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第三章 函数
3.3 函数的应用（一）
「学习目标」
1.了解函数模型（如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
型）的广泛应用.培养数学建模的核心素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.提升数学运算的核心素养.
知识梳理
自主探究
「知识探究」
1.常见的函数模型
常见函
数模型 一次函数模型
二次函数模型
分段函数模型
D
2.函数应用问题的解法流程
拓展总结
建立函数模型刻画实际问题的方法
首先，要认真阅读材料.应用题多是“文字语言、符号语言、图形语言”并用的，往往篇
幅较长.理解题目中的量与量的关系，确立解题思路，对于有些数量关系较复杂、模糊
的问题，可以借助画图和列表来厘清关系.
其次，建立函数关系.根据前面的阅读及分析，把实际问题用“字母符号、关系符号”表
达出来，建立函数关系.
课堂探究
素养培育
探究点一 一次、二次函数模型的应用
方法总结
（1）一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换
元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最
值问题.
（2）注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是
否相符.
（1）若工厂每月生产3 000件产品，在不污染环境,又节约资金的前提下，应选择哪个
污水处理方案？请通过计算加以说明；
（2）当工厂每月生产6 000件产品时，又该如何决策呢？
探究点二 分段函数模型
方法总结
分段函数模型应用的三个注意点
（1）分段对待：分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当
成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取
值范围，特别是端点值.
（2）原则：构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.
（3）分段函数的最值，需要对各段最值比较后确定.
［针对训练］ 已知居民用户综合水价按三档分阶梯计价（如下表所示），阶梯水量以
年为计价周期，周期之间不累计、不结转.
阶梯 用户用水量/吨 综合水价元
／吨 其中
自来水费/
（元/吨） 污水处理费/
（元/吨）
第一阶梯 3.50 2.50 1.00
第二阶梯 7.00 6.00
第三阶梯 204以上 9.00 8.00
（1）若一户家庭一年所交水费为756元，问：其一年用水多少吨；
探究点三 不等式与函数模型的综合应用
方法总结
不等式与函数模型的综合应用，主要就是根据题目特征建立函数模型，结合题目特点及
函数关系式的特征，利用不等式性质、不等式的解法或基本不等式等求解函数模型.
「当堂检测」
D
A
C
A.15 B.40 C.25 D.130
A
A.9.91万元 B.9.95万元 C.10.1万元 D.10.5万元
「备用例题」3.3　函数的应用(一)
选题明细表
知识点、方法 题号
一次、二次函数模型 6,7,9,10
分段函数模型 3,4,8,11
不等式模型 1,5
综合应用 2,12,13
基础巩固
1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(025万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　C　)
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
解析:依题意有
解得150≤x<240,且x∈N*,
所以生产者不亏本时的最低产量是150台.
2.某物体一天中的温度T(单位:℃)是关于时间t(单位:h)的函数:
T(t)=t3-3t+60,当t=0时,表示中午12:00,其前t值取负,其后t值取正,则上午8:00时的温度是(　A　)
A.8 ℃ B.112 ℃
C.58 ℃ D.18 ℃
解析:求上午8:00时的温度,即求t=-4时函数的值,所以T(-4)=
(-4)3-3×(-4)+60=8.
3.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数f(m)=
给出,其中[m]是不小于m的最小整数,例如[2]=2,[1.21]=2,那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为(　B　)
A.3.71元 B.4.24元
C.4.7元 D.7.95元
解析:由[m]是不小于m的最小整数可得[5.5]=6,
所以f(5.5)=1.06×(0.5×[5.5]+1)=1.06×4=4.24.
4.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表:
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元,则此户居民本月的用水量为(　D　)
A.17 m3 B.18 m3 C.19 m3 D.20 m3
解析:设此户居民月用水量为x m3,月缴纳的水费为y元,
则y=
整理得y=
当1218时,y>72,因此,由y=90得9x-90=90,解得x=20,所以此户居民本月的用水量为20 m3.
5.(多选题)某公司一年购买某种货物800吨,现分次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正确的是(　AC　)
A.当x=40时,y取得最小值
B.当x=45时,y取得最小值
C.ymin=320
D.ymin=360
解析:一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需要购买次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和为y=·8+4x.因为y=·8+4x≥2=
320,当且仅当=4x,即x=40时,等号成立,所以当x=40时,y取得最小值,ymin=320.
6.某体育用品商店购进一批乒乓球拍,每副进价200元,售价260元,每月可以卖出160副.为增加销量商家决定降价促销,根据市场调查,每降价10元,每月可多卖出80副,降价后,商家要使每月的销售利润最大,应该将售价定为　　　　元.
解析:设销售利润为y,销售价格为x,根据题意可知200≤x≤260.
根据题意可得y=(x-200)(160+80×)=8(x-200)(280-x),
又该函数在[200,240]上单调递增,在[240,260]上单调递减,
故当x=240时,函数取得最大值,则应该将售价定为240元.
答案:240
7.两个重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.
(1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;
(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问:这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多 并求出每天最多运营人数.
解:(1)设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b(k≠0).
由已知可得方程组
解得k=-2,b=24.
所以y=-2x+24(x>0,x∈N*).
(2)设每日可营运S节车厢,
由题意知,每日挂车厢最多时,运营人数最多,则S=xy=x(-2x+24)=
-2x2+24x=-2(x-6)2+72.
所以当x=6时,Smax=72,
此时y=12,故每日最多运营人数为
110×72=7 920,
即这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920.
能力提升
8.依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元,专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等,税率与速算扣除数见表:
级数 全年应纳税所得额 所在区间/元 税率 (%) 速算扣除数
1 [0,36 000] 3 0
2 (36 000,144 000] 10 2 520
3 (144 000,300 000] 20 16 920
4 (300 000,420 000] 25 31 920
5 (420 000,660 000] 30 52 920
6 (660 000,960 000] 35 85 920
7 (960 000,+∞) 45 181 920
小王全年综合所得收入为200 000元,缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52 800元,依法确定的其他扣除是4 560元,那么小王应缴纳个税税额为(　B　)
A.1 279.2元 B.1 744元
C.3 079.2元 D.7 744元
解析:专项扣除总额为200 000×(8%+2%+1%+9%)=40 000(元),
应纳税所得额为200 000-60 000-52 800-4 560-40 000=
42 640(元),
个税税额为42 640×10%-2 520=1 744(元).
9.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元,且p(x)=-x2+6x-20,利润率y=.现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是(　BC　)
A.此时获得最大利润率
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
解析:当x≤16时,
p(x)=-x2+6x-20=-(x-15)2+25,
故当x=15时,获得最大利润,为p(15)=25,故B正确,D错误;
y==-x+6-=-(x+)+6≤-2+6=2,
当且仅当x=,即x=10时,取等号,此时研发利润率取得最大值2,故C正确,A错误.
10.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量以辆为单位).若该公司在两地共销售15辆,要使获得的利润最大,则在甲地销售的车辆数为　　　.
解析:设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司利润为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x-)2+30+=-(x-)2+,
所以当x=9或10时,L最大.
答案:9或10
11.某黄桃种植户为了迎合大众需求,提高销售量,打算以装盒售卖的方式销售.经市场调研,若要提高销售量,则黄桃的售价需要相应地降低,已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒,且每万盒黄桃的销售价格g(x)(单位:万元)与销售量x(单位:万盒)之间满足关系式g(x)=
(1)写出利润F(x)(单位:万元)关于销售量x(单位:万盒)的关系式;(利润=销售收入-成本)
(2)当销售量为多少万盒时,黄桃种植户能够获得最大利润 此时最大利润是多少
解:(1)由题意,
得F(x)=xg(x)-24x=
(2)当0由二次函数性质得F(x)≤F(8)=128;
当x>10时,由基本不等式得6.4x+≥2=192,
则-6.4x-+328≤136,当且仅当6.4x=,即x=15时,等号
成立.
综上,当销售量为15万盒时,该黄桃种植户获利最大,此时的最大利润为136万元.
12.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足g(t)=80-2t,价格近似满足f(t)=20-|t-10|.
(1)试写出该种商品的日销售额y(单位:元)与时间t(0≤t≤20)(单位:天)的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解:(1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-|t-10|)
=(40-t)(40-|t-10|)
=
(2)当0≤t<10时,
y的取值范围是[1 200,1 225],
在t=5时,y取得最大值为1 225;
当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1 200],
在t=20时,y取得最小值为600.
故第5天,日销售额y取得最大值为1 225元;
第20天,日销售额y取得最小值为600元.
应用创新
13.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求,某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2 400 m2的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间.每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2,月租费为x万元;每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2,月租费为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%.
(1)两类店面间数的建造方案有多少种
(2)市场建成后所有店面全部租出,为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%,则x的最大值为多少万元
解:(1)设蔬菜水果类和肉食水产类店面分别为a间,b间,
由题意知,0.85×2 400≥28a+20b≥0.8×2 400,
化简得480≤7a+5b≤510,又a+b=80,
所以480≤7a+5(80-a)≤510,解得40≤a≤55,所以a=40,41,…,55,
所以两类店面间数的建造方案有16种.
(2)由题意知≥0.9x,
所以0.8b+(80-b)x≥72x,
所以x≤=0.8(1+)恒成立,
因为bmax=80-40=40,
所以x≤0.8(1+)=0.8×=1,
即x的最大值为1万元.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3　函数的应用(一)
学习目标
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.培养数学建模的核心素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.提升数学运算的核心素养.
知识探究
1.常见的函数模型
常见 函数 模型 一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
分段函数模型 y=
[做一做] 一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km,则这辆汽车行驶的路程y(单位:km)与时间t(单位:h)之间的函数关系式是(　D　)
A.y=2t B.y=120t
C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0)
解析:90 min=1.5 h,所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h),则路程y(单位:km)与时间t(单位:h)之间的函数关系式是y=120t(t≥0).
2.函数应用问题的解法流程
建立函数模型刻画实际问题的方法
首先,要认真阅读材料.应用题多是“文字语言、符号语言、图形语言”并用的,往往篇幅较长.理解题目中的量与量的关系,确立解题思路,对于有些数量关系较复杂、模糊的问题,可以借助画图和列表来厘清关系.
其次,建立函数关系.根据前面的阅读及分析,把实际问题用“字母符号、关系符号”表达出来,建立函数关系.
探究点一　一次、二次函数模型的应用
[例1] 某校高一(2)班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价 x(单位:元/桶)与年购买总量y(单位:桶)之间满足如图所示关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用
解:(1)设y=kx+b(k≠0),
因为当x=8时,y=400,当x=10时,y=320,
所以解得
所以y关于x的函数关系式为
y=-40x+720(x>0).
(2)设该班每年购买桶装纯净水的费用为P元,则
P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240,
所以当x=9时,Pmax=3 240.
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用,
则51a≥Pmax+228,解得a≥68,故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用.
(1)一般方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[针对训练] 某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5 m3污水排出.为了净化环境,工厂设计了两个污水处理方案,并准备实施.
方案1:工厂污水净化后再排出,每处理1 m3污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;
方案2:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1 m3污水需付14元排污费.
(1)若工厂每月生产3 000件产品,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个污水处理方案 请通过计算加以说明;
(2)当工厂每月生产6 000件产品时,又该如何决策呢
解:设工厂生产x件产品时,依方案1得到的利润为y1元,依方案2得到的利润为y2元,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000,
y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.
(1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000.
因为y1所以应选择方案2处理污水.
(2)当x=6 000时,y1=114 000,y2=108 000.
因为y1>y2,
所以应选择方案1处理污水.
探究点二　分段函数模型
[例2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/km时,车流速度为60 km/h.研究表明:当20(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的解析式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=x·v(x)可以达到最大 并求出最大值.(精确到1辆/h)
解:(1)由题意知当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20由已知得解得
故函数v(x)的解析式为
v(x)=
(2)依题意和(1)可得
f(x)=
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,
故当x=20时,f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20=1 200;
当20f(x)=x(200-x)=-(x-100)2+≤,
当且仅当x=100时,等号成立,
所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值.
综上可得,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333,即当车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/h.
分段函数模型应用的三个注意点
(1)分段对待:分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当成几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.
(2)原则:构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏.
(3)分段函数的最值,需要对各段最值比较后确定.
[针对训练] 已知居民用户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示),阶梯水量以年为计价周期,周期之间不累计、不结转.
阶梯 用户用 水量/吨 综合水价 元/吨 其中
自来水费 /(元/吨) 污水处理 费/(元/吨)
第一 阶梯 0～144 (含) 3.50 2.50 1.00
第二 阶梯 144～204 (含) 7.00 6.00
第三 阶梯 204以上 9.00 8.00
(1)若一户家庭一年所交水费为756元,问:其一年用水多少吨;
(2)将居民缴纳的污水处理费视为污水处理厂的收入,一个中型污水处理厂的月处理污水量在30万吨到300万吨之间,中型污水处理厂的月处理成本y(单位:万元)与月处理量t(单位:万吨)之间的函数关系可近似地表示为y=t2+t+40,问:该厂每月污水处理量为多少万吨时,才能使每万吨的处理利润最大
解:(1)设用水量为x吨,水费为f(x)元,
则当0≤x≤144,f(x)=3.5x;
当144当x>204,f(x)=144×3.5+7×(204-144)+9(x-204)=9x-912.
因此f(x)=
当f(x)=756时,而3.5×144=504<756,
3.5×144+7×(204-144)=924>756,
所以7x-504=756,解得x=180.
故其一年用水180吨.
(2)由题意,处理利润M(t)=t-y=t-t2-40且30≤t≤300,
所以M(t)=-(t-400)2+120,在[30,300]上单调递增,
当t=300时,最大值M(t)=-(300-400)2+120=110.
故该厂每月污水处理量为300万吨时,才能使每万吨的处理利润最大.
探究点三　不等式与函数模型的综合应用
[例3] 某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力,研究了该隧道内的车流速度v(单位:km/h)和车流密度x(单位:辆/km)所满足的关系式v=
(k单位:辆/h).研究发现:当隧道内的车流密度达到120辆/km时造成堵塞,此时车流速度是0.
(1)若车流密度为50辆/km,求此时的车流速度;
(2)若车流速度v不小于40 km/h,求车流密度x的取值范围.
解:(1)由题意知当x=120时,
v=0,
代入v=80-,得0=80-,
解得k=2 400,
所以v=
当x=50时,v=80-=56.
故当车流密度为50辆/km时,此时车流速度为56 km/h.
(2)因为v=
当0当30解得x≤90,所以30所以若车流速度v不小于40 km/h,则车流密度x的取值范围是(0,90].
不等式与函数模型的综合应用,主要就是根据题目特征建立函数模型,结合题目特点及函数关系式的特征,利用不等式性质、不等式的解法或基本不等式等求解函数模型.
[针对训练] 某公司为了变废为宝,节约资源,设立了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目,经测算,该项目月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可以近似地表示为
y=
且每处理1吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补助.该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低
解:由题意可知,每吨生活垃圾的平均处理成本为
=
当x∈[120,144)时,
=x2-80x+5 040=(x-120)2+240,
所以当x=120时,取得最小值240;
当x∈[144,500)时,
=x+-200≥2-200=200,
当且仅当x=,
即x=400时,取得最小值200.
因为200<240,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
当堂检测
1.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆,其中变速车存车费是每辆0.8元,普通车存车费是每辆0.5元.若普通车存车量为x辆,存车费总收入为 y元,则y关于x的函数关系式是(　D　)
A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000,x∈N)
B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000,x∈N)
C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000,x∈N)
D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000,x∈N)
解析:依题意知,y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000,且x∈N).
2.
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为(　A　)
A.x=15,y=12 B.x=12,y=15
C.x=14,y=10 D.x=10,y=14
解析:由三角形相似得 =,
得x=(24-y),
所以S=xy=-(y-12)2+180,
所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.
3.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为
y=
其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为(　C　)
A.15 B.40 C.25 D.130
解析:令y=60,
若4x=60,则x=15>10,不合题意;
若2x+10=60,则x=25,满足题意;
若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.
故拟录用25人.
4.某公司计划建造一间体积为600 m3的长方体实验室,该实验室高为3 m,地面每平方米的造价为120元,天花板每平方米的造价为240元,四面墙壁每平方米的造价为160元,则该实验室造价的最小值约为(参考数据:≈1.414)(　A　)
A.9.91万元 B.9.95万元
C.10.1万元 D.10.5万元
解析:由题意得地面面积和天花板面积均为200 m2,
设实验室造价为y元,地面的长为x m,则宽为m,
墙壁面积为(6x+)m2,
所以y=(120+240)×200+160×(6x+)
≥72 000+320
=72 000+19 200
≈9.91(万元),
当且仅当6x=,即x=10时,等号成立.
备用例题
[例题] 某辆汽车以x km/h速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为(x-100+)升.
(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;
(2)求该汽车行驶100 km的油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.
解:(1)由题意,令(x-100+)≤9,
化简得x2-145x+4 500≤0,解得45≤x≤100;
又因为60≤x≤120,所以60≤x≤100.
所以欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围是[60,100].
(2)设该汽车行驶100 km的油耗为y,
则y=·(x-100+)=90 000(-)2+(其中60≤x≤120);
由60≤x≤120,知∈[,],
所以x=90时,汽车行驶100 km的油耗取得最小值为升.
选题明细表
知识点、方法 题号
一次、二次函数模型 6,7,9,10
分段函数模型 3,4,8,11
不等式模型 1,5
综合应用 2,12,13
基础巩固
1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(025万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　C　)
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
解析:依题意有
解得150≤x<240,且x∈N*,
所以生产者不亏本时的最低产量是150台.
2.某物体一天中的温度T(单位:℃)是关于时间t(单位:h)的函数:
T(t)=t3-3t+60,当t=0时,表示中午12:00,其前t值取负,其后t值取正,则上午8:00时的温度是(　A　)
A.8 ℃ B.112 ℃
C.58 ℃ D.18 ℃
解析:求上午8:00时的温度,即求t=-4时函数的值,所以T(-4)=
(-4)3-3×(-4)+60=8.
3.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费(单位:元)由函数f(m)=
给出,其中[m]是不小于m的最小整数,例如[2]=2,[1.21]=2,那么从甲地到乙地通话5.5分钟的话费为(　B　)
A.3.71元 B.4.24元
C.4.7元 D.7.95元
解析:由[m]是不小于m的最小整数可得[5.5]=6,
所以f(5.5)=1.06×(0.5×[5.5]+1)=1.06×4=4.24.
4.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”,计费方法如下表:
每户每月用水量 水价
不超过12 m3的部分 3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3
超过18 m3的部分 9元/m3
若某户居民本月缴纳的水费为90元,则此户居民本月的用水量为(　D　)
A.17 m3 B.18 m3 C.19 m3 D.20 m3
解析:设此户居民月用水量为x m3,月缴纳的水费为y元,
则y=
整理得y=
当1218时,y>72,因此,由y=90得9x-90=90,解得x=20,所以此户居民本月的用水量为20 m3.
5.(多选题)某公司一年购买某种货物800吨,现分次购买,设每次购买x吨,运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和y最小,则下列说法正确的是(　AC　)
A.当x=40时,y取得最小值
B.当x=45时,y取得最小值
C.ymin=320
D.ymin=360
解析:一年购买某种货物800吨,每次购买x吨,则需要购买次,又运费是8万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和为y=·8+4x.因为y=·8+4x≥2=
320,当且仅当=4x,即x=40时,等号成立,所以当x=40时,y取得最小值,ymin=320.
6.某体育用品商店购进一批乒乓球拍,每副进价200元,售价260元,每月可以卖出160副.为增加销量商家决定降价促销,根据市场调查,每降价10元,每月可多卖出80副,降价后,商家要使每月的销售利润最大,应该将售价定为　　　　元.
解析:设销售利润为y,销售价格为x,根据题意可知200≤x≤260.
根据题意可得y=(x-200)(160+80×)=8(x-200)(280-x),
又该函数在[200,240]上单调递增,在[240,260]上单调递减,
故当x=240时,函数取得最大值,则应该将售价定为240元.
答案:240
7.两个重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.
(1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;
(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问:这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多 并求出每天最多运营人数.
解:(1)设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意y=kx+b(k≠0).
由已知可得方程组
解得k=-2,b=24.
所以y=-2x+24(x>0,x∈N*).
(2)设每日可营运S节车厢,
由题意知,每日挂车厢最多时,运营人数最多,则S=xy=x(-2x+24)=
-2x2+24x=-2(x-6)2+72.
所以当x=6时,Smax=72,
此时y=12,故每日最多运营人数为
110×72=7 920,
即这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7 920.
能力提升
8.依法纳税是每个公民应尽的义务,个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税》向国家缴纳个人所得税(简称个税).2019年1月1日起,个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60 000元,专项扣除指基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等,税率与速算扣除数见表:
级数 全年应纳税所得额 所在区间/元 税率 (%) 速算扣除数
1 [0,36 000] 3 0
2 (36 000,144 000] 10 2 520
3 (144 000,300 000] 20 16 920
4 (300 000,420 000] 25 31 920
5 (420 000,660 000] 30 52 920
6 (660 000,960 000] 35 85 920
7 (960 000,+∞) 45 181 920
小王全年综合所得收入为200 000元,缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,9%,专项附加扣除是52 800元,依法确定的其他扣除是4 560元,那么小王应缴纳个税税额为(　B　)
A.1 279.2元 B.1 744元
C.3 079.2元 D.7 744元
解析:专项扣除总额为200 000×(8%+2%+1%+9%)=40 000(元),
应纳税所得额为200 000-60 000-52 800-4 560-40 000=
42 640(元),
个税税额为42 640×10%-2 520=1 744(元).
9.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元,且p(x)=-x2+6x-20,利润率y=.现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是(　BC　)
A.此时获得最大利润率
B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率
D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
解析:当x≤16时,
p(x)=-x2+6x-20=-(x-15)2+25,
故当x=15时,获得最大利润,为p(15)=25,故B正确,D错误;
y==-x+6-=-(x+)+6≤-2+6=2,
当且仅当x=,即x=10时,取等号,此时研发利润率取得最大值2,故C正确,A错误.
10.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量以辆为单位).若该公司在两地共销售15辆,要使获得的利润最大,则在甲地销售的车辆数为　　　.
解析:设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司利润为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x-)2+30+=-(x-)2+,
所以当x=9或10时,L最大.
答案:9或10
11.某黄桃种植户为了迎合大众需求,提高销售量,打算以装盒售卖的方式销售.经市场调研,若要提高销售量,则黄桃的售价需要相应地降低,已知黄桃的种植与包装成本为24元/盒,且每万盒黄桃的销售价格g(x)(单位:万元)与销售量x(单位:万盒)之间满足关系式g(x)=
(1)写出利润F(x)(单位:万元)关于销售量x(单位:万盒)的关系式;(利润=销售收入-成本)
(2)当销售量为多少万盒时,黄桃种植户能够获得最大利润 此时最大利润是多少
解:(1)由题意,
得F(x)=xg(x)-24x=
(2)当0由二次函数性质得F(x)≤F(8)=128;
当x>10时,由基本不等式得6.4x+≥2=192,
则-6.4x-+328≤136,当且仅当6.4x=,即x=15时,等号
成立.
综上,当销售量为15万盒时,该黄桃种植户获利最大,此时的最大利润为136万元.
12.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足g(t)=80-2t,价格近似满足f(t)=20-|t-10|.
(1)试写出该种商品的日销售额y(单位:元)与时间t(0≤t≤20)(单位:天)的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
解:(1)y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-|t-10|)
=(40-t)(40-|t-10|)
=
(2)当0≤t<10时,
y的取值范围是[1 200,1 225],
在t=5时,y取得最大值为1 225;
当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1 200],
在t=20时,y取得最小值为600.
故第5天,日销售额y取得最大值为1 225元;
第20天,日销售额y取得最小值为600元.
应用创新
13.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求,某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2 400 m2的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间.每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2,月租费为x万元;每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2,月租费为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面积的80%,又不能超过总面积的85%.
(1)两类店面间数的建造方案有多少种
(2)市场建成后所有店面全部租出,为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%,则x的最大值为多少万元
解:(1)设蔬菜水果类和肉食水产类店面分别为a间,b间,
由题意知,0.85×2 400≥28a+20b≥0.8×2 400,
化简得480≤7a+5b≤510,又a+b=80,
所以480≤7a+5(80-a)≤510,解得40≤a≤55,所以a=40,41,…,55,
所以两类店面间数的建造方案有16种.
(2)由题意知≥0.9x,
所以0.8b+(80-b)x≥72x,
所以x≤=0.8(1+)恒成立,
因为bmax=80-40=40,
所以x≤0.8(1+)=0.8×=1,
即x的最大值为1万元.
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