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周测14　单元检测卷(三)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2=-2x的准线方程为(　　)
A.x=-1 B.x=1
C.x=- D.x=
2.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1，0).过点F1的直线与C交于A，B两点.若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.已知椭圆C1：+=1，双曲线C2：-=1，其中a>b>0.若C1与C2的焦距之比为1∶3，则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
A.2x±y=0 B.x±2y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
4.若双曲线-=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是(　　)
A.2 B.1 C. D.
5.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1
6.设F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF1为钝角三角形，则离心率e的取值范围为(　　)
A.(0，-1) B.(-1，1)
C. D.
7.已知F1，F2为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的上、下焦点，P为双曲线C的上支上一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为E，若|OE|=|F1F2|(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
8.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点.当S△AOB=2时，|AF|·|BF|的值为(　　)
A. B.3 C. D.8
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点(点M与点O不重合)，P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，下列说法正确的是(　　)
A.若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆
B.若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线
C.若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D.若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支
10.已知F1，F2是双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为的直线与y轴交于点M，与双曲线右支交于点P，且|MP|=|MF1|，下列判断正确的是(　　)
A.∠F1PF2=
B.双曲线E的离心率为2
C.双曲线E的渐近线方程为y=±x
D.△PF1F2的内切圆半径为c
11.在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A，B为C上异于点O的不同两点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，点T是C的准线与x轴的交点.若k1k2=-4，则(　　)
A.以AB为直径的圆与C的准线相切
B.存在k1，k2，使得|AB|=
C.△AOB面积的最小值为
D.=
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.抛物线x2=8y上一点M到焦点F的距离是4，则点M的纵坐标是　　　.
13.已知P是双曲线-=1(a>0，b>0)上的点，F1，F2分别是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且·=0，若△PF1F2的面积为9，则a+b的值为　　　　.
14.如图，已知P是椭圆C1：+=1(a1>b1>0)和双曲线C2：-=1(a2>0，b2>0)的交点，F1，F2是C1，C2的公共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，若∠F1PF2=，则·的取值范围为　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程.
(1)短轴长等于2，离心率等于的椭圆；(6分)
(2)与椭圆+=1有共同的焦点，且过点(4，5)的双曲线.(7分)
16.(15分)已知双曲线C：x2-y2=a2(a>0)与椭圆+=1有相同的焦点.
(1)求双曲线C的方程；(6分)
(2)以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.(9分)
17.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦点与椭圆+y2=1的焦点重合，其渐近线方程为y=±x.
(1)求双曲线C的方程；(7分)
(2)若双曲线C的一条弦的中点为(3，2)，求此弦所在的直线方程.(8分)
18.(17分)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|=8.
(1)求抛物线的方程；(7分)
(2)已知P(x0，-1)为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足kPM·kPN=-2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.(10分)
19.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆C的方程；(7分)
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN中点为P，探究kMN·kOP(O为坐标原点)的值是否为定值？请说明理由.(10分)
周测14　单元检测卷(三)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2=-2x的准线方程为(　　)
A.x=-1 B.x=1
C.x=- D.x=
答案　D
解析　∵抛物线y2=-2x，
∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p=1，
∴准线方程是x=.
2.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1，0).过点F1的直线与C交于A，B两点.若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案　C
解析　依题意作出图象，如图所示，因为椭圆C的焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以c=1，
又过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8，
则根据椭圆定义可得，|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8，
解得a=2，因此b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的标准方程为+=1.
3.已知椭圆C1：+=1，双曲线C2：-=1，其中a>b>0.若C1与C2的焦距之比为1∶3，则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
A.2x±y=0 B.x±2y=0
C.x±y=0 D.x±y=0
答案　A
解析　椭圆C1：+=1的焦距为2；双曲线C2：-=1的焦距为2，渐近线方程为y=±x，因为C1与C2的焦距之比为1∶3，所以=，所以=，即=，所以=，所以双曲线C2的渐近线方程为y=±x，即2x±y=0.
4.若双曲线-=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　A
解析　双曲线-=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为=b，
因为双曲线-=1(b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，
所以b=·2c=c=，
解得b=1，所以该双曲线的虚轴长是2.
5.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.-=1 D.-=1
答案　C
解析　已知圆N：(x-4)2+y2=16的圆心为N(4，0)，半径为4，
动圆圆心为P，半径为r，
当两圆外切时，|PM|=r，|PN|=r+4，所以|PM|-|PN|=-4；
当两圆内切时，|PM|=r，|PN|=r-4，所以|PM|-|PN|=4；
即||PM|-|PN||=4，该式表示动点P到两定点M，N的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以圆心P在以M，N为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，
所以b===2，
所以动圆圆心P的轨迹方程为-=1.
6.设F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF1为钝角三角形，则离心率e的取值范围为(　　)
A.(0，-1) B.(-1，1)
C. D.
答案　A
解析　由题意，可得|AB|=，则|AF2|=.因为△ABF1为钝角三角形，所以∠AF1F2>45°，可得|F1F2|<，即2c<，即b2>2ac，又因为b2=a2-c2，所以a2-c2>2ac，即c2+2ac-a2<0，即e2+2e-1<0，且07.已知F1，F2为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的上、下焦点，P为双曲线C的上支上一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为E，若|OE|=|F1F2|(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
答案　A
解析　由题意可得，|PF2|-|PF1|=2a，延长F1E交PF2于点Q(图略)，由角平分线性质可知△F1PQ为等腰三角形，所以|PF1|=|PQ|，进而可得|QF2|=2a，由三角形中位线定理得，OE∥QF2且|OE|=|QF2|，结合已知条件，可得c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，因此双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.
8.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点.当S△AOB=2时，|AF|·|BF|的值为(　　)
A. B.3 C. D.8
答案　D
解析　因为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线x=-的距离为3，
所以+2=3，解得p=2，所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
由抛物线C的方程可知，焦点F(1，0)，根据题意可知直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB：y=k(x-1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x并整理得y2-y-k=0，Δ=1+k2>0，
所以y1+y2=，y1y2=-4，又|OF|=1，
所以S△AOB=|OF|·|y1-y2|=|OF|·==2，
解得k=±1，
则x1+x2=+1++1=+2=+2=6，x1x2==1，
则|AF|·|BF|=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=1+6+1=8.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点(点M与点O不重合)，P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，下列说法正确的是(　　)
A.若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆
B.若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线
C.若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分
D.若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支
答案　AB
解析　当点M在圆O内且不与点O重合时，由图可知|QM|+|QO|=|QP|+|QO|=r，
又|OM|即点Q的轨迹是椭圆；
当点M在圆外时，由图可知
||QM|-|QO||
=||QP|-|QO||=r，
又|OM|>r，
由双曲线的定义可得，点Q的轨迹是以点O，M为焦点的双曲线，即点Q的轨迹是双曲线.
10.已知F1，F2是双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为的直线与y轴交于点M，与双曲线右支交于点P，且|MP|=|MF1|，下列判断正确的是(　　)
A.∠F1PF2=
B.双曲线E的离心率为2
C.双曲线E的渐近线方程为y=±x
D.△PF1F2的内切圆半径为c
答案　ACD
解析　由|MP|=|MF1|可知M是PF1的中点，又O是F1F2的中点，所以PF2∥OM，故PF2⊥F1F2，由于∠PF1F2=，因此∠F1PF2=，故A正确；
由于PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，|F1F2|=2c，故|PF1|=c，|PF2|=c，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=c=2a，则e==，故B错误；
由e==得c=a，则b=a，因此渐近线方程为y=±x，即y=±x，故C正确；
设△PF1F2的内切圆半径为r，根据等面积法得(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=|F1F2||PF2|，所以(2c+2c)r=·2c·，则r=c，故D正确.
11.在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A，B为C上异于点O的不同两点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，点T是C的准线与x轴的交点.若k1k2=-4，则(　　)
A.以AB为直径的圆与C的准线相切
B.存在k1，k2，使得|AB|=
C.△AOB面积的最小值为
D.=
答案　ABD
解析　根据题意，y2=2x，则焦点坐标为，准线为x=-，T，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1k2===-4，解得y1y2=-1，
设直线AB的方程为x=my+t，
联立得y2-2my-2t=0，
则y1+y2=2m，y1y2=-2t，所以t=，
所以直线AB的方程为x=my+，x1+x2==2m2+1，
则直线AB过焦点F，故|AB|=x1+x2+1，则AB的中点到准线的距离为，故选项A正确；
令|AB|=2m2+2=，解得m=±，故存在k1，k2，使得|AB|=，故选项B正确；
O到直线AB的距离d=，则S△AOB=(2m2+2)×=≥，当m=0时等号成立，故选项C错误；
根据题意，kAT+kBT=+=+==0，
所以∠ATF=∠BTF，
在△AFT和△BFT中，由正弦定理可得，
==，即可得=，故选项D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.抛物线x2=8y上一点M到焦点F的距离是4，则点M的纵坐标是　　　.
答案　2
解析　由题可知，抛物线x2=8y的准线方程为y=-2，
因为点M到焦点F的距离是4，故点M到准线y=-2的距离是4，
则点M到x轴的距离是2，
即点M的纵坐标为2.
13.已知P是双曲线-=1(a>0，b>0)上的点，F1，F2分别是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且·=0，若△PF1F2的面积为9，则a+b的值为　　　　.
答案　7
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
则mn=9，m2+n2=4c2，m-n=2a，
即m2+n2-2mn=4a2，
所以4c2-36=4a2，又c2=a2+b2，所以b=3，又=，
所以a2=a2+b2，解得a2=b2=16，所以a=4，即a+b=7.
14.如图，已知P是椭圆C1：+=1(a1>b1>0)和双曲线C2：-=1(a2>0，b2>0)的交点，F1，F2是C1，C2的公共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，若∠F1PF2=，则·的取值范围为　　　　　　.
答案　(0，1)
解析　设|PF1|=m，|PF2|=n，
因为点P在椭圆上，所以m+n=2a1，①
又因为点P在双曲线上，所以m-n=2a2，②
由①+②得m=a1+a2，
①-②得n=a1-a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncos ，
即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)×，
即4c2=3+，即4=+，即4=+，
所以1<<=4-，
令t=，则·==-3t2+4t∈(0，1)，
所以·∈(0，1).
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程.
(1)短轴长等于2，离心率等于的椭圆；(6分)
(2)与椭圆+=1有共同的焦点，且过点(4，5)的双曲线.(7分)
解　(1)由题意可知，b==，
又a2=b2+c2，可得a=2.
若焦点在x轴上，椭圆的标准方程为+=1；
若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为+=1.
(2)椭圆+=1的焦点为(0，±3)，
可设双曲线方程为-=1，0将点(4，5)代入可得-=1，
整理可得m2-50m+225=0，
解得m=5或m=45(舍去)，
所以双曲线的标准方程为-=1.
16.(15分)已知双曲线C：x2-y2=a2(a>0)与椭圆+=1有相同的焦点.
(1)求双曲线C的方程；(6分)
(2)以P(1，2)为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.(9分)
解　(1)由已知得双曲线C的焦点为F1(-2，0)，F2(2，0)，即c=2，
由等轴双曲线的性质a=b及c2=a2+b2，得a=，
故所求双曲线C的方程为-=1.
(2)当AB所在直线斜率不存在时，中点不可能为P(1，2)，故此时不满足题意；
由对称性可知，当AB所在直线斜率存在时，
设AB所在直线的方程为y=kx+m，
联立消去y，
得(1-k2)x2-2kmx-(m2+2)=0，
因为点P为弦AB的中点，则x1+x2==2.①
又点P(1，2)在AB所在的直线y=kx+m上，
即2=k+m.②
联立①②两式，解得k=，m=，
经检验，直线方程x-2y+3=0即为所求.
17.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦点与椭圆+y2=1的焦点重合，其渐近线方程为y=±x.
(1)求双曲线C的方程；(7分)
(2)若双曲线C的一条弦的中点为(3，2)，求此弦所在的直线方程.(8分)
解　(1)因为椭圆+y2=1的焦点为(，0)，(-，0)，
所以c=，则a2+b2=2，①
又双曲线的渐近线方程为y=±x，
所以=1，即b=a，②
由①②解得a=b=1，
所以双曲线C的方程为x2-y2=1.
(2)设弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为弦的中点为(3，2)，
所以且x1≠x2，
又
两式作差得(-)-(-)=0，
整理得=，
故直线的斜率k===，
则所求直线方程为y-2=(x-3)，
即3x-2y-5=0，经检验符合题意.
18.(17分)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|=8.
(1)求抛物线的方程；(7分)
(2)已知P(x0，-1)为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足kPM·kPN=-2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.(10分)
解　(1)由已知得F，直线AB的方程为y=x-，
联立
消去y可得，x2-3px+=0，
所以xA+xB=3p.
因为|AB|=xA+xB+p=4p=8，所以2p=4，
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)将P(x0，-1)代入y2=4x可得P，
不妨设直线MN的方程为x=my+t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
消去x，得y2-4my-4t=0，
则Δ=16m2+16t，y1+y2=4m，y1y2=-4t.
由题意kPM·kPN=·=·==-2，
化简可得，t=-m，
代入Δ=16m2+16t=16=16+32>0，
此时直线MN的方程为x=m(y-1)+，
所以直线MN过定点.
19.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆C的方程；(7分)
(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN中点为P，探究kMN·kOP(O为坐标原点)的值是否为定值？请说明理由.(10分)
解　(1)∵抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，
∴椭圆C的半焦距c=1，
又椭圆C的离心率e==，
∴a=2，则b==.
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y=kx+m，
联立
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.
由Δ>0，可得m2<4k2+3.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1+x2=，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=，
∴P，
∴kOP==-，
∴kMN·kOP=-，故kMN·kOP为定值.

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