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周测13　抛物线
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.抛物线y=4x2的准线方程为(　　)
A.x=- B.y=-
C.x=- D.y=-
2.已知抛物线y2=ax上的点M到其焦点的距离是1，那么实数a的值为(　　)
A. B. C.1 D.2
3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同的两点，且A，B中点的横坐标为2，则|AF|+|BF|等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
4.已知O为坐标原点，过点M(a，0)(a≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1k2=-2p，则a等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
5.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=0，则||+||+||等于(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2
6.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，点Q在准线l上，若|PQ|=|PF|，∠PFQ=30°，则点P的横坐标为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则(　　)
A.p=4
B.抛物线的方程为y2=16x
C.直线l的方程为y=2x-4
D.|AB|=10
8.设曲线C关于直线y=x对称的曲线为y=x2，曲线C的焦点为F，则下列关于曲线C的说法正确的是(　　)
A.曲线C的方程为y2=4x
B.以曲线C的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为+y2=
C.若直线y=mx+1与曲线C恰有一个公共点，则m=1
D.从曲线C上一点P向准线作垂线，垂足为Q，若|PQ|=|QF|，则△PFQ的面积为4
9.已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上.则(　　)
A.p=1
B.当AB⊥y轴时，|AB|=4
C.+为定值1
D.若=2，则直线AB的斜率为±
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(1，0)，则p=　　　　.
11.已知点(1，4)在抛物线C：y=ax2上，则抛物线C上的点到其焦点距离的最小值为　　　　.
12.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.已知抛物线C：y2=4x，经过点A(5，4)的一束平行于抛物线C的对称轴的光线，经抛物线C上的一点P反射后交抛物线C于点Q，则PQ的长度为　　　　.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图，已知直线l交拋物线C：y2=4x于M，N两点.
(1)若直线l过焦点F且∠xFM=60°，求|FM|；(6分)
(2)若P(2，1)平分线段MN，求直线l的方程.(6分)
14.(12分)已知曲线M上的任意一点到点(1，0)的距离比它到直线x=-2的距离小1.
(1)求曲线M的方程；(4分)
(2)设点E(0，1)，若过点A(2，1)的直线与曲线M交于B，C两点，求△EBC面积的最小值.(8分)
15.(13分)已知点P(1，2)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点，点M，N是C上异于点P的不同的两点.
(1)求C的标准方程；(5分)
(2)若直线PM，PN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值，并求出此定值.(8分)
周测13　抛物线
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.抛物线y=4x2的准线方程为(　　)
A.x=- B.y=-
C.x=- D.y=-
答案　D
解析　抛物线的方程可变为x2=y，由2p=得p=，则其准线方程为y=-=-.
2.已知抛物线y2=ax上的点M到其焦点的距离是1，那么实数a的值为(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　D
解析　由抛物线方程知，抛物线的焦点为F(a>0)，准线为x=-，
由抛物线定义知|MF|=+=1，解得a=2.
3.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同的两点，且A，B中点的横坐标为2，则|AF|+|BF|等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B中点的横坐标为2，可得x1+x2=4，
所以|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=6.
4.已知O为坐标原点，过点M(a，0)(a≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1k2=-2p，则a等于(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　A
解析　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1===，同理可得，k2=，
∴k1k2=.易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+a(a≠0)，
与抛物线的方程联立，得消去x，得y2-2mpy-2pa=0，
由根与系数的关系得，y1y2=-2pa，则k1k2===-=-2p，
∴a=1.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1===，同理可得k2=，
∴k1k2=.由A，M，B三点共线得∥，
∵=(x1-a，y1)，=(x2-a，y2)，
∴(x1-a)y2-(x2-a)y1=0，得y2-y1=0，得(y1-y2)(y1y2+2pa)=0.
若y1=y2，则直线AB与抛物线y2=2px(p>0)只有一个交点，不符合题意，
∴y1≠y2，即y1y2=-2pa，则k1k2===-=-2p，可得a=1.
5.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=0，则||+||+||等于(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).
由题意得抛物线焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x=-1.
因为++=0，
所以点F是△ABC的重心，
故x1+x2+x3=3，
||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6.
6.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，点Q在准线l上，若|PQ|=|PF|，∠PFQ=30°，则点P的横坐标为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设O为坐标原点，由抛物线的对称性，不妨设点P在第一象限，
由|PQ|=|PF|，可知∠PQF=∠PFQ，
由抛物线的定义，可知PQ⊥l，则有∠QFO=∠PQF=30°，
即∠PFO=60°，kPF=-.
由抛物线的方程可知，抛物线的焦点为F(1，0)，
设P，y0>0，则有=-，
即+4y0-4=0，
解得y0=(负值舍去)，x0==.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则(　　)
A.p=4
B.抛物线的方程为y2=16x
C.直线l的方程为y=2x-4
D.|AB|=10
答案　ACD
解析　因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p=4，故A正确；
故抛物线的方程为y2=8x，焦点F(2，0)，故B错误；
则=8x1，=8x2.
又M(m，2)是线段AB的中点，则y1+y2=4，
所以-=8x1-8x2，
即==2，所以直线l的方程为y=2x-4，故C正确；
由y1+y2=2(x1+x2)-8=4得x1+x2=6，
则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=10，故D正确.
8.设曲线C关于直线y=x对称的曲线为y=x2，曲线C的焦点为F，则下列关于曲线C的说法正确的是(　　)
A.曲线C的方程为y2=4x
B.以曲线C的焦点为圆心，且过其顶点的圆的方程为+y2=
C.若直线y=mx+1与曲线C恰有一个公共点，则m=1
D.从曲线C上一点P向准线作垂线，垂足为Q，若|PQ|=|QF|，则△PFQ的面积为4
答案　AD
解析　易得曲线C的方程为y2=4x，故A正确；
曲线C的焦点为(1，0)，故圆的半径为1，其方程为(x-1)2+y2=1，故B错误；
当m=0时，直线y=1与曲线C也只有一个公共点，故C错误；
由F(1，0)及抛物线的性质可知，|PQ|=|QF|=|PF|=4，所以△PFQ的面积为×4×4×sin 60°=4，故D正确.
9.已知抛物线C：x2=2py的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上.则(　　)
A.p=1
B.当AB⊥y轴时，|AB|=4
C.+为定值1
D.若=2，则直线AB的斜率为±
答案　BCD
解析　对于A，将点代入抛物线方程，可得p=2，故A错误；
对于B，焦点F(0，1)，当AB⊥y轴时，可得|AB|=4，故B正确；
对于C，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线AB的方程为y=kx+1，联立方程
消去y并整理得x2-4kx-4=0，Δ=16(k2+1)>0，
可得x1+x2=4k，x1x2=-4，y1y2==1，|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，
有+=+===1，故C正确；
对于D，有(-x1，1-y1)=2(x2，y2-1)，
可得2x2=-x1，
由解得k=±，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(1，0)，则p=　　　　.
答案　2
解析　∵y2=2px(p>0)的焦点坐标为，
∴=1，即p=2.
11.已知点(1，4)在抛物线C：y=ax2上，则抛物线C上的点到其焦点距离的最小值为　　　　.
答案　
解析　因为点(1，4)在抛物线C：y=ax2上，所以a=4，故抛物线C的标准方程为x2=y，
则抛物线准线方程为y=-，
所以抛物线上的点(x，y)到焦点的距离等于y+，
因为y≥0，所以y+≥，
故抛物线C上的点到其焦点距离的最小值为.
12.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.已知抛物线C：y2=4x，经过点A(5，4)的一束平行于抛物线C的对称轴的光线，经抛物线C上的一点P反射后交抛物线C于点Q，则PQ的长度为　　　　.
答案　
解析　因为经过点A(5，4)的一束平行于抛物线C的对称轴的光线交抛物线于点P，
令y=4，得x=4，即点P的坐标为(4，4)，
又抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，故可得直线PQ的方程为x=y+1，
与抛物线方程y2=4x联立可得，y2-3y-4=0，
解得y=4或y=-1，将y=-1代入x=y+1，可得x=，即点Q的坐标为，
则|PQ|==.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)如图，已知直线l交拋物线C：y2=4x于M，N两点.
(1)若直线l过焦点F且∠xFM=60°，求|FM|；(6分)
(2)若P(2，1)平分线段MN，求直线l的方程.(6分)
解　设点M(x1，y1)，N(x2，y2).
(1)由题知直线l的倾斜角为60°，焦点F(1，0)，
所以直线l的方程为y=x-，
联立可得3x2-10x+3=0，
由图可知x1>x2，所以x1=3，
因此，|FM|=3+1=4.
(2)若MN⊥x轴，则线段MN的中点在x轴上，不符合题意，所以直线MN的斜率存在，
因为点M，N在抛物线上，则
两式相减得=，
又因为P(2，1)为MN的中点，则y1+y2=2，
所以直线l的斜率k===2，
此时直线l的方程为y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0.
14.(12分)已知曲线M上的任意一点到点(1，0)的距离比它到直线x=-2的距离小1.
(1)求曲线M的方程；(4分)
(2)设点E(0，1)，若过点A(2，1)的直线与曲线M交于B，C两点，求△EBC面积的最小值.(8分)
解　(1)由已知得，曲线M上的任意一点到点(1，0)的距离与它到直线x=-1的距离相等，
所以曲线M是以(1，0)为焦点，x=-1为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y2=4x.
(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
显然过点A(2，1)的直线BC斜率不为0，设其方程为x=my+2-m，
联立
整理得y2-4my+4(m-2)=0，
其中Δ=16m2-16(m-2)=16+28>0，
由根与系数的关系得y1+y2=4m，y1y2=4(m-2)，
所以△EBC的面积S=×|EA|×|y1-y2|
=|y1-y2|=
==4
=4，
当m=时，Smin=2，
所以△EBC面积的最小值为2.
15.(13分)已知点P(1，2)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点，点M，N是C上异于点P的不同的两点.
(1)求C的标准方程；(5分)
(2)若直线PM，PN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值，并求出此定值.(8分)
解　(1)因为点P(1，2)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点，
所以22=2p×1，解得p=2.
所以C的标准方程为y2=4x.
(2)显然直线PM，PN的斜率存在且不为0，
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
直线PM的方程为y-2=k(x-1)，k≠0，
则直线PN的方程为y-2=-k(x-1)，k≠0，
由
得ky2-4y+8-4k=0，Δ=16(k-1)2>0，
因为P(1，2)，所以2yM=，
解得yM=，
同理可得yN=-，
所以kMN=====-1，
即直线MN的斜率为定值，该定值为-1.

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