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15.1.2 课时2 线段的垂直平分线的有关作图 学案
【素养目标】
1. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。 （重点）
2. 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据。 （难点）
3. 能作出轴对称图形或者成轴对称的两个图形的对称轴， 体会转化的数学思想。
【情境导入】
上节课我们学到： 食堂应建在三栋宿舍楼 、 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等。 如何画出这个位置呢？
已知两个点 、 关于某条直线成轴对称，如何作出这条的对称轴。
【合作探究】
探究点一： 作线段的垂直平分线
探究： 已知两个点 、 关于某条直线成轴对称，如所连线段的垂直平分线
分析： 方法一： 折叠法； 方法二： 尺规作图法。
操作1: 你能用折叠的方法得到图中 两点的对称轴吗？ 动手试一下，并试着大致画一画。
操作2: 有什么办法可以准确得出两点的对称轴吗？ 与同桌讨论并试一试。
思考： 根据我们前面学过的线段垂直平分线的判定， 怎样确定线段 的垂直平分线呢？
操作3: 根据我们前面的探讨，请作出点 的对称轴。
例1 如图所示，请作出边 的垂直平分线 .
【回顾导入】食堂应建在三栋宿舍楼 的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等。 请画出这个位置。
探究点二： 作轴对称图形的对称轴
操作探究： 下图中的五角星是一个轴对称图形。
问题1: 如何作出它的对称轴？ 说说你的想法。
问题2：请你动手试一试，作出这个五角星的一条对称轴。
问题3：这个五角星还有没有其他的对称轴？如果有， 试着作出来。
作轴对称图形的对称轴：
对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点， 作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得到此图形的一条对称轴。
例2 尺规作图： 经过已知直线外一点作这条直线的垂线。
已知： 直线 和 外一点 ; 求作： 的垂线，使它经过点 .
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
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尺规作图： 过一点作已知直线的垂线
问题1: 以点 和点 为圆心画弧线时，为什么半径要大于 的长？ 等于或小于 的长行不行？
问题2: 为什么直线 就是所求作的垂线？
当堂反馈
1. 如图，在 中，分别以点 , 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点 , ，则直线 是 ( )
A. 的平分线
B. 边的中线
C. 边的高线
D. 边的垂直平分线
2. 通过如下尺规作图，能确定点 是 边中点的是 ( )
3. 下列图形是轴对称图形吗？ 若是， 画出它们的对称轴。
4. 如图，请你在下列各图中，过点 作出线段 所在直线的垂线。 （尺规作图，保留作图痕迹）
5. 如图，直线 表示一条公路， , 表示两所大学。 要在公路旁修建一个车站 使其到两所大学的距离相等，请在图上找出这点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
参考答案
探究点一 : 作线段的垂直平分线
操作1 : 略
操作2 : 连接 ，画线段 的垂直平分线。
思考： 到点 距离相等的点在线段 的垂直平分线上，我们只要找出两个这样的点，用直线将它们连接，即可确定线段 的垂直平分线。
操作3: 根据我们前面的探讨，请作出点 的对称轴。
(1) 分别以点 为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧交于 两点；
(2) 作直线 . 就是所求的直线。
例1 解 如图， 即为所求。
【回顾导入】解： 如右上图所示，
连接 、 、 ，分别作三条线段的垂直平分线，即点 为所求。
探究点二： 作轴对称图形的对称轴
问题1: 先找出一对对应点， 再作对应点所连线段
的垂直平分线。
问题2: 如图，连接 ,
作出线段 的垂直平分线 ,
则 就是这个五角星的一条对称轴。
问题3：从不同方向观察五角星，可知它共有 5 条
对称轴。作图方法与前面类似， 找出一对对应点， 作出对应点所连线段的垂直平分线即可。
例2 作法： 如图。
(1) 以点 为圆心，适当长为半径作弧， 交直线
于点 和点 .
(2) 分别以点 和 为圆心，以大于 的
长为半径作弧，两弧相交于点 .
(3) 作直线 . 直线 就是所求作的直线。
探究点三：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
问题1: 半径大于 的能让两条弧相交。等于或小于 都无法相交。
问题2: 证明： 连接 , ,
点和 点都在线段 的垂直平分线上。
为线段 的垂直平分线，
为线段 的垂线。
当堂反馈
1. D 2. B
3. 解： 三个图形都是轴对称图形， 画对称轴如图所示。
4. 解： 如图所示。
5. 解： 如图所示，点 即为所求。

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