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专题03 特殊平行四边形基础证明题分类（5种类型50道）
目录
【题型1 菱形基础证明题】 1
【题型2 矩形基础证明题】 3
【题型3 直角三角形斜边上的中线】 6
【题型4 正方形形基础证明题】 9
【题型5中点四边形】 12
【题型1 菱形基础证明题】
1．如图，在平行四边形中，，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
2．如图，在四边形中，，过点D作的平分线交于点E，连接交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
3．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
(3)连接，若，，则四边形的周长___________．
4．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
5．如图，在中，点是对角线的交点，且，．
(1)求的度数；
(2)过点作，垂足为点，点、分别是、的中点，连接、，求证：四边形是菱形．
6．如图，在直角梯形中，垂直平分交于点E，交于点为的中点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
7．如图，在四边形中．对角线与其垂直平分线相交于点O，点E是上一点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求菱形的周长．
8．如图，在中，，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的面积．
9．已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接，设，相交于点F，垂直平分线段．求的大小．
10．如图，在中，对角线的垂直平分线交、、于点、、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若四边形的面积为20，，求线段的长．
【题型2 矩形基础证明题】
11．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求线段的长．
12．如图，中，，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)作于点F，若，求的长．
13．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
14．如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求的长．
15．如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
16．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，M是的中点，求的度数．
17．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长度．
18．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．
19．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如果，求平行四边形的面积．
20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，交于点，过作，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，的面积为．求的长．
【题型3 直角三角形斜边上的中线】
21．如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
22．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，且，在上取一点E，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接相交于点O，若，的周长为24，求四边形的面积．
23．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
24．已知，与都是等腰直角三角形，，，连接，．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，点D在内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作的高AH，证明：；
(3)如图3，点D在内，平分，的延长线与交于点，点恰好为中点，若，求线段的长．
25．已知，如图，在中，， D是的中点， 连接，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求菱形的面积．
26．如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
27．已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证：
(1)平分；
(2)．
28．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，，点F是的中点，求的长．
29．如图，在中，于 F， 于 E，M 为的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
30．如图，在中，D、E、F分别是的中点，是边上的高．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：．
【题型4 正方形形基础证明题】
31．如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
32．如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、．
①猜想线段、、有何数量关系，说明理由；
②若正方形的边长为，且点为的中点，则________．
33．在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
34．如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q．
(1)求线段的长；
(2)求的大小；
(3)求正方形的边长．
35．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由；
(3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长．
36．已知正方形，E为对角线上一点．
(1)如图1，连接．求证：；
(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点G．判断的形状并说明理由．
37．如图，正方形中，点在上（不与重合），交于点，连接．
(1)设，求的大小（用含的式子表示）
(2)延长与延长线交于点．用等式表示之间的数量关系，并证明．
38．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且
(1)求证：；
(2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？
(3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长．
39．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
40．（1）如图1，点E、F分别在边、上，．求证：．
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边、、、上，，求证：．
（3）如图3，点E、F分别在边、上，、相交于点O，，若正方形的边长为5，与四边形的面积之和与正方形的面积之比为，求的周长．
【题型5中点四边形】
41．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的周长．
42．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长．
43．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长．
44．如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形．
45．定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
46．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是 ，
证明你的结论．
证明：
(2)当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ．
47．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）．
(1)求证：四边形的形状是平行四边形；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形；
(3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形．
48．如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、．
（1）若，则四边形的周长为 ．
（2）图③，若，且，则四边形的面积为 ．
49．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的周长．
50．已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．专题03 特殊平行四边形基础证明题分类（5种类型50道）
目录
【题型1 菱形基础证明题】 1
【题型2 矩形基础证明题】 15
【题型3 直角三角形斜边上的中线】 27
【题型4 正方形形基础证明题】 41
【题型5中点四边形】 60
【题型1 菱形基础证明题】
1．如图，在平行四边形中，，延长到点，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边对等角，三角形的内角和，平行线的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
（1）先由平行四边形的性质得到，，再证明，得出四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形．
（2）利用四边形是菱形，得出，，推出，得出，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
2．如图，在四边形中，，过点D作的平分线交于点E，连接交于点O，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得，再由勾股定理得出，利用菱形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
3．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
(3)连接，若，，则四边形的周长___________．
【答案】(1)证明见解析
(2)24
(3)16
【分析】（1）由题意易证，即得出，即证明平行四边形是菱形．
（2）连接交于O，利用勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．
（2）由菱形的性质可知，即证明，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，即求出，最后利用含角的直角三角形的性质即可求出的长，进而可得的长，即求出菱形的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图，连接交于点O，
∵四边形是菱形，，
，，，
，，
∴，
，
；
（3）解：连接，
由（1）可知，平行四边形是菱形，
，，
，
，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∴四边形的周长，
故答案为：16．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及含角的直角三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
4．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
（1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，，，，
∴，，，，
在中，，，
在中，，，
∴，
在中，，
∴的长为．
5．如图，在中，点是对角线的交点，且，．
(1)求的度数；
(2)过点作，垂足为点，点、分别是、的中点，连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，三角形中位线定理．
（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的中位线定理得到，，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
点、分别是、的中点，
，是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
6．如图，在直角梯形中，垂直平分交于点E，交于点为的中点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)186
【分析】（1）在直角梯形中，，则，根据垂直平分线的性质得出，则，得出，证明，得出，即可得，证出四边形是菱形；
（2）设，根据点为的中点，，得出是是中位线，则，得出，在中，根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在直角梯形中，，
∴，
∵垂直平分交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，
∵点为的中点，，
∴是是中位线，
∴，
∴，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】该题考查了菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是证明菱形．
7．如图，在四边形中．对角线与其垂直平分线相交于点O，点E是上一点，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求菱形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和菱形的判定解答即可．
（2）设，则：，利用勾股定理得到，再根据勾股定理得到，求出的值，进而求出的值，即可得出结果．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
∴，
四边形是平行四边形，
，
，
是菱形．
（2）∵菱形，
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
8．如图，在中，，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即得到，推出，根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到、，根据菱形的性质得到．根据菱形的面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：∵，E是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴．，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
9．已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接DE．
(1)如图1，若，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，连接，设，相交于点F，垂直平分线段．求的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用垂直平分线的判定与性质成为解题的关键．
（1）先证明可得，再证明四边形是平行四边形以及即可证明结论；
（2）由垂直平分可得，再证垂直平分，再证，最后根据平角的性质即可解答．
【详解】（1）证明：设与交于点O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵垂直平分，
∴且，
∴，
又∵且，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
10．如图，在中，对角线的垂直平分线交、、于点、、．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若四边形的面积为20，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，则，，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形为菱形，面积为20，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即线段的长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【题型2 矩形基础证明题】
11．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分，且，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；
（1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题；
（2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：平分，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，即的长是．
12．如图，中，，平分，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)作于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，三个角都是直角的四边形是矩形证明即可；
（2）根据勾股定理，矩形的性质，三角形面积不变性，解答即可．
本题考查了等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴．
13．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，即、；再证明可得，易证四边形是平行四边形，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论；
（2）如图：过点E作于点G，由平行四边形的性质可得，再根据矩形的性质可得，进而得到，最后根据四边形的面积等于以及面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵E为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图：过点E作于点G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，
∵点E是对角线的中心，
∴，
∴
∴四边形的面积为：．
14．如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，求解线段长，解题的关键根据题意找到长度相等的线段．
（1）欲证明四边形为矩形，先根据中位线的性质得到，再根据“垂直同一条直线的两直线平行”得到，从而证明为平行四边形，最后根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”即可证得；
（2）先根据“直角三角形斜边上中线的性质”求得，然后在利用勾股定理得到的长度，最后结合求解即可．
【详解】（1）证明：，，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形为矩形；
（2）解：，点是的中点，，
在中，，
由（1）知，四边形为矩形，则．
在中，由勾股定理得：．
，
．
15．如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质，得到，结合，利用勾股定理得，继而得到，再次使用勾股定理即可求的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，M是的中点，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立；
（2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知．
【详解】（1）证明：∵中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：如图所示，连接．
∵，
∴．
又 ，
∴．
∴，．
∵点M是的中点，
∴．
∴．
∴，．
在和中，，
∴．
∴．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
【点睛】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
17．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
（1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论；
（2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，
∴且，
∵，
∴，
即．
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
18．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，分别是和的中点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∵和的平分线、分别交、于点E、F，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：如图连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点G、H分别为、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∵，G为的中点，
∴，
∴四边形是矩形．
19．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如果，求平行四边形的面积．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质以及等边三角形的性质，证明，然后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可证明结论；
（2）根据勾股定理解得的长度，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：平行四边形的面积是．
20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，交于点，过作，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，的面积为．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）先利用平行四边形性质得、，结合、证四边形是平行四边形，再由推出，进而证其为矩形．
（2）根据平行四边形对边相等得，由面积求出，进而得，最后在中用勾股定理求 ．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、勾股定理以及三角形面积的应用，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
（2）解：∵的面积为，，
∴，
∴，
∴，
在中，．
【题型3 直角三角形斜边上的中线】
21．如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，．由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明；
（2）由（1）知，再求得，根据勾股定理即可求得的长．
本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
∵，点E是的中点，
∴，．
∴．
∵点F是的中点，
∴．
（2）解：由（1）知，
又∵，
∴．
∵，点F为的中点，
∴．
∵，
∴．
22．如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，且，在上取一点E，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接相交于点O，若，的周长为24，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)96
【分析】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证；
（2）斜边上的中线求出，周长公式求出，勾股定理得到，利用完全平方公式边形求出的值，即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形
∵，点D是的中点
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解： ∵，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∵四边形是菱形
∴，即，
∴
∴；
∴．
23．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
（1）可先证得，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论；
（2）根据条件可证得，结合条件可求得答案．
【详解】（1）证明：∵是的中点，D 是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴（），
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：设到的距离为，
∵，，，
∴．
24．已知，与都是等腰直角三角形，，，连接，．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，点D在内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作的高AH，证明：；
(3)如图3，点D在内，平分，的延长线与交于点，点恰好为中点，若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）同理知：，先根据等腰三角形三线合一的性质得，再由直角三角形斜边中线的性质得，最后由线段的和可得结论；
（3）如图，连接，设，则，， ，由（）知，得，证明，得，计算，根据，列方程可解答．
【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，∵，，，
∴，
∴，
∴，
由（）知：，
∵点在内，，，三点在同一直线上，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
设，则，，，
由（）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．已知，如图，在中，， D是的中点， 连接，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先证明，得证，可判定四边形是平行四边形，结合即可得证．
（2）根据，证明是等边三角形，过点C作于点M，根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据菱形的面积定义解答即可．
【详解】（1）证明：∵中，， D是的中点，
∴
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵中，， D是的中点，，，
∴，，
∴是等边三角形，
过点C作于点M，
∴，
∴，
∴菱形的面积．
26．如图，在中，，为边的中线，E为上一点，连接，F为的中点，且平分．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了三角形的中位线性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．
（1）根据三角形的中位线性质得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明；
（2）根据三角形的中位线性质得到，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】（1）证明：∵为边的中线，
∴D为的中点，
∵F为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知是的中位线，
∴，
∴，
∵D是斜边中点，是直角三角形，
∴，
∴．
27．已知：如图，在中，是边上的高，是边上的中线，是的平分线，与的垂直平分线相交于点．求证：
(1)平分；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意，得，只需证明即可证明平分；
（2）根据，得，结合，得到即可得证．
本题考查了直角三角形中线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）证明：∵是边上的高，
∴，
∵是的平分线，与的垂直平分线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，若，，点F是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
（1）由题意可得，继而可得结论；
（2）由可证，可得，，由勾股定理可求解；
（3）由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长．
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，，，
，，，
∴；
（2）证明：连接，
在和中，
，
，，
，
是直角三角形，
，
；
（3）解：如图2，过点作于，
，，，，
，
，
点是的中点，
，
都是等腰直角三角形，，，
，
，
．
29．如图，在中，于 F， 于 E，M 为的中点，．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为12
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解答本题的关键．
（1）先根据垂直定义可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答；
（2）过点M作，垂足为G，先利用等腰三角形的三线合一性质可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：于F，于E，M为的中点，
，
；
（2）如图，
过点M作于点D，
于F，于E，M为的中点，
，
，
，
∴在中，根据勾股定理，得，
．
30．如图，在中，D、E、F分别是的中点，是边上的高．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得，再根据平行四边形的判定定理可证明结论；
（2）由三角形高的定义和三角形内角和定理可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此可证明，则可证明．
【详解】（1）证明：∵在中，D、E、F分别是的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【题型4 正方形形基础证明题】
31．如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性．
（1）由正方形得，，可证得，可证得结果；
（2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论；
②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长
【详解】（1）证明：∵在正方形中，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，作于点P，于点Q，
∵在正方形中，
∴，
∴和均为等腰直角三角形，
由勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
②解：∵在正方形，正方形中，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形，
根据勾股定理得，
∵，
∵，
即正方形的边长为；
故答案为：
32．如图1，正方形中，、分别是、上的点，，垂足为M．
(1)求证：；
(2)如图2，将沿方向平移到，当点为的中点时，连接与、分别交于点、．
①猜想线段、、有何数量关系，说明理由；
②若正方形的边长为，且点为的中点，则________．
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②
【分析】主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握以上知识．
（1）证明，得出；
（2）①由平移得，，连接、，过作 ，，在正方形对角线上，则，，，证明，得出，则可得出结论；
②求出的长，根据三角形的面积比得出，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
；
（2）①猜想：，
理由如下：由平移得，，连接、，
为的中点，，
，
过作 ，，在正方形对角线上，则，，
，
，
，
为的中点，
∴
又∵
∴
②如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是正方形的对角线，
∴平分
∴，
∴
∴
∵正方形的边长为，且点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
33．在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
34．如图，点P是正方形内一点，，，，绕点A顺时针旋转得到，连接，延长与相交于点Q．
(1)求线段的长；
(2)求的大小；
(3)求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质（对边相等、内角为 ）、图形旋转的性质（对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用旋转性质构造等腰直角三角形和直角三角形，将已知线段长度与角度关系转化到直角三角形中，通过勾股定理及其逆定理求解未知线段和角度．
（1）先根据正方形性质得，由旋转性质得，，判定为等腰直角三角形，然后用勾股定理计算的长；
（2）先由等腰直角三角形得，再计算、、（），通过勾股定理逆定理判定为直角三角形，得，最后根据平角定义计算；
（3）过作于，由判定为等腰直角三角形，结合求出，计算，最后在中用勾股定理求（正方形边长）．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，，
沿点旋转至，
，，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：是等腰直角三角形，
在中，，，
，
，
为直角三角形，，
；
（3）解：作，垂足为，
，，
∴，且，
，
，
．
35．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点为边上一点，连接，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，线段、、之间有怎样的数量关系，请说明理由；
(3)如图3，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练运用这些知识，证明三角形全等是解题的关键．
（1）方法一：如图1，连接，证明；方法二：如图，连接，过点作，过点作，证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）延长交于，连接，证明，则，，根据垂直平分线的性质可得，进而根据勾股定理，即可得出结论；
（3）证明，则，，同理可得，根据，建立方程解方程，即可求解．
【详解】（1）证明：方法一：如图1，连接，
四边形是正方形，是的中点，
，，
，
又，
，
在和中，
，

方法二：如图，连接，过点作，过点作，
，
四边形是正方形，是的中点，
平分，，
，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
（2）
如图，延长交于，连接，
四边形是正方形，
，
是的中点，
，
又，
，
则，，
，
，
，
即
（3）如图，延长交于，连接，
四边形是矩形，
，
，
是的中点，
，
又，
，
则，，
，
，
，
，
，
解得.
36．已知正方形，E为对角线上一点．
(1)如图1，连接．求证：；
(2)如图2，F是延长线上一点，，交于点G．判断的形状并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)等腰三角形；理由见解析
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）证明，即可得到结论；
（2）由全等得到，根据余角的性质证得，，即可得到，进而得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
37．如图，正方形中，点在上（不与重合），交于点，连接．
(1)设，求的大小（用含的式子表示）
(2)延长与延长线交于点．用等式表示之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）由，得，则得；
（2）根据全等三角形的性质得到，求得，过作交于点．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴；
（2）答：数量关系是：，
证明：在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
38．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且
(1)求证：；
(2)在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？
(3)运用解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）利用已知条件，可证出，即；
（2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论；
（3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵正方形，
，，
又∵，
．
；
（2）解：成立，理由如下：
，
．
．
即．
，
．
，，，
．
．
；
（3）解：如图，过C作，交延长线于G，
在直角梯形中，，，
，，
四边形为正方形．
．
，
由（2）结论可知，，
，
设，则，
，．
在中，，
，
解得：．
．
39．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了正方形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理．
（1）证明，可得，则矩形是正方形；
（2）由已知得，则，再根据得；
（3）分两种情况讨论：当与的夹角为时，点F在边上，，由四边形内角和定理得：；②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，可得．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴四边形为正方形；
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：分以下两种情况讨论：
①当与的夹角为时，点F在边上，，
∴，
在四边形中，由四边形内角和定理得：
；
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，，
∴．
综上所述，的度数为或．
40．（1）如图1，点E、F分别在边、上，．求证：．
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边、、、上，，求证：．
（3）如图3，点E、F分别在边、上，、相交于点O，，若正方形的边长为5，与四边形的面积之和与正方形的面积之比为，求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）设与交于点M，根据正方形的性质得到，，再根据直角三角形的性质推出，进而推出，即可得证；
（2）过点A作交于M，过点B作交于N，与交于点，则四边形和四边形均为平行四边形，得到，，同理（1）中的方法证得，得到，等量代换即可得证；
（3）由（1）得，根据全等三角形的性质可得，得出，设，，利用三角形面积公式和勾股定理分别得到，，再通过对完全平方公式变形求出，则，最后利用三角形的周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，设与交于点M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中
∴，
∴．
（2）证明：如图2，过点A作交于M，过点B作交于N，与交于点，
则四边形和四边形均为平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
同理（1）中的方法证得，
∴，
∴；
（3）解：∵与四边形的面积之和与正方形的面积之比为，
∴与四边形的面积和为，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的周长为．
【题型5中点四边形】
41．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)25
【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
（1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形；
（2）由（1）得，结合，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点，
点E、F、G、H分别是边的中点，
是的中位线，即，
同理，是的中位线，即，
是的中位线，即，
是的中位线，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，
，，
，
四边形的周长为：．
42．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可；
（2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接相交于点O，
点分别是四边形各边的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）点分别是四边形各边的中点，
，
矩形的周长为12，面积为7，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
．
43．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可；
（2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接相交于点O，
点分别是四边形各边的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）点分别是四边形各边的中点，
，
矩形的周长为12，面积为7，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
．
44．如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形；
（2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵点是的中点，点是的中点，
∴，且，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，且，
∴，且
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当，且时，四边形是正方形．
理由如下：
如图所示，连接，
∵由（1）得，
同理可得，，
∴当时，
∴平行四边形是菱形
当时，
∵
∴
∵
∴
∴菱形是正方形．
45．定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
【答案】(1)见解析
(2)矩形
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，中点四边形，矩形的判定，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
（1）连接，根据中位线定理，得出进而得出，，即可求证；
（2）根据三角形的中位线定理得出，结合推出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩形．
46．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是 ，
证明你的结论．
证明：
(2)当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ ．
【答案】(1)平行四边形，证明见解析
(2)
(3)菱形
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线性质得出，，，，从而得到，，即可由平行四边形的判定定理得出结论；
（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；
（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直，故这样的特殊四边形是菱形．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形．
证明：连接，
∵E、F为边、的中点，
∴，，
∵H、G为边、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，当时，设于O，交于P，交于Q，
∵
∴
由（1）知：，
∴
∵E、H为边、的中点，
∴
∴
由（1）知：四边形是平行四边形
∴四边形是矩形．
∴当四边形的对角线满足的条件时，四边形是矩形．
故答案为∶ ．
（3）解：如图，菱形四条边上的中点分别为E、F、G、H，
连接，相交于O， 交于P，交于Q，
∵菱形
∴
∴
∵G、H为边、的中点，
∴，
∴
∵E、H为边、的中点，
∴
∴
由（1）知：四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为∶ 菱形的中点四边形是矩形．
【点睛】本题考查中点四边形，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
47．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）．
(1)求证：四边形的形状是平行四边形；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形；
(3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形．
【答案】(1)证明见解析
(2)互相垂直
(3)
【分析】本题考查的是中点四边形．
（1）连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答；
（3）根据邻边相等的平行是四边形是菱形解答．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
点、、、分别为、、、的中点，
、分别为、的中位线，
，，，，
，，
四边形的形状是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，
∵，，，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：互相垂直；
（3）解：当时，四边形是菱形，
，，，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：相等．
48．如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、．
（1）若，则四边形的周长为 ．
（2）图③，若，且，则四边形的面积为 ．
【答案】见解析；（1）①四边形的周长为；（2）
【分析】运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论；
（1）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；
（2）由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案．
【详解】证明：如图①，
、、分别是、、的中点，
、分别是、的中位线，
，，
，
，
．
（1）如图②，
、、、分别是、、、的中点，
，，
，
，
四边形的周长为16；
（2）：如图③，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
菱形是正方形，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
49．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定．
（1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形；
（2）由（1）得，结合，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点，
点E、F、G、H分别是边的中点，
是的中位线，即，
同理，是的中位线，即，
是的中位线，即，
是的中位线，即，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，
，
，
四边形的周长为：．
50．已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
(1)四边形的形状是__________，证明你的结论．
(2)如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
【答案】(1)平行四边形，证明见解析
(2)互相垂直且相等（且），证明见解析
【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．
（1）如图1，连接，由点E、H分别是中点，可得，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下；
如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形；
（2）解：互相垂直且相等（且），证明如下；
如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．

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