资源简介

15.3.1 课时1 等腰三角形的性质 学案
【素养目标】
1. 探索并证明等腰三角形的两条性质（等边对等角，三线合一）。（重点）
2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算。（重点、难点）
3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性， 提升推理能力。
【情境导入】
在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形， 例如下图的中和殿的屋檐设计， 你能说说为什么吗？
中和殿
【知识链接】
等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。
【合作探究】
探究点： 等腰三角形的性质
操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到 有什么特点？
操作2: 把剪出的等腰三角形 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。
重合的线段：
重合的角：
思考： 在等腰三角形 中， 是什么特殊的线段？
猜想：等腰三角形有什么性质？ 说说你的猜想。
操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折。 你的猜想仍然成立吗？
思考： 如何证明你的猜想呢？
证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。
已知： 如图，在 中， . 求证： .
方法1: 作底边上的中线。
方法2: 作底边上的高线。
方法3: 作顶角的角平分线 .
等腰三角形的性质1 ：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
几何语言：
是等腰三角形，
（等角对等边）。
例1 如图，在 中， ，点 在 上， .
求 各角的度数。
已知： 如图，在 中， ，求证 平分 .
等腰三角形的性质2 :
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
（简写成“三线合一”，注意：腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质。）。
几何语言
三线合一
(1) 是等腰三角形， （已知）
（等腰三角形的“三线合一”）
(2) 是等腰三角形， （已知）
, ( ________________________ )
(3) 是等腰三角形，
, ____________________ .（等腰三角形的 “三线合一” ）
例2 如图，在 中， 是 边上的中线， 是角平分线， . 求 和 的度数。
当堂反馈
1. 如图，在 中， ，点 在 上。 请补充下列推理过程。
(1) ,
(2) 是中线， _____ _____.
(3) 是角平分线， , ;
(4) 应用：若 是等腰三角形 的顶角平分线，
，则 __________.
2. 已知等腰三角形 .
(1) 若 , ，则 的度数为_____；
(2) 若该三角形有一个角为100°，则其底角度数 为_____；
(3) 若该三角形有一个角为8或20°则其顶角的度数为_____；
(4) 如图，若 ，以点 为圆心， 长为半
径画弧，交 于点 , 则 的度数是_____.
3. 如图， 是等腰三角形， 是的平分线。
若 , 则 的周长是_________.
第3题图 第4题图
4. 如图， , 若 , 则 _____.
5. 如图，点 , 在 的边 上， , 为 的中点，求证： .
参考答案
探究点： 等腰三角形的性质
操作1: 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即 中 ，所以 是等腰三角形。
操作2: 重合的线段： 和 和 和 .
重合的角： .
思考： 既是顶角的平分线，又是底边上的中线， 也是底边上的高。
猜想： （1）等腰三角形的两个底角相等。
（2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。
操作3: 成立。
思考： 方法1: 作底边上的中线。作底边 的中线 .
在 和 中， （已知）， （已作）， （公共边），
(SSS). .
方法2: 作底边上的高线。 , .
在 与中 ( ).
.
方法3: 作顶角的角平分线 .是的角平分线， .
在 与 中，
.
例1 解： , ,
（等边对等角）。 设 ，则 , 从而
. 于是在 中，有
. 解得 .
所以，在 中 .
证明：等腰三角形的性质2
证明： 在 和 中，
(SSS). . , . .
例2 解： , .
是边上的中线， ，即 .
. 是 的平分线，
.
由三角形外角的性质可知，
当堂反馈
1. (1) (2) 2 ; (3) AD BD . (4) 10 .
2. (1) ；（2） 40°；（3） 80°或20°(4) 110°
3. . 4. 100°
5. 证明： 为 的中点， . 又 ,
. . , .

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