2024八上·义乌月考）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗．
甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙说：“一定是丁打碎的．”
丙说：“我没有打碎玻璃窗．”
丁说：“我没有干这件事．”
若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
D
解：A、假设是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，故A不符合题意；
B、假设是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人说了谎，B不符合题意；
C、假设是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人说了谎，故C不符合题意；
D、假设是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人说了谎，故D符合题意；
故选：D．
根据题意，利用假设法逐一判断即可．
13．（2024八上·柯桥月考）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（　　）
A．120° B．90° C．100° D．30°
C
解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=120°，∠B =20°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°.
故答案为：C．
根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解.
14．（2024八上·吴兴月考）如图，，连接，点 D 恰好在上， 则（　　）
A．60 ° B．59 ° C．61 ° D．无法计算
B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
首先根据SAS证得， 即可根据全等三角形的性质得出，即可得出∠3=∠1+∠2=59°。
15．（2023八上·临平月考）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
C
解：∵∠AOB=∠COD=40°
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD
即∠AOC=∠BOD
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD(SAS)
∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，①正确；
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC交于点G，OH⊥MB交于点H
则∠OGC=∠OHD=90°
在△OCG和△ODH中
∴△OCG≌△ODH(AAS)
∴0G=OH
∴OM平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC
假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD
∴∠COM=∠BOM
∵MO平分∠BMC
∴∠CMO=∠BMO
在△COM和△BOM中
∴△COM≌△BOM(ASA)
∴OB=OC
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA>OC矛盾
∴③错误；
正确的有①②④
故选：D
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题
16．（2024八上·金华月考）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为　 　．
解：如图所示：
据图可知，，
∴△FBC是等腰直角三角形，
∴，
∴
，
故答案为：.
据图可知，，根据等边对等角求出，再根据三角形的外角性质即可求解．
17．（2024八上·义乌月考）中，，那么与相邻的一个外角等于　 　
117°
解：的外角=.
故答案为：117°
利用三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和即可求解.
18．（2024八上·宁波月考）如图，沿折叠使点A落在点处，分别是平分线，若，则．
140
19．（2024八上·杭州月考）如图，在中，平分，则．
36
20．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，点D在上，沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为　 　．
解：∵折叠的性质，∠ACB=90°，
∴，，
∵∠B=23°，∠CDA=∠DCB+∠B，
∴，
故答案为：．
先根据折叠的性质可知，，再根据三角形外角性质得∠CDA=∠DCB+∠B，从而代入数值求出的度数．
21．（2024八上·诸暨月考）如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　度．
105
解：如图所示，
∵∠C＝60°，∠1＝45°，
∴∠2＝90° ∠1＝45°，
∴∠α＝∠C＋∠2＝60°＋45°＝105°．
故答案为：105．
先利用直角的意义求出∠2，再三角形外角的性质求得∠α．
22．（2024八上·吴兴月考）如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　 　．
解：，，
，
是翻折得到，
，
∵在中，，
．
故答案为：．
先根据根据直角三角形两锐互余求出，再利用翻折的性质推出∠CED，最后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算 ．
23．（2024八上·义乌月考）如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B、C为直线l上两点，且．若P是l上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为　 　．
或或
当点P在点 B右侧时：∵，且，
∴，
①，，由得：，
∴，
；
②，，由得：，
∴，
∴；
③，， 得：，
∴，
这与已知矛盾，假设不成立；
④，， 得：，
∴，
这与已知矛盾，假设不成立；
当点P在点B的左侧时，
⑤，， 得：，
∴，
解得：，
∴；
⑥，，得：，
∴，
解得：，
∴；
综上，的所有可能的度数为或或，
故答案为：15°或22.5°或120°．
由题意分两类：当点P在点 B右侧时；当点P在点B的左侧时；根据“准直角三角形”的定义，并结合三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解．
24．（2024八上·浦江月考）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是　 　．
10度或100度
25．（2024八上·乐清月考）如图，将沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在直线重合，点落在边上的点处，若，，则．
65°
26．（2024八上·余杭月考）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝　 　°．
36
解： 设的度数为x，
，
平分，
，
，
解得：，
．
故答案为：36．
设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可．
27．（2023八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠BDC=　 　度；
67
28．（2023八上·新昌月考）如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　 　．
10°
解：∵，
∴，
由折叠可知，
∴，
故答案为：．
先求出，再利用折叠的性质求出，最后利用角的运算求出即可.
三、证明题
29．（2024八上·柯桥月考）如图，点D在AC上，BC，DE交于点F，，，．
（1）求证：；
（2）若，求∠CDE的度数．
（1）证明：∵∠DBA=∠EBC，
∴∠DBA+∠CBD=∠EBC+∠CBCD，
∴∠CBA=∠EBD，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）.
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠C+∠CDE+∠CFD=∠E+∠CBE+∠BFE，且∠CFD=∠BFE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵ ， ，
∴∠CDE=∠ABD=20°.
】（1）利用“SAS”直接证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得∠C=∠E，再根据三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即：∠ABC=∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）；
（2）解：由（1）可知：△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，
∵∠DFB=∠C+∠CDE，
∠DFB=∠E+∠CBE，
∴∠CDE=∠CBE，
∵∠ABD=∠CBE=20°，
∴∠CDE=20°．
30．（2024八上·恩平月考）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．
解（1）证明：∵在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°
（1）利用AAS证明△ABE和△DCE全等即可．
（2）根据全等三角形的对应边相等得到EB=EC，即可得到∠EBC=∠ECB，再利用三角形的外角性质得到∠AEB=2∠EBC即可解题.
31．（2024八上·义乌月考）如图，已知和，，，，与交于点，点在上．
（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，∠APC=∠D+∠BCD，
∴．
答：∠BCD的度数为40°．
（1）由角的和差和等式的性质可得∠BAC=∠DAE，然后根据角边角证明；
（2）先根据全等三角形的对应角相等可得，再根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”得∠APC=∠D+∠BCD即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
32．（2024八上·永嘉月考）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．
（1）证明：；
（2）求的长．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
∴，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（1）根据等边三角形性质得，由三角形的外角性质求得，最后根据等腰三角形的判定得证结论；
（2）过点作，垂足为点，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，最后根据等腰三角形“三线合一”性质求出．
（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点F作于，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴由三线合一得，
∴．
33．（2024八上·龙湾月考）如图，的两条高线相交于点．将下面证明的过程补充完整．
证明：∵是的两条高线（ ① ），
∴（高线的定义）．
∵（ ② ）（ ③ ），
∴，
∴（ ④ ）．
已知，，三角形外角的性质，

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