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14.3 课时1 角平分线的性质 学案
【素养目标】
1. 能用尺规作图: 作一个角的平分线, 强化分析及作图能力.(重点)
2. 理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理.(重、难点)
3. 培养观察、归纳及动手能力,发展推理能力.
【复习导入】
(1) 判定两个三角形全等的方法有哪些？
(2) 三角形中有哪些重要的线段？
(3) 从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫作___________________________.
【合作探究】
探究点一、角平分线的作法
情境探究:拿出一个小三角形纸, 按照如图所示的步骤,动手折叠.
问题1: 折痕 平分 吗 为什么呢
问题2: 在如图所示的折叠过程中,按照先后顺序保证了哪些条件相等,使得折痕平分
情境探究:如图是一个平分角的仪器,其中 . 将点 放在角的顶点, 和 沿着角的两边放下,沿 画一条射线 就是这个角的平分线. 你能说明它的道理吗
思考: 你能想到如何作一个角的平分线吗
作法:
(1) 以点为圆心,适当长为半径画弧, 交于点 ,交于点 .
(2) 分别以点为圆心. 大于 的长为半径画弧, 两弧在的内部交于点 .
(3) 画射线 .射线 即为所求.
问题1 为什么以大于 的长为半径作弧
问题2 两弧的交点一定在 的内部吗
探究点二、角的平分线的性质
在刚才折叠的基础上(在折叠状态,未展开)将 自身重合对折(点 与点 重合)观察折叠后的展开图, 你发现了什么
纸上又多了两条折痕,设为 和 (如图),两条折痕相交于点 , 并且点 在角平分线 上; 观察折痕与边的关系得到:______________________.
对于任意角的角平分线是否都有这样的结论
在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试.
第一次
第二次
第三次
猜想：_______________________________________________.
怎样验证猜想呢
1. 问题: 写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
题设:
结论:
2. 画出图形,几何语言描述
证明：
角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用格式:
是 的平分线, ,
.
注意：推理的条件有三个, 必须写完全,不能少.
证明几何命题的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证;
2. 根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证；
3. 经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
例 如图, 为 的平分线, 于点 , ,试说明: .
当堂反馈
1. 如图,已知 是 的平分线,点 在 上, ,垂足分别为点 , ,则 的长为__________.
2. 如图,在Rt 中, , 的平分线交于点 ,则点 到 的距离是 ___________ .
3. 如图, 是的角平分线, ,垂足为
,则 的长是_____.
4. [作图通关]用直尺和圆规按下列要求作图(不写作法, 保留作图痕迹):
( 1 ) 作 的平分线 ；
(2) 过点 作直线 的垂线 (提示:即作一个平角的平分线).
参考答案
复习导入 (1) SSS, ASA, ASA, AAS, HL
(2) 三角形的高、三角形的中线、三角形的角的平分线
(3) 从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离
探究点一: 角平分线的作法
问题1: 折痕 平分 ，因为折叠前后的两个角大小相等.
问题2: 先 ,后 .
情境探究: 分析: 在 和 中,
. 平分 .
思考: 问题1 答: 如果以小于 的长为半径作弧, 所作的两弧可能没有交点, 就找不到角的平分线.
问题2 答: 两弧的交点可能在 的内部,也可能在 的外部,而我们要找的是 内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是 的平分线了.
观察折痕与边的关系得到: .
猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1. 问题: 写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
题设: 角的平分线上有一点
结论: 这一点到角的两边的距离相等
2. 画出图形,几何语言描述
证明: 是 的平分线, . , .在 和 中,
(AAS). .
例 解: . 为的平分线,且, .
在Rt 和 Rt 中, ( ).
.
当堂反馈
1. 10 2. 2 . 3. 8 .
4.
（1） (2)

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