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11.3.1 两数和乘以这两数的差
【基础达标】
1.下列各式能用平方差公式进行计算的是 ( )
A.(3x-5y)(3x-5y)
B.(3x-5y)(-3x+5y)
C.(5y+3x)(3x+5y)
D.(-5y-3x)(-5y+3x)
2.如果(2x+y)·(　　)=4x2-y2,那么括号内的多项式为 ( )
A.2x+y　　　　B.2x-y
C.-2x-y　　　　D.-2+y
3.计算(x+1)(x-1)+x(x+1)的结果为 ( )
A.2x2+x-1　　　　 B.2x2+x+1
C.2x2　　　　 D.x2+x-1
4.(新定义)若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下列正整数中,能称为“好数”的是 ( )
A.205　　　　B.250
C.502　　　　D.520
5.一个正方形,如果先把一组对边加长4 cm,再把另一组对边减少4 cm,这时得到的长方形面积与原正方形的边长减少2 cm后的正方形面积相等,则原正方形的面积是 .
6.(x+2)(x-2)= ;201×199= .
【能力巩固】
7.已知(-3a+m)(4b+n)=16b2-9a2,则m,n的值分别为 ( )
A.m=-4b,n=3a
B.m=4b,n=-3a
C.m=4b,n=3a
D.m=3a,n=4b
8.(3m-5n)(5n+3m)= ;(-2b-5)(2b-5)= .
9.计算:(1)(a+2)(a-2)(a2+4);
(2)-2(3x+2y)(3x-2y);
(3)x2-x-x-x+.
10.某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,其解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2) (第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2 (第三步)
(1)该同学的解答过程从第 步开始出错,错误的原因是 　.
(2)写出此题正确的解答过程.
11.(代数推理)求证:对任意正整数n,整式(3n+1)·(3n-1)-(3-n)(3+n)的值都能被10整除.
12.在“趣味数学”的社团活动课上,小芬同学给大家分享了一个自己发现的关于8的倍数和最近学方差公式之间的有趣关系.
小芬同学的具体探究过程如下,请你根据小芬同学的探究思路,解决下面的问题:
(1)观察下列各式并填空:8×1=32-12;8×2=52-32;8×3=72-52;8×4=92-72;8×5=　　　　-92;8×　　　　=132-112;…….
(2)通过观察、归纳,请你用含字母n(n为正整数)的等式表示上述各式所反映的规律.
(3)请验证(2)中你所写的规律是否正确.
【素养拓展】
13.【探究】如图1,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成如图2所示的长方形.
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:图1 ,图2 .
(2)比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式: (用字母a,b表示).
【应用】(3)请应用上述公式完成下列各题:
①已知2m-n=3,2m+n=4,求4m2-n2的值;
②计算:(x-3)(x+3)(x2+9).
【拓展】(4)计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)的结果.
参考答案
【基础达标】
1.D　2.B　3.A　4.D
5.25 cm2　6.x2-4　39 999
【能力巩固】
7.C
8.9m2-25n2　25-4b2
9.解:(1)原式=(a2-4)(a2+4)=(a2)2-42=a4-16.
(2)原式=-2[(3x)2-(2y)2]=-2[9x2-4y2]=-18x2+8y2.
(3)原式=x2-x-x2-=x2-x-x2+=-x+.
10.解:(1)二　去括号时没有变号.
(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)=a2+2ab-a2+b2=2ab+b2.
11.证明:原式=(3n)2-1-(32-n2)
=9n2-1-9+n2
=10n2-10
=10(n2-1).
∵n为正整数,
∴10(n2-1)能被10整除,
∴对任意正整数n,原式的值都能被10整除.
12.解:(1)根据规律,8×5=112-92,8×6=132-112.
故答案为112　6.
(2)通过观察、归纳,可得8n=(2n+1)2-(2n-1)2.
(3)(2n+1)2-(2n-1)2
=4n2+4n+1-4n2+4n-1
=8n.
【素养拓展】
13.解:(1)a2-b2　(a+b)(a-b).
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
(3)①4m2-n2=(2m-n)(2m+n)=3×4=12.
②(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.
(4)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)…(232+1)
=(28-1)(28+1)…(232+1)
=264-1.

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