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河北省NT20名校联合体2026届高三入学摸底考试数学试题
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 样本数据第分位数是（ ）
A 22 B. 24 C. 25 D. 26
4. 已知空间向量与共线，则（ ）
A -1 B. C. D. 1
5. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，该圆锥的表面积为，则圆锥的母线长为（ ）.
A. 2 B. C. D. 3
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则的值为（ ）
A. 12 B. 5 C. 12或5 D. 3或5
8. 2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 一条直线和一个点确定一个平面
B. 直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交
C. 直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面
D 平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行
10. 函数的图象与直线恰有2个交点，则的可能取值有（ ）
A. B. C. 1 D.
11. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（ ）
A. B.
C. 是直角三角形 D. 是个定值
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数（为常数），若为的一个极值点，则__________.
13. 设为等差数列的前项和，，则__________.
14. 有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取4次，每次取1个球.记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知中，.
（1）求；
（2）设，点是线段上靠近点的三等分点，求的长度.
16. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当恒成立时，求实数的取值范围.
17. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为正方形，，点分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角正弦值.
18. 比利时数学家G.F.Dandelin在1822年提出了一个模型，用以证明一个平面截圆锥，得到的截面是椭圆.在圆锥内放入两个大小不同的内切球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，两个球与平面的切点为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球，下图是该模型的轴截面图.在平面与圆锥侧面的交线上取任意一点A，过点的母线分别与球相切于两点，已知图中球，球的半径分别为2和6，球心之间的距离为.经计算得两点之间的距离为4，以直线为轴，在平面内，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）说明平面与圆锥侧面的交线为椭圆，并求椭圆的标准方程；
（2）已知点，过右焦点的直线与椭圆交于两点，与直线交于点，是否存在实数，使得.
19. 甲 乙两人参加射击比赛，规则如下：每轮由1人射击两次，若全中则此轮的射击者赢得比赛，比赛结束，否则进行下一轮射击，由另外的人射击两次，如此类推.经过抽签，第1轮甲射击，已知甲 乙每次射击命中的概率分别为，，各次射击互不影响.
（1）若，记为比赛结束时的轮数，证明：；
（2）若，记事件“比赛在第轮时未结束”，“甲赢得比赛”，
（i）写出与的关系式并求；
（ii）求.
（参考：对于任意，当趋于无穷大时，）
参考答案
1-8.DBDCA CBA 9.BC 10.AD 11.ACD
12.
13.-8
14.
15.
16.
17.
18.
【小问 2 详解】
19.

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