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1.6 线段垂直平分线的性质[浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·义乌月考）以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2024八上·永嘉月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．21
4．（2024八上·余杭月考）如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2024八上·萧山月考）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
6．（2023八上·鄞州月考）如图，三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )
A．80° B．75° C．65° D．45°
7．（2023八上·婺城月考）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．21
9．（2024八上·诸暨月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·南湖月考）如图，在中，，按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D；
②以C为圆心，长为半径画弧交于点E．
若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八上·拱墅月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024八上·义乌月考）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八上·临平月考）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，下列结论：
①；②；③平分；④．正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
14．（2024八上·慈溪月考）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
二、填空题
15．（2024八上·柯桥月考）如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是　 　
16．（2024八上·慈溪月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知中与的周长分别为和，则线段的长等于．
17．（2024八上·义乌月考）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是　 　（填序号）
18．（2024八上·杭州月考）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为　 　．
19．（2024八上·嘉善月考）如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E， 则△AEC的周长等于 .
20．（2024八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是　 　．
21．（2024八上·绍兴月考）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是　 　．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为　 　．
23．（2024八上·杭州月考）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为　 　．
24．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，是的中垂线，点D在上，点E在上，若的周长为，的周长为，则的长度为．
25．（2024八上·瑞安月考） 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为　 　
26．（2024八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为　 　cm.
27．（2024八上·柯桥月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝10，EF垂直平分AC分别交边AC，AB于点E，F．P为线段EF上一动点，D为边BC上的一动点，则DP+CP的最小值是　 　．
28．（2024八上·杭州月考）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是　 　
29．（2024八上·义乌月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝9，CE＝11，且△AEG的周长为16，求EG＝　 　。
三、解答题
30．（2024八上·义乌月考）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结，，求证：；
（2）连结，若，，，求的周长的最小值．
31．（2024八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
32．（2024八上·义乌月考）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的周长．
33．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
34．（2023八上·新昌月考）如图，在中，是的垂直平分线．
（1）若，的周长是13，求的周长
（2）若中，，求的度数．
35．（2023八上·滨江月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：(保留作图痕迹，不要求写作法)
（1）的角平分线CE；
（2）BC边上的中线AF.
36．（2023八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，求∠C的度数．1.6 线段垂直平分线的性质[浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·义乌月考）以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　)
A． B．
C． D．
D
解：A、根据作图过程可知，AD⊥BC，所以AD是△ABC的边BC上的高，故A不符合题意，
B、根据作图过程可知，AD是△ABC的∠BAC的平分线，故B不符合题意，
C、根据作图过程可知，D是BC的中点，AD是BC边上的中线，故C不符合题意，
D、根据作图过程可知，点D为AB的垂直平分线与BC的交点，所以AD=BD，故D符合题意，
故答案为：D．
根据各个选项的作图过程逐一进行判断即可.
2．（2024八上·永嘉月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，若的周长为27，则的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
C
解：∵的垂直平分线交于，
∴，
∵的周长为27，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
根据线段垂直平分线的性质得，然后由三角形周长计算公式推出，代入的值即可得到答案.
3．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．21
A
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
由垂直平分线的性质得到，然后进行等边转换即可求解．
4．（2024八上·余杭月考）如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
C
5．（2024八上·萧山月考）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
D
6．（2023八上·鄞州月考）如图，三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )
A．80° B．75° C．65° D．45°
D
解：已知AB=AC，∠A=30°
可得∠ABC=∠ACB=75°
根据线段垂直平分线的性质可推出AD=CD
所以∠A=∠ACD=30°
所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°．
故答案为：D
根据等腰三角形的性质和三角形内角和公式，可求出∠ABC=∠ACB的度数，然后再根据垂直平分线的性质，可得AD=CD，进而求出∠A=∠ACD的度数，最后再根据∠BCD=∠ACB-∠ACD，代入数据即可求解。
7．（2023八上·婺城月考）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
C
解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，
∴PA＝PC，
∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC，
故选：C．
由题意，PA＝PC，由此判断即可．
8．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．21
A
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式即可求解．
9．（2024八上·诸暨月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
D
解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴A，B正确；
∵，
∴，
∴C正确；
不能确定之间的关系，
∴D不正确．
故选：D．
先证明是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“SSS”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
10．（2024八上·南湖月考）如图，在中，，按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D；
②以C为圆心，长为半径画弧交于点E．
若，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
B
解：如图，过点作于点，
由作图可知是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，，
，
∴，
∵，
，
∴，
由作图可知，
∵，
∴，
故答案为：B．
过点作于点，根据垂直平分线尺规作图步骤可知是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质得，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质得，进而得，于是由等腰三角形的判定得，然后利用勾股定理求出，则，利用“面积法”得，再由勾股定理得，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质求出的值.
11．（2024八上·拱墅月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（　　）
A． B．
C． D．
A
作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
基本尺规作图中通过垂直平分线的做法可以得到中点，所以是边中点的一定是通过线段的垂直平分线得到的.
12．（2024八上·义乌月考）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
A
13．（2024八上·临平月考）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，下列结论：
①；②；③平分；④．正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
B
14．（2024八上·慈溪月考）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
B
二、填空题
15．（2024八上·柯桥月考）如图，中，垂直平分，分别交边于点E，F．P为线段上一动点，D为边上的一动点，则的最小值是　 　
5
16．（2024八上·慈溪月考）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，已知中与的周长分别为和，则线段的长等于．
3
17．（2024八上·义乌月考）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是　 　（填序号）
①②③④
18．（2024八上·杭州月考）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为　 　．
19．（2024八上·嘉善月考）如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、AB分别于点D、E， 则△AEC的周长等于 .
a+b．
20．（2024八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是　 　．
12
21．（2024八上·绍兴月考）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是　 　．
15
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：15．
由题意可知，是的垂直平分线，所以可得，则△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为　 　．
解：∵是的中垂线，
∴，
∴，∵AB=AC=10，BC=6，∴，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，然后推出△BCD的周长=AC+BC，代入数据进行计算即可.
23．（2024八上·杭州月考）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为　 　．
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵．，，
∴，
∴．
故答案为：．
由垂直平分，得，由的周长结合已知求得，从而即可得解.
24．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，是的中垂线，点D在上，点E在上，若的周长为，的周长为，则的长度为．
7
25．（2024八上·瑞安月考） 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为　 　
5
解：连接MA、AD，如图，
∴
∴
∴的最小值为AD，
∵D为BC的中点，
∴
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5，
故答案为：5.
连接MA、AD，根据线段垂直平分线的性质得到：即可得到r然后根据等腰三角形的性质和三角形面积计算公式求出AD的长度即可求解.
26．（2024八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝2cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为　 　cm.
14
解：由作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，
∴
∵△ABD的周长为10cm，
∴
∴
∴△ABC的周长为：
故答案为：14.
根据作图可知：MN为线段AC的垂直平分线，则进而根据题意得到：进而即可求解.
27．（2024八上·柯桥月考）如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝10，EF垂直平分AC分别交边AC，AB于点E，F．P为线段EF上一动点，D为边BC上的一动点，则DP+CP的最小值是　 　．
5
解：过A作AD⊥BC，如图，
∵△ABC中，D为边BC上的中点，
∴
∴
∴
∵EF垂直平分AC分别交边AC，AB于点E，F，
∴点C关于直线EF的对称点为A，
∴AD的长为DP+CP的最小值，
∴DP+CP的最小值为5，
故答案为：5.
过A作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到：进而根据三角形的面积计算公式求出AD的长度，再根据垂直平分线的性质得到：点C关于直线EF的对称点为A，则AD的长为DP+CP的最小值，进而即可求解.
28．（2024八上·杭州月考）如图，的周长为24，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是　 　
18
解：∵的垂直平分线交于点D，垂足为E，，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式得到，则的周长．
29．（2024八上·义乌月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝9，CE＝11，且△AEG的周长为16，求EG＝　 　。
4
解：∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴AE=BE，AG=CG，
∵ △AEG的周长为16，
∴AE+EG+AG=16，
∴BE+EG+CG=16，
∴9-EG+EG+11-EG=16，
∴EG=4.
故答案为：4.
根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AG=CG，再根据△AEG的周长为16，得出BE+EG+CG=16，从而得出9-EG+EG+11-EG=16，即可得出EG的长.
三、解答题
30．（2024八上·义乌月考）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结，，求证：；
（2）连结，若，，，求的周长的最小值．
（1）证明：∵m是的垂直平分线，
∴BD=CD，∠PDB=∠PDC=90°，
∵DP=DP，
∴△BDP≌△CDP（SAS）
∴BP=CP.
（2）解：∵m是的垂直平分线，
∴点B、C关于直线m对称，
如图所示：设直线m交于D，
∵，
∴AP+PC=AP+BP≥AB，
∴当点P和点D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴的最小值=．
答：周长的最小值是．
（1）直接利用线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）由题意可知，点B、C关于直线m对称，可得BP=CP，所以当点P与点D重合时，AP+CP的值最小，此时△APC的周长取得最小值.
（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点，
∴；
（2）解：∵直线m垂直平分，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交于D，如图：
∵，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是：
．
31．（2024八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
（1）解：，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）解：，，
∵，
的周长是，
∴的周长．
∴．
（1）根据等腰三角形的性质得出，然后根据线段的垂直平分线的性质得出，进而得出，最后根据三角形内角和定理就可得出；
（2）根据AN=BN，等量代换可得BN+CN=AC然后的周长，即可得到BC的长．
（1）解：，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
；
（2）解：，
，
∵，
的周长是，
∴的周长．
∴．
32．（2024八上·义乌月考）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的周长．
（1）
（2）
33．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于N．
（1）若，求的度数．
（2）连接，若，的周长是．求的长．
（1）
（2）
34．（2023八上·新昌月考）如图，在中，是的垂直平分线．
（1）若，的周长是13，求的周长
（2）若中，，求的度数．
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长是13，
∴，
∴的周长；
故答案为：19.
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：46°。
（1）利用垂直平分线的性质可得DA=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换求出的周长即可；
（2）利用等边对等角的性质可得，再利用角的运算求出即可.
（1）∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长是13，
∴，
∴的周长；
（2）在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
35．（2023八上·滨江月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：(保留作图痕迹，不要求写作法)
（1）的角平分线CE；
（2）BC边上的中线AF.
（1）解：如图，线段CE即为所求.
（2）解：如（1）图，线段AF即为所求.
（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧交AC、BC于一点，分别以两交点为圆心，以大于两交点距离的一半长为半径画弧，两弧在∠ACB内交于一点，过此点画射线CE交AB于点E即得结论；
（2）分别以点C、B为圆心，以大于BC的一半的长为半径分别画弧，过两弧的交点画直线交BC于一点即为F，连接AF即为所求.
36．（2023八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，求∠C的度数．
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
根据线段垂直平分线的性质得出EA=EC，根据等腰三角形的性质得出∠EAC＝∠C，再根据角平分线的定义得出∠FAB=∠FAC＝∠EAC+19°，利用三角形内角和定理得出∠B+∠BAC+∠C＝180°，从而得出70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，即可得出∠C的度数.

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