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1.5 三角形全等的判定[浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·龙湾月考）如图，已知线段，相交与点，，添加下列条件能判断的是（　　）
A．
B．
C．
D．以上条件均不能判定两个三角形全等
C
2．（2024八上·西湖月考）如图是用尺规作一个角等于已知角的示意图，根据，可得，则说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
A
3．（2024八上·义乌月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
A
4．（2024八上·杭州月考）如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图， 由 可得 ，由作图的过程可知， 说明 的依据是（ ）
A．SAS B． C．ASA D．
B
解：根据作图过程可知：
在和中，
，
故答案为： B.
根据作图过程可得， 又 根据SSS可以证明 ， 即可得结论.
5．（2024八上·绍兴月考）如图，在四边形中，平分于点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
解：选项①：如图，在上截取，连接，
∵，
，
∴，
，
∴，
∵平分，即，
在和中，
∵，
∴，
，
∴，故①正确；
选项②：
∵
∴，
，故②正确；
选项③：∵
，
根据已知条件无法证明，故③错误；
选项④：∵，
∴，
∴，
即，故④正确．
综上可知正确的选项为：①②④，
故选∶C
选项①：在上截取，连接，根据平分，，证明出，故选项①正确；
选项②：由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，故选项②正确；
选项③：由可得∠ACD=∠ACF，无法证明∠ACD=∠BCE，故选项③错误；
选项④；由三角形面积公式及等量代换可得，故选项④正确．
6．（2024八上·诸暨月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
D
解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴A，B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
不能确定之间的关系，
∴D不正确．
故选：D．
先证明是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“SSS”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
7．（2024八上·金华月考）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
A
解：平分，
，
在和中，
，
，
∴∠CDB=∠EDB，
∵∠EDB=∠EDA+∠ADB，
∴∠CDB=∠EDA+∠ADB，
∵∠CDB+∠ADB=180°，∠ADE=44°，
∴∠EDA+∠ADB+∠ADB=44°+2∠ADB=180°，
∴∠ADB=68°.
故答案为：A.
先证明（SAS），可得∠CDB=∠EDB，再根据∠CDB+∠ADB=180°，即可得出答案.
8．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）
A．1.5
B．2
C．
D．
B
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，，
∴△CEB △ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故答案为：B．
根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值．
9．（2024八上·义乌月考）如图，已知，下列判断中，错误的是（　　）
A．若添加条件，则
B．若添加条件，则
C．若添加条件，则
D．若添加条件，则
B
解：根据已知条件可知，， BC=CB，
所以，A、当添加AB=DC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DCB，故A不符合题意，
B、当添加AC=DB时，不能判断△ABC≌△DCB，故B符合题意，
C、当添加∠A=∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DCB，故C不符合题意，
D、当添加∠ACB=∠DBC时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DCB，故D不符合题意，
故答案为：B.
直接根据全等三角形的判定定理对各个选项逐一进行判断即可.
10．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
解：①是的平分线，，
，，
在和中，
，
，
，故①正确；
②，，
，
∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，故②正确；
③，
，
，，
∴，，
∵，
∴，
，
，故③错误；
④当时，有，
，
，
，则与不相等，故④错误；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C．
①先结合角平分线的定义证明，得，即可判断①正确；②由①中的三角形全等可得，由①同理可证，得，于是得，即可判断②正确；③由①②的三角形全等可得，，由三角形内角和定理得，据此可求出，即可判断③错误；④当时，有，结合的大小可知，于是与不相等，即可判断④错误.
11．（2024八上·金华月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学知识，说明画出的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
D
解：由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，
在△COD与△C'O'D'中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：D.
由作法易得OD＝O'D'，OC＝O'C'，CD＝C'D'，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A'O'B'＝∠AOB．
12．（2024八上·拱墅月考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
A
解：∵，，，∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：A ．
根据题意先证，再用平角为180度，得，由此即可求解．
13．（2024八上·南湖月考）如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　）
A．△AEG B．△ADF C．△CEG D．△FDG
D
14．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
C
解：，，，
，
，，，
，
，故①符合题意，
，
，故④符合题意，
，
，
，故③符合题意，
由题意无法证明，故②不合题意，
故正确为：①③④，
故答案为：C．
根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得两个全等三角形对应的角相等；根据三角形外角的性质和等量代换原则，可得以及.
二、填空题
15．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为　 　．
5
解：，，，
∴∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=90°-∠ACB=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴DE=BC=2，AB=CD=3，∴图中阴影部分的面积为=5，
故答案为：5.
先证明△ABC≌△CDE，利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可.
16．（2024八上·金华月考）如图，已知，请补充条件：　 　（写一个即可），使．
（答案不唯一）
解：判断，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，
∴根据SAS，可以添加条件：AB=AC，
根据AAS，可以添加条件：∠B=∠C，
根据ASA，可以添加条件：∠ADB=∠ADC，
故答案为：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠ADC.
根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
17．（2024八上·永嘉月考）如图，已知，要证明，则需要添加一个条件　 　．
（答案不唯一）
解：添加条件，证明如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
根据题意得，，然后由“”任意一种都可得到答案.
18．（2024八上·慈溪月考）如图，，，要使还需添加一个条件是　 　．（只需写出一种情况）
∠A＝∠D
19．（2024八上·浦江月考）如图，在上，在上，且，请添加一个条件　 　，能得到．
或（答案不唯一）
20．（2024八上·嘉善月考）如图，，，若添加一个条件可得，对应的理由是，则添加的条件是．
21．（2024八上·义乌月考）如图，已知AB=AC，若以“SAS”为依据证明ECD，需添加一个条件是．
AD=AE
22．（2024八上·宁波月考）如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：．
（答案不唯一）
23．（2024八上·诸暨月考）如图，已知，，请你依据“”添加一个条件　 　，使
或（任写一个即可）
解：∵，
∴，
∵依据“”证明全等，
∴在和中，
，
∴，
∴添加条件为：或（任写一个即可），
故答案为：或（任写一个即可）．
先利用平行线性质得到，结合，可利用SAS或AAS或ASA添加一个条件使得，由此求解．
24．（2024八上·柯桥月考）如图，射线平分，点在射线上，若使，则需添加的一个条件是　 　．（只填一个即可）
（答案不唯一）
解：射线平分，
．
又，
当添加时，可根据得出．
故答案为：（答案不唯一）．
若由SAS判定，则需要添加AD=AC即可．
25．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，厘米，，厘米，点为AB的中点．如果点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，同时，点在线段CA上由点向点运动．当点的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
3
解：∵AB=AC=12厘米，
∴点D为AB的中点，
∴BD=厘米
∵能够在某一时刻使与全等．
∴CQ=BD=6厘米，BP=PC=cm， ，
∵ 点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，
∴当P运动到BC中点的时间为：BP÷2=4÷2=2秒
∵点P和点Q是同时运动
∴ 点的运动速度为：CQ÷2=6÷2=3厘米/s
故答案为：3.
根据等腰三角形的性质以及已知条件，可以推断出BD的值，根据全等三角形的性质，可以推断出CQ=BD，BP=PC，，根据点P点Q的同时运动，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间，可以推断出点Q的运动速度.
26．（2024八上·义乌月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号）
①②③
解：①∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确；
③作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解；
②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解；
③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解．
27．（2024八上·金华月考）如图，，请你补充一个条件　 　，使.
解：解：添加AB＝AC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：AB＝AC（答案不唯一）.
要判定△ABD≌△ACD，已知AD＝AD，∠1＝∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB＝AC后可根据SAS判定△ABD≌△ACD．
三、证明题
28．（2024八上·婺城月考）如图，在中，，，，于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求AB的长．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵；∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵
∴．
（1）先根据直角三角形的性质证明，再根据“”证明；
（2）先根据得出，再利用勾股定理求出．
（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）∴；
∴，
∴
在中，
∴，
∴，
在中，
∴
29．（2024八上·义乌月考）如图，在和中，，交于点P．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（1）证明：∵，∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（1）根据，可得，然后利用全等三角形的判定方法SAS证明，根据全等三角形的性质得到证明；
（2）根据，得到，然后结合8字模型，推出，进而求出的度数即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
30．（2024八上·拱墅月考）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，，
由（1）可得，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∵，，
∴，
∴
（1）由可得，再根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等即可求证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，，由全等三角形的对应角相等得出，推得，结合平角的定义即可求解.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
31．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
；；1；7；0.5；3.5
解：延长至点E，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又∵，
∴．
故答案为：，，1，7，0.5，3.5.
延长到E，使，连接，利用中线的性质可得，再利用SAS判定定理证，可得，再在△ABD中利用三角形三边关系即可求AE得范围，即可求出AD的范围．
32．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
（2）解：∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
∴BC－EC＝EF－EC
即BE＝CF
∵BF＝11，EC＝5
∴BF－EC＝6
∴BE＋CF＝6
∴BE＝3
（1）根据两直线平行，同位角相等得出∠ABC＝∠DEF，然后根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等得出△ABC≌△DEF；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出BC＝EF，推得BE＝CF，则利用线段的和差关系求出BE．
33．（2024八上·拱墅月考）如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．
（1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系；
（2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变 并说明理由.
（1）解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴.
，
又
即AC，BQ，AB之间的数量关系为
（2）解：不会改变
理由：
又，
，
即（1）中的数量关系不会改变
（1）根据已知条件，可以推断出，根据三角形内角和定理，可以确定出∠ACP，根据平角的定义，可以推断出∠BPQ，即可推断出∠ACP=∠BPQ，根据全等三角形的判定和性质，可以推断出 AC，BQ，AB之间的数量关系.
（2）根据（1）的推断，即可证明 AC，BQ，AB之间的数量关系 .
34．（2024八上·吴兴月考）如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，
（1）求证： △BCE≌△CAD；
（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
（1）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）；
（2）DE= AD-BE.
（3）DE= BE-AD，理由如下：
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CD-CE=BE-AD
（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE.
（1）结合题意利用同角的余角相等得到，然后利用AAS即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得AD和CE、BE和CD的关系，再利用线段差转化，进而可得出结论；
（3）结合题意利用同角的余角相等得到，再证△BCE≌△CAD，AD和CE、BE和CD的关系，再利用线段差转化，进而可得结论.
35．（2024八上·吴兴月考）如图，和是正三角形，点在边上，连接．
（1）证明：；
（2）当，时，求的长．
（1）证明：和是正三角形，
，，，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
，
在与中，
，
；
（2）解：，∴BC=AB=4
∵，
，
，
．
(1)由手拉手模型可利用SAS证明△BAD≌△CAE即可；
(2) 先利用等边三角形的性质得BC=AB=4，根据得出BD=3，再根据全等三角形的性质得CE=BD即可．
（1）证明：和是正三角形，
，，，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
，
在与中，
，
；
（2）解：，
∴BC=AB=4
∵，
，
，
．
36．（2024八上·长兴月考）如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
（1）证明：∵和是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
（2）解：由（1）得，△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，∠AEB=∠ADC，
∴∠ADE+∠AED=∠ADC+∠CDE+∠AED=∠AEB+∠CDE+∠AED=∠CDE+∠DEB=90°，
∴∠DCE=90°，
∵CD=6，BE=2CE，
∴BE=6，CD=2，
∴．
（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，进而得出∠BAE=∠CAD，再利用“SAS”证明三角形全等即可；
（2）利用（1）中全等性质求出∠DCE=90°，BE=6，CD=2，继而利用面积公式求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵和两个大小不同的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．1.5 三角形全等的判定[浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·龙湾月考）如图，已知线段，相交与点，，添加下列条件能判断的是（　　）
A．
B．
C．
D．以上条件均不能判定两个三角形全等
2．（2024八上·西湖月考）如图是用尺规作一个角等于已知角的示意图，根据，可得，则说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·义乌月考）如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·杭州月考）如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图， 由 可得 ，由作图的过程可知， 说明 的依据是（ ）
A．SAS B． C．ASA D．
5．（2024八上·绍兴月考）如图，在四边形中，平分于点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024八上·诸暨月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·金华月考）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（　　）
A．1.5
B．2
C．
D．
9．（2024八上·义乌月考）如图，已知，下列判断中，错误的是（　　）
A．若添加条件，则
B．若添加条件，则
C．若添加条件，则
D．若添加条件，则
10．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2024八上·金华月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学知识，说明画出的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
12．（2024八上·拱墅月考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024八上·南湖月考）如图，由若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　）
A．△AEG B．△ADF C．△CEG D．△FDG
14．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE﹔②BF＝DE，③∠BFE＝∠BAE：④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
15．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为　 　．
16．（2024八上·金华月考）如图，已知，请补充条件：　 　（写一个即可），使．
17．（2024八上·永嘉月考）如图，已知，要证明，则需要添加一个条件　 　．
18．（2024八上·慈溪月考）如图，，，要使还需添加一个条件是　 　．（只需写出一种情况）
19．（2024八上·浦江月考）如图，在上，在上，且，请添加一个条件　 　，能得到．
20．（2024八上·嘉善月考）如图，，，若添加一个条件可得，对应的理由是，则添加的条件是．
21．（2024八上·义乌月考）如图，已知AB=AC，若以“SAS”为依据证明ECD，需添加一个条件是．
22．（2024八上·宁波月考）如图，已知，要用“”判断，需添加的一个条件：．
23．（2024八上·诸暨月考）如图，已知，，请你依据“”添加一个条件　 　，使
24．（2024八上·柯桥月考）如图，射线平分，点在射线上，若使，则需添加的一个条件是　 　．（只填一个即可）
25．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，厘米，，厘米，点为AB的中点．如果点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，同时，点在线段CA上由点向点运动．当点的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
26．（2024八上·义乌月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号）
27．（2024八上·金华月考）如图，，请你补充一个条件　 　，使.
三、证明题
28．（2024八上·婺城月考）如图，在中，，，，于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求AB的长．
29．（2024八上·义乌月考）如图，在和中，，交于点P．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
30．（2024八上·拱墅月考）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
31．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
32．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
33．（2024八上·拱墅月考）如图1，于点于点B，P，Q分别为线段AB，BD上任意一点．
（1）如图1，若，求AC，BQ，AB之间的数量关系；
（2）如图2，""改为"(为锐角)".若，，判断(1)中的数量关系是否会改变 并说明理由.
34．（2024八上·吴兴月考）如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，
（1）求证： △BCE≌△CAD；
（2）猜想：AD，DE，BE的数量关系为 （不需证明）；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
35．（2024八上·吴兴月考）如图，和是正三角形，点在边上，连接．
（1）证明：；
（2）当，时，求的长．
36．（2024八上·长兴月考）如图，和两个大小不同的等腰直角三角形，，， ，、、在同一条直线上，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．

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