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周测15　综合质量评估卷(一)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知A(3，5)，B(1，7)，则直线AB的倾斜角是(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
2.双曲线-=1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的离心率为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.2
3.若圆C1：x2+y2-2x-m=0与圆C2：x2+y2+4y+m=0恰有2条公切线，则m的取值范围为(　　)
A.(0，4) B.(-1，4)
C.(-1，0) D.[0，4)
4.已知抛物线C：y2=4x，若抛物线C上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
5.已知空间直角坐标系中的点P(1，1，1)，A(1，0，1)，B(0，1，0)，则点P到直线AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
6.如图，已知在正四面体ABCD中，==，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
7.过直线3x-4y-14=0上一点P作圆C：(x+1)2+(y-2)2=9的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程是(　　)
A.4x-3y+2=0 B.3x-4y+2=0
C.3x-4y-2=0 D.4x-3y-2=0
8.已知点O为坐标原点，点A为直线y=kx(k≠0)与椭圆C：+y2=1(a>1)的一个交点，点B在椭圆C上，OA⊥OB，若+=，则椭圆C的长轴长为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.6
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列选项正确的有(　　)
A.=2表示过点P(x0，y0)，且斜率为2的直线
B.a=(2，1)是直线x-2y-4=0的一个方向向量
C.以A(4，1)，B(1，-2)两点连线为直径的圆的方程为(x-4)(x-1)+(y-1)(y+2)=0
D.直线(m+1)x+(2m-1)y-1-4m=0(m∈R)恒过定点(2，1)
10.下列说法中正确的有(　　 )
A.设A，B为两个定点，k为非零常数，||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线
B.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C.双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点
D.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
11.已知在边长为2的菱形ABCD1中，∠AD1C=60°(如图1所示)，将△AD1C沿对角线AC折到△ADC的位置(如图2所示)，点P为棱BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，则下列说法正确的是(　　)
A.四面体ABCD体积的最大值为1
B.当BD=时，Q为线段CA上的动点，则线段PQ长度的最小值为
C.当BD=时，点C到平面PAB的距离为
D.三棱锥P-ACD的体积与点P的位置无关
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知直线l：x+y-m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为原点，且·=2，则实数m为　　　　.
13.某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后的剩余部分，△ABC是该石雕与地面的接触面，其中A是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组测得AB=2 m，BC=2 m，AC=2 m，则该石雕最高点P到地面的距离为　　　　　m.
14.如图，椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆(圆心记为C)面积为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则△ABF2的面积S=　　　　，|y1-y2|的值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分) 已知向量a=(-2，-1，2)，b=(-1，1，2)，c=(x，2，2).
(1)当|c|=2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；(6分)
(2)当x=-时，求证：向量c与向量a，b共面.(7分)
16.(15分)圆心在直线2x+y=0上的圆C，经过点A(2，-1)，并且与直线x+y-1=0相切.
(1)求圆C的方程；(6分)
(2)圆C被直线l：y=k(x-2)分割成弧长的比值为1∶2的两段弧，求直线l的方程.(9分)
17.(15分)如图，AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足，点N的坐标为(-2，-3).
(1)求抛物线的方程；(5分)
(2)求△AOB的面积(O为坐标原点).(10分)
18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，O为AC的中点，平面POB⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=PA=，PB=.
(1)证明：PA=PC；(6分)
(2)求二面角C-PA-B的正弦值.(11分)
19.(17分)已知双曲线x2-=1，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点.
(1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形OMAN的面积为定值；(7分)
(2)若OA⊥OB，OD⊥AB，垂足为D，求点D的轨迹的长度.(10分)
周测15　综合质量评估卷(一)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知A(3，5)，B(1，7)，则直线AB的倾斜角是(　　)
A.45° B.60°
C.120° D.135°
答案　D
解析　设直线AB的倾斜角为α，则tan α==-1，因为0°≤α<180°，所以α=135°.
2.双曲线-=1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的离心率为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.2
答案　B
解析　-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，
将(1，2)代入y=x可得2=，
故离心率为e====3.
3.若圆C1：x2+y2-2x-m=0与圆C2：x2+y2+4y+m=0恰有2条公切线，则m的取值范围为(　　)
A.(0，4) B.(-1，4)
C.(-1，0) D.[0，4)
答案　B
解析　因为圆C1：(x-1)2+y2=1+m与圆C2：x2+(y+2)2=4-m恰有2条公切线，
则
解得-14.已知抛物线C：y2=4x，若抛物线C上一点到准线的距离为3，则该点到原点的距离为(　　)
A. B.2 C.2 D.4
答案　C
解析　由题得抛物线C的准线方程为x=-1，设该点坐标为(x0，y0)，则x0+1=3，解得x0=2，所以=4x0=8，所以该点到原点的距离为==2.
5.已知空间直角坐标系中的点P(1，1，1)，A(1，0，1)，B(0，1，0)，则点P到直线AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵A(1，0，1)，B(0，1，0)，P(1，1，1)，
∴=(-1，1，-1)，=(0，1，0)，||=1，
∴在上的投影为==，
则点P到直线AB的距离为
==.
6.如图，已知在正四面体ABCD中，==，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　在正四面体ABCD中，设向量=a，=b，=c，且向量两两之间夹角为60°，设正四面体的棱长等于1，则a·b=，a·c=，b·c=，
∵==，
∴=+=a+b，
=-=-=c-b，
||==，
||==，
∵·=·
=a·c-a·b+b·c-b2=-，
∴cos〈〉==
=-，
则异面直线DE和BF所成角的余弦值为.
7.过直线3x-4y-14=0上一点P作圆C：(x+1)2+(y-2)2=9的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程是(　　)
A.4x-3y+2=0 B.3x-4y+2=0
C.3x-4y-2=0 D.4x-3y-2=0
答案　B
解析　根据题意，圆C：(x+1)2+(y-2)2=9的圆心C的坐标为(-1，2)，半径r=3，
点P为直线3x-4y-14=0上一点，PA，PB为圆C的切线，则PA⊥CA，PB⊥CB，
则有|PA|=|PB|==，
则S四边形PACB=2S△PCA=2××|CA|×|PA|=3，
则当|PC|取得最小值时，四边形PACB的面积最小，此时PC与直线3x-4y-14=0垂直，
且|PC|==5，
则点C到直线AB的距离d=，
又由CP⊥AB，得直线AB与直线3x-4y-14=0平行，
设直线AB的方程为3x-4y-m=0，
则有d==，
解得m=-2或m=-20(舍去)，
则直线AB的方程为3x-4y+2=0.
8.已知点O为坐标原点，点A为直线y=kx(k≠0)与椭圆C：+y2=1(a>1)的一个交点，点B在椭圆C上，OA⊥OB，若+=，则椭圆C的长轴长为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.6
答案　C
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得=，
由OA⊥OB可得==，
所以|OA|2=(1+k2)=，
|OB|2==，
所以+==1+，所以1+=，a2=3，
故椭圆C的长轴长为2a=2.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列选项正确的有(　　)
A.=2表示过点P(x0，y0)，且斜率为2的直线
B.a=(2，1)是直线x-2y-4=0的一个方向向量
C.以A(4，1)，B(1，-2)两点连线为直径的圆的方程为(x-4)(x-1)+(y-1)(y+2)=0
D.直线(m+1)x+(2m-1)y-1-4m=0(m∈R)恒过定点(2，1)
答案　BCD
解析　对于A，方程=2，y≠y0，点P(x0，y0)不在直线上，故A错误；
对于B，因为直线x-2y-4=0的斜率为，所以a=(2，1)是直线x-2y-4=0的一个方向向量，故B正确；
对于C，设M(x，y)是所求圆上任意一点，则 ⊥，因为=(x-4，y-1)，=(x-1，y+2)，所以 ·=(x-4)(x-1)+(y-1)(y+2)=0，即所求圆的方程为(x-4)(x-1)+(y-1)(y+2)=0，故C正确；
对于D，直线方程化为m(x+2y-4)+x-y-1=0(m∈R)，
由 解得 所以直线恒过定点(2，1)，故D正确.
10.下列说法中正确的有(　　 )
A.设A，B为两个定点，k为非零常数，||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线
B.方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C.双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点
D.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点，这样的直线有2条
答案　BC
解析　对于A，设A，B为两个定点，k为非零常数，||PA|-|PB||=k，且|AB|>k，
则动点P的轨迹为双曲线，故A错误；
对于B，方程2x2-5x+2=0，即(x-2)(2x-1)=0的两根为x1=和x2=2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B正确；
对于C，双曲线-=1的焦点在x轴上，且=，所以焦点为(±，0)，
椭圆+y2=1的焦点在x轴上，且=，所以焦点为(±，0)，故C正确；
对于D，设过点(0，1)的直线l与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点，当直线l的斜率不存在时，直线l为x=0，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+1，若k=0，则直线l为y=1，与抛物线y2=4x只有一个交点，符合题意，若k≠0，
联立得k2x2+(2k-4)x+1=0，
Δ=(2k-4)2-4k2=-16k+16=0，则k=1，
所以y=x+1与抛物线y2=4x有且仅有一个交点，符合题意，
综上所述，过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误.
11.已知在边长为2的菱形ABCD1中，∠AD1C=60°(如图1所示)，将△AD1C沿对角线AC折到△ADC的位置(如图2所示)，点P为棱BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，则下列说法正确的是(　　)
A.四面体ABCD体积的最大值为1
B.当BD=时，Q为线段CA上的动点，则线段PQ长度的最小值为
C.当BD=时，点C到平面PAB的距离为
D.三棱锥P-ACD的体积与点P的位置无关
答案　ABC
解析　如图所示，设O是AC的中点，根据题意知，OD⊥AC，OB⊥AC，OB=OD=，
当折到平面ACD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积最大，
此时四面体ABCD的最大体积V=S△ABC·OD=××2××=1，故A正确；
当BD=时，因为OB2+OD2=BD2，所以OB⊥OD，
所以OA，OB，OD两两垂直，以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设P(0，b，-b)，Q(a，0，0)，其中-1≤a≤1，0则||==，
当a=0，b=时，||取得最小值为=，故B正确；
易得A(1，0，0)，B(0，，0)，C(-1，0，0)，D(0，0，)，则=(-1，，0)，=(-1，0，)，=(-2，0，0)，设m=(x，y，z)为平面ABD的法向量，
则令y=1，则m=(，1，1)，所以点C到平面PAB(即平面ABD)的距离d===，故C正确；
显然随着点P的移动，该三棱锥的高(点P到平面ACD的距离)发生变化，因而其体积也发生变化，不是定值，故D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知直线l：x+y-m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为原点，且·=2，则实数m为　　　　.
答案　±
解析　由题意得圆x2+y2=4的圆心为O，半径r=2，因为·=2，
所以cos∠AOB==，
又0<∠AOB≤π，则∠AOB=，即△AOB是正三角形，点O到直线l的距离d=，
因此d==，解得m=±，
所以实数m为±.
13.某公园有一个坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后的剩余部分，△ABC是该石雕与地面的接触面，其中A是该石雕所在正方体的一个顶点.某兴趣小组测得AB=2 m，BC=2 m，AC=2 m，则该石雕最高点P到地面的距离为　　　　　m.
答案　
解析　如图，将该石雕补全为正方体，设AD=a，BD=b，CD=c，
则
解得a=6，b=4，c=2，
即该石雕所在正方体的棱长为6 m.
以D为原点，以DA，DB，DC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以D(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)，P(6，6，6)，则=(0，6，6)，=(-6，4，0)，=(-6，0，2)，
设平面ABC的法向量为m=(x，y，z)，
则即
令x=2，可得m=(2，3，6)，所以点P到平面ABC的距离d===，
即该石雕最高点P到地面的距离为 m.
14.如图，椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆(圆心记为C)面积为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则△ABF2的面积S=　　　　，|y1-y2|的值为　　　　.
答案　6　3
解析　如图，连接CA，CB，CF2，由+=1，得a=3，b=，c=2，
由内切圆面积为π，得其半径r=1，
则=S△ABC++=×(|AB|+|BF2|+|AF2|)r=×4a·r=×12×1=6，
又=|F1F2||y1-y2|
=×4|y1-y2|=2|y1-y2|=6，
所以|y1-y2|=3.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分) 已知向量a=(-2，-1，2)，b=(-1，1，2)，c=(x，2，2).
(1)当|c|=2时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值；(6分)
(2)当x=-时，求证：向量c与向量a，b共面.(7分)
(1)解　因为|c|=2，
所以=2，
解得x=0，
因为ka+b=(-2k-1，1-k，2k+2)，向量ka+b与c垂直，
所以(ka+b)·c=0，又c=(0，2，2)，
所以2-2k+4k+4=2k+6=0，
解得k=-3，
所以实数x和k的值分别为0和-3.
(2)证明　当x=-时，c=，
设c=λa+μb(λ，μ∈R)，
则=λ(-2，-1，2)+μ(-1，1，2)，
则解得
即c=-a+b，
所以向量c与向量a，b共面.
16.(15分)圆心在直线2x+y=0上的圆C，经过点A(2，-1)，并且与直线x+y-1=0相切.
(1)求圆C的方程；(6分)
(2)圆C被直线l：y=k(x-2)分割成弧长的比值为1∶2的两段弧，求直线l的方程.(9分)
解　(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
由题意得
解得
所以圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)如图，设直线l与圆C交于B，D两点，过点C作CH⊥BD，垂足为H，
因为圆C被直线l：y=k(x-2)分割成弧长的比值为1∶2的两段弧，
所以∠BCD=120°，则∠BDC=∠CBD=30°，
即圆心C到直线l的距离为|CH|=d=r=，且C(1，-2)，
因为直线l的方程为kx-y-2k=0，
所以=，解得k=1或k=7，
故所求直线l的方程为x-y-2=0或7x-y-14=0.
17.(15分)如图，AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足，点N的坐标为(-2，-3).
(1)求抛物线的方程；(5分)
(2)求△AOB的面积(O为坐标原点).(10分)
解　(1)点N(-2，-3)在准线l上，所以准线l的方程为x=-2，则=2，解得p=4，所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为点A，B在抛物线y2=8x上，
所以
则(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)，
又MN⊥l，所以点M的纵坐标为-3，因为M是AB的中点，所以y1+y2=-6，
所以-6(y1-y2)=8(x1-x2)，即kAB=-，
又焦点F的坐标为(2，0)，则直线AB的方程为4x+3y-8=0，
联立得y2+6y-16=0，解得y=2或y=-8，所以|y1-y2|=10，
所以S△AOB=S△AOF+S△BOF=×2|y1-y2|=10.
18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，O为AC的中点，平面POB⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=PA=，PB=.
(1)证明：PA=PC；(6分)
(2)求二面角C-PA-B的正弦值.(11分)
(1)证明　因为△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，O为AC的中点，
所以AC⊥OB，
又因为平面POB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC=OB，AC 平面ABC，
所以AC⊥平面POB.
因为PO 平面POB，
所以AC⊥PO，
又O为AC的中点，
所以△PAC是等腰三角形，
故PA=PC.
(2)解　在平面POB上，作PD⊥OB，垂足为D，连接DA，DC，
平面POB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC=OB，
又PD 平面POB，
所以PD⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，
则PD⊥AD，PD⊥DC.
由(1)知PA=PC，又AC=PA=，
则△PAC为等边三角形，
所以OP==，
OB==，
所以cos∠BOP==-，
所以cos∠DOP=，
DO=OP·cos∠DOP=，
DP==1，
所以AD=DC==1，
在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，
所以△ABC≌△ADC，
故∠ADC=∠ABC=90°，即DA⊥DC，
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
=(1，0，-1)，=(0，1，0)，=(-1，1，0)，
设平面PAB的法向量为n=(x1，y1，z1)，
则
即取x1=1，
可得n=(1，0，1)，
设平面PAC的法向量为m=(x2，y2，z2)，
则
即
取y2=1，可得m=(1，1，1)，
设二面角C-PA-B的大小为θ，
则|cos θ|=|cos〈n，m〉|==，
sin θ=，
故二面角C-PA-B的正弦值为.
19.(17分)已知双曲线x2-=1，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点.
(1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形OMAN的面积为定值；(7分)
(2)若OA⊥OB，OD⊥AB，垂足为D，求点D的轨迹的长度.(10分)
(1)证明　设点A(x0，y0)，
∵双曲线的渐近线为y=±x，
∴
解得x=x0+y0，
记xM=x0+y0，
同理可得xN=x0-y0，
∴|OM|=|xM|=，
|ON|=|xN|=，
则平行四边形OMAN的面积S=|OM||ON|sin 120°==，即平行四边形OMAN的面积为定值.
(2)解　设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，
当直线AB的斜率不存在时，
AB⊥x轴，D点在x轴上，AD=BD=OD=，
直线AB的方程为x=，
∴D，
当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y=kx+m，
由方程组
得(k2-3)x2+2kmx+(m2+3)=0，
Δ=(2km)2-4(k2-3)(m2+3)=12m2-12k2+36>0，k2∴x1+x2=，x1x2=，
∵OA⊥OB，∴·=0，
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2
++m2
==0，
解得2m2=3k2+3，
∴点(0，0)到直线AB的距离为=，
∴|OD|=.
又∵点A，B在双曲线的右支上，
∴点D在双曲线的右支内部，
由
解得或
记点D1或点D2，
==-，∴∠D1OD2=60°，
∴点D的轨迹为半径为，圆心角为60°的圆弧，
∴点D的轨迹的长度为π.

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