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专题04 特殊平行四边形高频选择填空题分类（16种类型80道）
目录
【题型1 特殊平行四边形求度数】 1
【题型2 特殊平行四边形求线段长】 2
【题型3 特殊平行四边形求面积】 3
【题型4 添加条件】 5
【题型5 角度的数量关系】 6
【题型6 特殊平行四边形与勾股定理综合】 7
【题型7 特殊平行四边形与坐标综合】 9
【题型8 特殊平行四边形与勾股定理】 11
【题型9 动点问题】 12
【题型10 特殊平行四边形与尺规作图】 14
【题型11 直角三角形斜边上的中线】 16
【题型12 重叠问题】 17
【题型13 中点四边形】 18
【题型14 特殊平行四边形综合性问题】 19
【题型15 特殊平行四边形与一次函数综合】 21
【题型16 翻折问题中点最值】 22
【题型1 特殊平行四边形求度数】
1．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A． B． C． D．
5．如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的一边于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 特殊平行四边形求线段长】
6．如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
7．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．
8．如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 特殊平行四边形求面积】
11．如图，面积为1的正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的面积是（　　）
A．1 B． C． D．
12．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
14．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（ ）
A．8 B．16 C． D．
15．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
【题型4 添加条件】
16．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．平分
17．如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
19．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【题型5 角度的数量关系】
21．如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，将菱形沿折叠，点的对应点为．若、、刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是(　　)
A． B．
C． D．
23．如图，将菱形沿折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是（　　）

A． B．
C． D．
24．如图，矩形中，对角线交于点，点是边上一点，且．设，，则与之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
25．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为中垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 特殊平行四边形与勾股定理综合】
26．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（ ）
A．5 B． C．10 D．
27．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A．2 B． C． D．
28．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ）
A． B．7 C． D．
29．如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以和为边，按如图所示的方式作正方形、和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为（ ）
A． B． C． D．
30．大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ）

A． B． C． D．
【题型7 特殊平行四边形与坐标综合】
31．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为( )
A． B． C． D．
34．如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，．将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处，则点B的对应点的坐标为（ ）．

A． B． C． D．
【题型8 特殊平行四边形与勾股定理】
36．如图，正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续作图，则的值为（ ）
A． B． C． D．
37．如图，在边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（　　）
A．9 B． C．27 D．
38．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
40．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 动点问题】
41．如图，是正方形的对角线，为边上的动点不与端点重合，点在的延长线上，且，过点作于点，连结，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
42．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，若，y与x的函数图像如图2，则的长为（ ）．
A． B．5 C． D．
43．如图，点为矩形（）的对称中心，动点从点A出发沿向点移动，移动到点停止，延长交于点，四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形矩形平行四边形菱形
B．平行四边形正方形平行四边形矩形
C．平行四边形菱形平行四边形矩形
D．平行四边形菱形平行四边形正方形
44．如图，菱形的面积为，点是的中点，点是上的动点．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
45．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或 B．或 C．或 D．2或
【题型10 特殊平行四边形与尺规作图】
46．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图：
第一步：连接对角线；
第二步：分别以点A，点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；
第三步：连接分别交，于点E，点F，连接．
则的长为（ ）
A． B． C． D．
47．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（ ）
A． B． C． D．
48．如图，在菱形中，按如下步骤作图：
①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作射线交于点，连接点，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
49．如图，，分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图．
聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 明明： 分别过点，作于点，于点．
下列关于以，，，为顶点的四边形的说法正确的是（ ）
A．聪聪作的四边形是菱形 B．明明作的四边形是菱形
C．聪聪作的四边形是矩形 D．明明作的四边形是矩形
50．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型11 直角三角形斜边上的中线】
51．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ．
52．如图，在中，点E、F分别是边和边的中点，点D是线段上一点，且，若，则的长为 ．
53．如图，在中，，点，，分别，，的中点，若，则的长为 ．
54．如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ．
55．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ．
【题型12 重叠问题】
56．边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为 ．
57．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ．
58．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ．
59．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，若四边形为正方形，矩形的长为17，正方形的边长为3，则图中阴影部分的面积为 ．
60．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
【题型13 中点四边形】
61．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ．
62．如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为 ．
63．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ．
64．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则 ．

65．如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足 时，四边形是菱形．
【题型14 特殊平行四边形综合性问题】
66．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
67．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是 ．
①；②；③；④；⑤．

68．如图，在菱形ABCD中，，线段AD上有一动点P（点P不与点A，D重合），沿直线BP将三角形ABP翻折，使得点A落在点E处．连接CE，在点P的运动过程中，下列结论：①，②，③，④，始终成立的有 ．（写出所有正确结论的序号）
69．如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交与点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是 ．
70．如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，是等边三角形，于点H，交于点P，交延长线于K．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
【题型15 特殊平行四边形与一次函数综合】
71．如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为 ．
72．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ．
73．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，菱形的两条对角线的长分别是和，一次函数的图像经过点，则的值为 ．
74．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ．
75．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向左平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ．

【题型16 翻折问题中点最值】
76．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为 ．

77．如图，在边长为2的正方形中，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ．
78．如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为
79．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为
80．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为 ．专题04 特殊平行四边形高频选择填空题分类（16种类型80道）
目录
【题型1 特殊平行四边形求度数】 1
【题型2 特殊平行四边形求线段长】 4
【题型3 特殊平行四边形求面积】 9
【题型4 添加条件】 15
【题型5 角度的数量关系】 18
【题型6 特殊平行四边形与勾股定理综合】 23
【题型7 特殊平行四边形与坐标综合】 30
【题型8 特殊平行四边形与勾股定理】 35
【题型9 动点问题】 41
【题型10 特殊平行四边形与尺规作图】 46
【题型11 直角三角形斜边上的中线】 51
【题型12 重叠问题】 55
【题型13 中点四边形】 60
【题型14 特殊平行四边形综合性问题】 65
【题型15 特殊平行四边形与一次函数综合】 76
【题型16 翻折问题中点最值】 83
【题型1 特殊平行四边形求度数】
1．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：．
【详解】解：由作图可知：，
四边形是菱形，
．
故选：B．
2．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案．
【详解】解：由题可得：在四边形中，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
3．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A．
4．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°
5．如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交正方形的一边于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，由正方形，菱形，即可得，．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
故选：A．
【题型2 特殊平行四边形求线段长】
6．如图，在中，于点H．将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，则的长度为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换—折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
证明是菱形，由勾股定理和菱形的性质求出，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：设，相交于点O，如图，
∵将沿对角线翻折，如果点B与点D重合，
∴垂直平分线段，
∴是菱形，
∴，
在中，，
∵菱形的面积，
∴，
∴．
故选：B．
7．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答．
【详解】∵是边上的中线
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
∴．
∴，
∴．
故选C．
8．如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．利用菱形的面积为20，于点M，，求出，则，由翻折得出点在直线BC上，作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵菱形的面积为20，于点M，，
∴，，，
∴，，
∴，
由翻折得，，
∴，
∴点在直线BC上，
作于点E，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
9．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，
在矩形中，，
四边形和四边形为矩形，
又，，
，，
是的中点，
，
又，
，
又，
，
，
垂直平分，
，
令，则，
又，
，
，，
在中，，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键．
10．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：∵边长为6的正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
解得，
∴，
∴.
故选D．
【题型3 特殊平行四边形求面积】
11．如图，面积为1的正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，则四边形的面积是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积公式等知识点，掌握正方形的性质成为解题的关键．
正方形的性质可得，再利用中点的定义可得，即；同理可得，然后根据图形列式计算即可．
【详解】解：∵正方形的面积为1，
∴，
∵点E、H分别是边的中点，
∴，
∴，
同理可得：，
∴四边形的面积．
故选：B．
12．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
13．如图，在矩形 中， 平分交于点 E，点 F 为 的中点，过点 F 作 交 于点 G，若，，则矩形的面积是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】A
【分析】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，过点作于点H，由四边形是矩形，可得四边形是矩形，则， ，，再根据 平分和平分线得到，则，即可由，得到，根据中点得到，则，即可得到矩形的边长，最后根据矩形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵ 平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点 F 为 的中点，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积是，
故选：A．
14．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
先判定四边形是菱形，根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求面积．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
在菱形中，对角线与相交于点，，，
又∵，
，
则是等边三角形，
，，
∴，，
∴四边形ABCD的面积为．
故选：C．
15．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积．
【详解】解：由题意可知，垂直平分，，
∴，四边形是菱形，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴四边形的面积为，
故选：B
【题型4 添加条件】
16．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．平分
【答案】D
【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．先证明四边形是平行四边形，结合平分，可得，可得，从而可得结论.
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
当平分时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故D符合题意；
而或或都不能得到四边形是菱形，
故选：D．
17．如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项．
【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意；
B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意；
C、当时，则是菱形，故符合题意；
D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意；
故选C．
18．如图，要使成为矩形，则可添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：根据矩形的判定方法，
A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意；
B、添加，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意；
C、由平行四边形的性质得到，添加多余，不能得到平行四边形为矩形，所以本选项错误，不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到平行四边形为矩形，所以本选项正确，符合题意；
故选：D．
19．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知矩形的判定是解答的关键．
根据矩形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
20．如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
【详解】解：在中，，
∴四边形是矩形，
A、当时，四边形是正方形，正确，故A不符合题意；
B、当时，无法确定矩形就是正方形，故B符合题意；
C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、当时，则，，所以是正方形，正确，故D不符合题意；
故选：B．
【题型5 角度的数量关系】
21．如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及平角和为，由菱形的性质表示出各个角并由平角列式是解决本题的关键．
由菱形的性质可表示出与，再由可得，根据为平角列式即可求解．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
即，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
即，
整理可得．
故选：A ．
22．如图，将菱形沿折叠，点的对应点为．若、、刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据折叠的性质可得，，，，表示出的度数，根据菱形的性质可得，，可得的度数，进一步可得的度数，根据，可得，即可确定答案．
【详解】解：，，
，
根据折叠可知，，，，
，
在菱形中，，，
，，
，
，
，
，
故选：C．
23．如图，将菱形沿折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设，，，则关系正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】可求，，可求，可证，即可求解．
【详解】解：，，
，
根据折叠可知，
，
，，
，
在菱形中，，，
，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．
24．如图，矩形中，对角线交于点，点是边上一点，且．设，，则与之间的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，根据等腰三角形底角相等和直角三角形两个锐角互余可得（180°-α）=β，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠AOD=α，
∴∠OAD=（180°-α），
∵OE⊥AC，
∴∠AOE=90°，
∵∠AEO=β，∠DAE=90°，
∴∠OAD=∠AEO，
∴（180°-α）=β，
∴α+2β=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的对角线相等的性质．
25．如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为中垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点P作于点H，设交于点Q，由题意易得，然后可得，则有，，进而可证，由此可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点P作交延长线于点H，设交于点Q，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选C．
【题型6 特殊平行四边形与勾股定理综合】
26．我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图．四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接．若正方形的面积为10，，则的长为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得出，再结合正方形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：依题意，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为10，
∴，
故选：D
27．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．如图，在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点J，可以证明点D在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确运用相关性质定理是解题的关键．
先证明得，设，，，由勾股定理得，进而得，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形，为正方形，
，，，
∴，
，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
，
∴，
∴，
即，
∴，
即，
故选：A．
28．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，以三边长分别为3，4，5的四个直角三角形拼成一个正方形，以为边再作一个正方形，连结，，则的面积为（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握正方形的性质灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，过点H作于点K，先利用勾股定理分别求出，，设，则，再利用勾股定理构造关于x的方程得解得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可得出答案．
【详解】解：过点H作于点K，如图所示∶
依题意得∶，
，
，
∴正方形的边长为1，即，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，，
由勾股定理得∶
在中，，，
由勾股定理得∶，
设，
则，
在中，
由勾股定理得：，
在，由勾股定理得：
，
∴，
解得：，
∴，
∴的面积为：，
故选∶C．
29．如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以和为边，按如图所示的方式作正方形、和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，正确找出全等三角形是解题关键．设，，证明，得到，，再证明，得到，进而得出，再结合四边形的面积，得出，利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：设，，
正方形、和，
，，，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形和的面积和为5，
四边形和的面积和为5，
，
，
，
四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，
正方形和四边形的面积和为，
，
，
，
，
（负值舍去），
的值为，
故选：A．
30．大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明，得出，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得，进而证明，得出，设，得到，进而求解.
【详解】解：∵四边形、是正方形，
∴，，，
∴，
∵四个全等的直角三角形拼成大正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴；
故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键.
【题型7 特殊平行四边形与坐标综合】
31．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可．
本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键．
【详解】解：由轴，，，
不妨设，，
由矩形，
故点E是与的中点，且，
故，或，
同一点的坐标是相同的，
故，
故，
故
故，
解得，
故，
故选：A．
32．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：C．
33．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键．
根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题．
【详解】解：∵，
∴每旋转八次一个循环．
∵余4，
∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同．
连接和，
∵四边形是矩形，
∴和互相平分，
∴，，
∴，，
∴点D的坐标为．
又∵，
∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称，
∴此时点D的坐标为．
即第100秒旋转结束时，点D的坐标为．
故选：B．
34．如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标．
【详解】解：四边形是矩形，
，
每秒旋转，8次一个循环，，
第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，
点的坐标为．
故选：B．
35．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，．将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处，则点B的对应点的坐标为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，作于H，证明，得到，，得到答案．
【详解】解：连接，作于H，

由题意，得，，
则，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∴点的坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【题型8 特殊平行四边形与勾股定理】
36．如图，正方形的边长是2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续作图，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，且，面积为的正方形边长为，且，由此规律，得面积为的正方形边长，解答即可．
【详解】解：设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，且，面积为的正方形边长为，且，由此规律，得面积为的正方形边长，
故，
故选：A．
37．如图，在边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（　　）
A．9 B． C．27 D．
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质．连接，根据菱形的性质，得到，，再根据，求出的长度，同理依次类推，按规律总结即可解答．
【详解】解：如图，连接，交于点，
四边形是菱形，且边长为1，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
同理可得，
，
根据规律第n个菱形的边长为．
第六个菱形的边长为．
故选：B．
38．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是可知菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转次就是旋转了个循环后，又旋转了次，根据旋转角和旋转方向画出图形，延长交轴于点，过作轴的垂线交轴于点，利用勾股定理求出，再根据点所在的象限确定点的坐标．
【详解】解：，
菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置，
，
绕点旋转次后，菱形的位置如下图所示：
延长交轴于点，过作y轴的垂线交y轴于点，
根据题意可知，，
轴，，
是等腰直角三角形，
设，
则有，
，
解得：，
，
则，
点在第二象限，
点的坐标为，
故选：D．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、作正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果．
【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
由题意得、是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∴，
∴正方形的面积，
同理，，
∴正方形的面积， … ，
由规律可知，正方形的面积，
故选：C．
40．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和坐标与图形的性质的知识点，首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标，正确由点坐标的规律发现每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍是解决此题的关键．
【详解】解：正方形边长为1，
，
正方形是正方形的对角线为边，
，
点坐标为，
同理可知点坐标为，
同理可知点坐标为，
点坐标为，点坐标为,,，,
......
由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
,
的纵横坐标符号与点的相同，横坐标为正值，纵坐标是，
的坐标为．
故选：．
【题型9 动点问题】
41．如图，是正方形的对角线，为边上的动点不与端点重合，点在的延长线上，且，过点作于点，连结，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．连接，，证明和全等得，，再证明是等腰直角三角形得，，进而可证明和全等，则，，由此可得出是等腰直角三角形，再由勾股定理得，进而可以解决问题．
【详解】解：连接，，如图所示：
四边形是正方形，是对角线，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
故选：D．
42．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，若，y与x的函数图像如图2，则的长为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形的性质和勾股定理列方程求解．
【详解】解∶由图象得∶当点P运动到点C时，、两点重合，
∵，，，
．
当时，，，点P在上，此时， ，
如图
在矩形中，
设，则，．
在中， ，
即∶，
解得∶．
，
故选∶A．
43．如图，点为矩形（）的对称中心，动点从点A出发沿向点移动，移动到点停止，延长交于点，四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形矩形平行四边形菱形
B．平行四边形正方形平行四边形矩形
C．平行四边形菱形平行四边形矩形
D．平行四边形菱形平行四边形正方形
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据与的位置关系即可求解．根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点D重合时是矩形．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
观察图形可知，的长度逐渐变大，当时，则四边形为平行四边形，
当时，则平行四边形为菱形，
当时，则四边形为平行四边形，
当点P移动到点，则平行四边形为矩形，
∴四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：C．
44．如图，菱形的面积为，点是的中点，点是上的动点．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，连接， 连接，由面积关系得，，同理，再由三角形面积关系得 ，然后求出，即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接， 连接，
∵点是的中点，菱形的面积为，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
故选：．
45．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或 B．或 C．或 D．2或
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，
，
，
当点在上时，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：；
当点在延长线上时，，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒，
故选：C
【题型10 特殊平行四边形与尺规作图】
46．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图：
第一步：连接对角线；
第二步：分别以点A，点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；
第三步：连接分别交，于点E，点F，连接．
则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质是解答本题的关键．
由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得由矩形的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
．
四边形为矩形，
，．
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
的长为．
故选：B．
47．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图；线段垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据菱形的性质得到，由等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，根据作图得到在的中垂线上，得到，等边对等角，得到的度数，利用角的和差关系，进行求解即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，
．
由作图可知点E在线段的垂直平分线上，
∴，
，
．
故选：C．
48．如图，在菱形中，按如下步骤作图：
①以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作射线交于点，连接点，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了作图-基本作图，菱形的性质，作垂线，熟练掌握以上知识点是关键．先证明，，可得再结合，从而可得答案．
【详解】解：四边形为菱形，
，
，
，
，
为的角平分线，
，
由作图可得：，
，
，
故选：C．
49．如图，，分别为的边，的中点，为与的交点，在此基础上，下面两位同学进行了补充作图．
聪聪： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 明明： 分别过点，作于点，于点．
下列关于以，，，为顶点的四边形的说法正确的是（ ）
A．聪聪作的四边形是菱形 B．明明作的四边形是菱形
C．聪聪作的四边形是矩形 D．明明作的四边形是矩形
【答案】C
【分析】根据聪聪的作法，证明，得到，从而可得到，可判定聪聪作的四边形是矩形；根据明明的作法，证明，得到，，可判定明明作的四边形是平行四边形．即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵分别为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由聪聪作图可知：，
∴，
∴四边形是矩形，故A选项不符合题意，C选项符合题意；
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故B、D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形和菱形的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形和菱形的判定是解题的关键．
50．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质和菱形的性质，利用基本作图得到E点在的垂直平分线上，则，所以，再根据菱形的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和得到，然后计算即可．
【详解】解：由作法得E点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【题型11 直角三角形斜边上的中线】
51．如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，点F是线段上的一点且，连接、，若，则线段的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，直角三角形斜边的性质，解题的关键是了解三角形的中位线的性质和直角三角形斜边的性质．利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
【详解】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，是的中点，，
，
∵，
，
，
故答案为：12．
52．如图，在中，点E、F分别是边和边的中点，点D是线段上一点，且，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而即可求出答案．
【详解】解：∵点E、F分别是边和边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点F是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：1．
53．如图，在中，，点，，分别，，的中点，若，则的长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质是解决本题的关键．
根据直角三角形的性质，点D为的中点，可得，再根据，分别是，的中点，可得由此可求解．
【详解】解：∵在中，，点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，
则的长为7 ．
故答案为：7 ．
54．如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵，，
四边形是平行四边形，
，
，
又点是中点，
，
四边形是菱形．
，，
设，则，，
在中，利用勾股定理得到：，
解得，
则（舍去负值）．
则．
故四边形的周长．
故答案为：20．
55．如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可．
【详解】解：连接，
∵，点E是的中点，
∴，
∴，
又∵点F是的中点，
∴，
故答案为：．
【题型12 重叠问题】
56．边长为的两个全等的菱形、如图摆放，其中点是、的交点，且，若，则两个菱形重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
设与交于点，与交于点，根据菱形的性质得出，，，，确定是等边三角形，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可
【详解】解：如图，设与交于点，与交于点，
边长为的两个全等的菱形、菱形，，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
两个菱形重叠部分的面积四边形的面积，
故答案为：．
57．如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，，是其中左侧两个正方形的对角线交点，同时，也是右侧两个正方形的顶点，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8
【分析】设点为正方形的中心，过点作于点于点，利用正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质得到，同理求得另一个阴影部分的面积，则结论可得．
【详解】解：设点为正方形的中心，过点作于点于点，
，
∴四边形为矩形，
∵为正方形的中心，
∴四边形为正方形，
，
由题意得：，
，
，
在和中，
，
，
，
∴．
同理：另一个阴影部分的面积，
∴两个阴影部分面积之和是．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正方形的中心的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
58．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案．
【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，
两个正方形的周长和为，
，
，
，，
矩形的周长为，
，
，
，
，
，
阴影部分的周长．
故答案为：．
59．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，若四边形为正方形，矩形的长为17，正方形的边长为3，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】42
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形面积的求解，根据题意得到，，再根据求出结果．
【详解】解：∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：42．
60．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
【答案】1
【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点E作于点P，于点Q，则可证明，得出，根据得出答案即可．
【详解】解：如图，过点E作于点P，于点Q，
则，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【题型13 中点四边形】
61．如图，四边形的两条对角线分别为和，且满足，，那么依次连接它的各边中点得到的四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了中点四边形的性质．学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定和矩形的判定进行证明，是一道综合题．
由三角形中位线的性质，可判定且，同理，得且．继而可证得四边形为平行四边形，． 再由证明为矩形，即可求出四边形的面积．
【详解】证明：∵分别为的中点，
∴且．
∵分别为的中点，
∴且．
∴且．
同理，得且．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴．
∴四边形为矩形．
∴
即四边形的面积为．
故答案为：
62．如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理以及菱形的判定与性质，连接，证明四边形是菱形，由勾股定理得，从而可得结论
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴
∵点，，，分别为，，，的中点．
∴分别是的中位线，
∴
∴
∴四边形是菱形，
在中，，，
∴
∴菱形的周长,
故答案为：20
63．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ．
【答案】30
【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．
【详解】解：，，，是四边形的中点四边形，
四边形的对角线、互相垂直，
四边形为矩形，
设，，
是的中位线，
，
同理可得，
四边形的面积为．
，
四边形的面积，
故答案为：30．
64．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，若,则 ．

【答案】6
【分析】连接，，，，可得是的中位线，，，分别是，，的中位线，，即四边形为菱形，可知对角线互相垂直，即可证得：，由此即可求得，即，由此即可求出．
【详解】解：如图，连接，，，，

∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴,
同理可得，，分别是，，的中位线，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，且垂足为，
∴，，
在中，根据勾股定理得：，
等式两边同时乘以4得：，
∴，即．
故，（，负值不合题意舍去）
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，三角形中位线、勾股定理应用，重点在于根据中点做出对应的中位线．
65．如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足 时，四边形是菱形．
【答案】
【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且相等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件．
【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下：
点，分别是，的中点，
，同理，
，
∵，
四边形是平行四边形．
，又可同理证得，
，
，
四边形是菱形．
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【题型14 特殊平行四边形综合性问题】
66．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论：
①四边形一定是矩形；
②四边形可能是菱形；
③连接，四边形不可能是正方形；
④当G为中点时，是等腰三角形．
其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形的性质可得，，可得四边形是平行四边形，从而判断①；根据矩形的性质可得，再由在中，，可得，从而判断②；根据三角形中位线定理可得，从而得到不平行，从而判断③；证明，可得，从而判断④，即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴四边形不可能是菱形，故②错误；
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴点M是的中点，
∵N为的中点，
∴，
∵G为上一动点（不与端点B，C重合），
∴点D，F，G不可能共线，
∴不平行，
即四边形不可能是正方形，故③正确；
如图，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵G为中点，点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题主要查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
67．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，过点A作的垂线交于点P，若，下列结论中正确的是 ．
①；②；③；④；⑤．

【答案】①②③④
【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，根据列式计算即可判断出③正确；过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，即可求正方形的面积，从而判断④正确；连接PC，连接，过点P作，交于M，交于N，利用三角形的面积关系可求的长，同理可求的长，由勾股定理可求的长，从而判断⑤错误．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，故①正确；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确，
如图，过点B作，交的延长线于点F，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
如图，连接，过点P作，交于M，交于N，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，故⑤错误，
故答案为：①②③④
【点睛】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
68．如图，在菱形ABCD中，，线段AD上有一动点P（点P不与点A，D重合），沿直线BP将三角形ABP翻折，使得点A落在点E处．连接CE，在点P的运动过程中，下列结论：①，②，③，④，始终成立的有 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④．
【分析】①正确．利用翻折变换的性质证明PE＝PA，可得结论；②错误．利用反证法，可得结论；③正确．设∠CBE＝x，证明∠CAE＝x，可得结论；④正确．利用等腰三角形的性质以及四边形内角和定理证明即可．
【详解】解：如图，设PB交AE于点O，PB交AC于点J．
由翻折的性质可知，PA＝PE，BA＝BE，
∴∠PAE＝∠PEA，故①正确，
不妨假设∠CAE＝∠ABP，
∵BA＝BE，PA＝PE，
∴PB垂直平分线线段AE，
∴∠ABP＝∠EBP，
∴∠JAO＝∠JPR，
∵∠AJO＝∠BJR，
∴∠BRJ＝∠AOJ＝90°，显然BE与AC不垂直与已知条件矛盾，故②错误，
设∠CBE＝x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD//AB，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABE＝60°﹣x，
∵BA＝BE，
∴∠EAB＝（180°﹣60°+x）＝60°+x，
∠CAE＝∠EAB﹣∠CAB＝x，
∴∠CAE+∠ABP＝x+（60°﹣x）＝30°，故③正确，
∵BC＝BA＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，∠BEA＝∠BAE，
∵2∠BEC+2∠BEA+∠ABC＝360°，
∴2∠BEC+2∠BEA＝300°，
∴∠AEC＝∠CEB+∠AEB＝150°，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
69．如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交与点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，则下列结论：①；②；③；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是 ．
【答案】4
【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA＝∠BMC＝90°，由全等三角形的性质得到DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM∥FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
70．如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，是等边三角形，于点H，交于点P，交延长线于K．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【分析】利用正方形和等边三角形的性质，，从而可判断①正确；作，交的延长线于，利用含三角形三边关系可判断②错误；连接，作于，则，，通过解可判断③正确，作，交的延长线于，则，，分别表示出两个三角形的面积，故④错误．
【详解】，点，分别是，的中点，
四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，故①正确；
作，交的延长线于，
，，
，
，
，故②错误；
连接，作于，则，，
设，则，，
，
，，
，
，
，
故③正确；
作，交的延长线于，则，，
设，则，
，故④错误，
故答案为：①③．
【题型15 特殊平行四边形与一次函数综合】
71．如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质，证明，设点，从而得到，再将点和代入一次函数解析式，求出、的值，进而得到的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
设点，
，，
，，
，
一次函数的图象经过正方形的顶点和，
，解得：，
，
，
正方形的面积为，
故答案为：．
72．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，求一次函数与坐标轴的交点坐标，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与判定定理．
首先通过一次函数解析式，得到点A和B的坐标，进而即可得出的长，再过点过点B作平行于，交于N，证明，得出，，再证明四边形为正方形，得到，则，再证明，进而得到，所以，即可算出三角形的周长．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
过点B作平行于，交于N，
∵轴
∴轴
∴，
∴；
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴ ，
∵，
∴四边形为矩形，
∴矩形为正方形，
∴，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴周长．
故答案为：16．
73．如图，菱形的顶点是原点，顶点在轴上，菱形的两条对角线的长分别是和，一次函数的图像经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质和一次函数解析式的求法，解题关键是利用菱形性质求C的坐标．设菱形的两条对角线相交于点D，根据菱形的性质可确定，然后根据一次函数图象上点的坐标特征求k的值．
【详解】解：设菱形的两条对角线相交于点D，如图，
∵四边形为菱形，菱形的两条对角线的长分别是和，
∴，
∵菱形的对角线在y轴上，
∴轴，
，
点C在一次函数的图象上，
，
解得．
故答案为：．
74．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向右平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论．
【详解】解：将代入中得，
，
∴直线的函数解析式为，
过作轴于，过作轴于，如图所示
四边形是正方形，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，
∴点的坐标为，点的坐标为，
同理可证，
，
，
，
∴平移后，
将代入中，
，
故答案为：．
75．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以为边作正方形，点C的坐标在一次函数上，一次函数与x轴交于点E，与y轴交于点F，将正方形沿x轴向左平移a个单位长度后，点D刚好落在直线上，则a的值为 ．

【答案】
【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出值，进而可得出直线的函数解析式，过点作轴于点，过点作轴于点，则及，利用全等三角形的性质，可求出点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点平移后的横坐标，结合平移前点的横坐标，即可求出结论．
【详解】解：点的坐标在一次函数上，
，
解得：，
直线的函数解析式为，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
四边形是正方形，
，．
，，
．
在和中，
，
，
，，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可证出，
，，
，
点的坐标为．
当时，，
解得：，
．
故答案为：．
【题型16 翻折问题中点最值】
76．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接、则线段的最小值为 ．

【答案】
【分析】本题考查矩形与折叠问题，三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线，由三角形三边关系定理得到．延长到K使，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得，即可求出线段的最小值为．
【详解】解：如图，延长到K使，连接，，
为的中点，
是的中位线，
，
四边形是矩形，
，
，
，
由折叠的性质得到，由三角形三边关系定理得：，
，
线段的最小值为．
故答案为：．
77．如图，在边长为2的正方形中，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了正方形折叠，熟练掌握正方形性质，折叠性质，勾股定理，线段性质，是解题关键．
连接，根据正方形边的中点性质，运用勾股定理可得，根据，知点在以点M为圆心，长为半径的圆上运动，当点在上时，有最小值．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形的边长为2，M是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以点M为圆心，长为半径的圆上运动，
∴当点在上时，有最小值，
∴最小值为，
故答案为：．
78．如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点在上运动的过程中，点的轨迹是一段圆弧，由此可以求出的最小值；
【详解】解：如图，连接，以为圆心，的长为半径画弧；
在正方形中，，
∴，
在中，，
由翻折的性质可知：
点在上运动的过程中，，
∴点的轨迹是以为圆心，半径为的一段弧；
∴当 三点共线时，有最小值，
此时，
故答案为：．
79．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为
【答案】/
【分析】连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，根据折叠性质及三角形三边关系得出有最小值为，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求得，从而求得的最小值即可得答案．
【详解】解：连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，如图：
∵将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，
∴，
∵，
∴在上的时，有最小值为，
四边形是菱形，是边的中点，
，，，
，
∴,
∴在中，，
∴，
，
在中，
，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，最短距离问题、含角的直角三角形的性质及勾股定理，根据三角形三边关系得出有最小值为，是解答此题的关键．
80．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，是边上的动点，将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，根据折叠性质及三角形三边关系得出有最小值为，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求得，从而求得的最小值即可得答案．
【详解】解：连接，过点向的延长线作垂线，垂足为点，如图：
∵将沿所在直线翻折得到，点的对应点为，
∴，
∵，
∴在上的时，有最小值为，
四边形是菱形，是边的中点，
，，，
，
∴,
∴在中，，
∴，
，
在中，
，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．

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