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周测16　综合质量评估卷(二)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线l的倾斜角为135°，则直线l的斜率为(　　)
A.1 B.-1 C. D.-
2.两条平行直线x-5y=0与x-5y-26=0之间的距离为(　　)
A.2 B.
C.5 D.3
3.已知空间向量a=(1，0，3)，b=(2，1，0)，c=(5，2，z)，若a，b，c共面，则实数z的值为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.与椭圆+=1共焦点，且与双曲线-=1共渐近线的双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
5.已知F是抛物线x2=4y的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN的中点到x轴的距离为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=2，CB=2，∠BCA=90°，M是A1B1的中点，若⊥，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为(　　)
A. B.- C.- D.
7.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=PA=2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是(　　)
A. B. C. D.
8.若点P既在直线l：x-y+2=0上，又在椭圆C：+=1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为(　　)
A. B.
C.或 D.或
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知空间向量a=(1，-2，2)，b=(0，2，0)，且a，b与平面α的法向量都垂直，则下列说法正确的是(　　)
A.向量c=(-2，0，1)与α垂直
B.向量d=(1，0，2)与α平行或在平面α内
C.若a与b分别是直线l1与l2的方向向量，则直线l1，l2所成角的余弦值为-
D.向量b在向量a上的投影向量为(0，-2，0)
10.在平面直角坐标系中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值可能是(　　)
A.14 B.-13 C.12 D.-10
11.已知双曲线C：x2-=1，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B.若F为双曲线C的左焦点，点P在双曲线C上，则满足=2的点M的轨迹方程为(3x+2)2-3y2=4
C.若A，B两点在双曲线C上，线段AB的中点为(2，2)，则直线AB的方程为3x-y-4=0
D.若P为双曲线C上任意一点，则点P到点(2，0)和到直线x=的距离之比恒为2
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y+m=0恒过定点P，直线l'经过点P，且l'的一个方向向量a=(3，2)，则直线l'的方程为　　　　　　　　.
13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B(2，2)，点P为满足λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为　　　　　　　　　　；若点Q为抛物线C：y2=4x上的动点，抛物线C的焦点为F，则|PQ|+|QF|的最小值为　　　　.
14.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为点P(P为第一象限的点)，延长FP交抛物线y2=2px(p>0)于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=+)，则双曲线的离心率的平方为　　　　　　.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分) 已知空间中的三点P(-2，0，2)，M(-1，1，2)，N(-3，0，4)，a=，b=.
(1)求△PMN的面积；(6分)
(2)当ka+b与ka-2b的夹角为钝角时，求k的取值范围.(7分)
16.(15分) 已知圆C的圆心在直线x+y-1=0上，且与直线2x-y=0相切于点(0，0).
(1)求圆C的方程；(7分)
(2)直线l过点P(3，-3)且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程.(8分)
17.(15分)已知直线l：x+y-2=0被圆O：x2+y2=3截得的弦长与双曲线E：-=1(a>0，b>0)的实轴长相等，双曲线E的离心率e=2.
(1)求双曲线E的方程；(6分)
(2)设M(x0，y0)为双曲线E上任意一点，直线3x0x+y0y=3分别与直线x+y=0和直线x-y=0相交于A，B两点，求△OAB的面积.(9分)
18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC为等边三角形，AC=4，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=2，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；(7分)
(2)若点M在棱BC上，BM=λBC，且平面PAM与平面PAC所成的角为30°，求λ的值.(10分)
19.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-，0)，F2(，0)，且经过点A.
(1)求椭圆C的标准方程；(5分)
(2)过点B(4，0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为点P'.若直线P'Q与x轴相交于点D，求△DPQ的面积的最大值.(12分)
周测16　综合质量评估卷(二)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知直线l的倾斜角为135°，则直线l的斜率为(　　)
A.1 B.-1 C. D.-
答案　B
解析　由题意得，k=tan 135°=-1，所以直线l 的斜率为-1.
2.两条平行直线x-5y=0与x-5y-26=0之间的距离为(　　)
A.2 B.
C.5 D.3
答案　B
解析　两条平行直线x-5y=0与x-5y-26=0之间的距离d==.
3.已知空间向量a=(1，0，3)，b=(2，1，0)，c=(5，2，z)，若a，b，c共面，则实数z的值为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　D
解析　根据题意，因为a，b，c共面，所以存在实数对(x，y)，使得c=xa+yb，
即(5，2，z)=x(1，0，3)+y(2，1，0)=(x+2y，y，3x)，
所以解得
4.与椭圆+=1共焦点，且与双曲线-=1共渐近线的双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案　A
解析　因为椭圆+=1的焦点在y轴上，且c2=36-16=20，
又因为所求双曲线与双曲线-=1共渐近线，
所以设所求双曲线为-=λ(λ<0)，
即-=1(λ<0)，
则c2=-6λ-4λ=20，解得λ=-2，
所以所求双曲线的方程为-=1.
5.已知F是抛物线x2=4y的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN的中点到x轴的距离为(　　)
A. B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　抛物线x2=4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1，
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由抛物线的定义可得|MF|+|NF|=y1+1+y2+1=y1+y2+2=6，即y1+y2=4，则MN中点的纵坐标为=2，即MN的中点到x 轴的距离为2.
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=2，CB=2，∠BCA=90°，M是A1B1的中点，若⊥，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为(　　)
A. B.- C.- D.
答案　A
解析　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，CA=2，CB=2，∠BCA=90°，则AB=2，
设AA1=BB1=CC1=a(a>0)，
则A1(2，0，a)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，B1(0，2，a)，=(-2，2，-a)，=(0，2，a)，
因为⊥，所以(-2，2，-a)·(0，2，a)=0，即4-a2=0，解得a=2(舍去负值)，
故A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，则M(，1，2)，
则=(，1，2)，=(-2，2，-2)，
故异面直线CM与A1B所成的角的余弦值为|cos〈〉|=
===.
7.鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=PA=2，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段DE的中点，则点F到直线AC的距离是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为AB=BC，且△ABC是直角三角形，所以AB⊥BC.以B为原点，分别以的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB=BC=PA=2，所以A(0，2，0)，C(2，0，0)，D(0，1，0)，P(0，2，2)，E(1，1，1)，F，则=(2，-2，0)，=.
故点F到直线AC的距离d===.
8.若点P既在直线l：x-y+2=0上，又在椭圆C：+=1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2，且∠F1PF2的平分线与l垂直，则C的长轴长为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　B
解析　过点F1，F2分别作F1N，F2M垂直直线l于点N，M，
作∠F1PF2的平分线PH与x轴交于点H，如图所示，
由|F1F2|=2，故F1(-1，0)，F2(1，0)，
则|F1N|==，
|F2M|==，
由PH⊥l且PH为∠F1PF2的平分线，故∠F1PH=∠F2PH，
故∠F1PN=∠F2PM，
又F1N⊥l，F2M⊥l，故△F1PN∽△F2PM，
故====，
由l：x-y+2=0，令y=0，则x=-2，
故直线l与x轴交于点G(-2，0)，
故|NG|==，
|MG|==，
故|MN|=-=，
由===，
故|NP|=|MN|=，
|MP|=|MN|=，
故|PF1|==，
|PF2|==，
由椭圆定义可知，
|PF1|+|PF2|=2a=+=，
即C的长轴长为.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知空间向量a=(1，-2，2)，b=(0，2，0)，且a，b与平面α的法向量都垂直，则下列说法正确的是(　　)
A.向量c=(-2，0，1)与α垂直
B.向量d=(1，0，2)与α平行或在平面α内
C.若a与b分别是直线l1与l2的方向向量，则直线l1，l2所成角的余弦值为-
D.向量b在向量a上的投影向量为(0，-2，0)
答案　AB
解析　对于A，∵a·c=-2+0+2=0，b·c=0+0+0=0，∴a⊥c，b⊥c，
又a与b不平行，∴c⊥α，故A正确；
对于B，∵d=a+b，∴d与α平行或在平面α内，故B正确；
对于C，∵|cos〈a，b〉|===，
∴直线l1，l2所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，∵|b|cos〈a，b〉==-=，
∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·=，故D错误.
10.在平面直角坐标系中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值可能是(　　)
A.14 B.-13 C.12 D.-10
答案　CD
解析　设与直线12x-5y+c=0平行且与该直线之间距离为1的直线的方程为12x-5y+m=0，
则=1，
解得m=c+13或m=c-13，
所以直线12x-5y+c+13=0，12x-5y+c-13=0均与圆x2+y2=4相交，
而圆心为原点O，圆的半径长为2，
所以解得-1311.已知双曲线C：x2-=1，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B.若F为双曲线C的左焦点，点P在双曲线C上，则满足=2的点M的轨迹方程为(3x+2)2-3y2=4
C.若A，B两点在双曲线C上，线段AB的中点为(2，2)，则直线AB的方程为3x-y-4=0
D.若P为双曲线C上任意一点，则点P到点(2，0)和到直线x=的距离之比恒为2
答案　BCD
解析　对于A选项，易得双曲线C：x2-=1的顶点为(-1，0)，(1，0)，渐近线方程为x±y=0，
顶点(-1，0)到渐近线x±y=0的距离为=，顶点(1，0)到渐近线x±y=0的距离为=，故A错误；
对于B选项，双曲线C：x2-=1的左焦点F的坐标为(-2，0)，设M(x，y)，P(x'，y')，
∵=2，∴(x+2，y)=2(x'-x，y'-y)，
∴x'=，y'=，
又P(x'，y')在双曲线C上，
∴-=1，即(3x+2)2-3y2=4，故B正确；
对于C选项，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵线段AB的中点为(2，2)，
∴x1+x2=4，y1+y2=4，
由已知可得
两式相减可得3(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，
∴=3，∴直线AB的斜率为3，
∴直线AB的方程为y-2=3(x-2)，即3x-y-4=0，
联立3x-y-4=0与双曲线C的方程可得3x2-(3x-4)2=3，化简得6x2-24x+19=0，
方程6x2-24x+19=0有两解，所以直线3x-y-4=0与双曲线相交，满足要求，故C正确；
对于D选项，设P(x0，y0)，点P到点(2，0)的距离d1====|2x0-1|，又点P到直线x=的距离d2=，
∴点P到点(2，0)和到直线x=的距离之比恒为2，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y+m=0恒过定点P，直线l'经过点P，且l'的一个方向向量a=(3，2)，则直线l'的方程为　　　　　　　　.
答案　2x-3y+5=0
解析　(2m+1)x+(m+1)y+m=0可变形为x+y+m(2x+y+1)=0，
由解得
即点P的坐标为(-1，1).
因为a=(3，2)，所以直线l'的斜率为，
又直线l'过点P(-1，1)，
则直线l'的方程为y-1=(x+1)，
整理可得2x-3y+5=0.
13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B(2，2)，点P为满足λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为　　　　　　　　　　；若点Q为抛物线C：y2=4x上的动点，抛物线C的焦点为F，则|PQ|+|QF|的最小值为　　　　.
答案　(x-2)2+y2=1　2
解析　设P(x，y)，则=，
即=，
化简得(x-2)2+y2=1，
抛物线C：y2=4x的准线为x=-1.
因为|QF|等于点Q到抛物线准线的距离，
所以|PQ|+|QF|的最小值转化为点P到准线的距离，
又点P是阿氏圆(x-2)2+y2=1上的任意一点，
所以点P(1，0)到准线的距离最小，最小值为2，
即|PQ|+|QF|的最小值为2.
14.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为点P(P为第一象限的点)，延长FP交抛物线y2=2px(p>0)于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若=+)，则双曲线的离心率的平方为　　　　　　.
答案　
解析　由=+)，可得点P为FQ的中点，
设点F(c，0)，由渐近线方程y=x，①
可设直线FP的方程为y=-(x-c)，②
由①②解得点P，
由中点坐标公式可得点Q，
代入抛物线的方程可得=2p，③
由题意可得c=，即2p=4c，
③即有c4-a2c2-a4=0，
由e=，可得e4-e2-1=0，
又e>1，解得e2=.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分) 已知空间中的三点P(-2，0，2)，M(-1，1，2)，N(-3，0，4)，a=，b=.
(1)求△PMN的面积；(6分)
(2)当ka+b与ka-2b的夹角为钝角时，求k的取值范围.(7分)
解　(1)由题意得a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，
则cos〈a，b〉===-，
所以cos∠MPN=-，
故在△PMN中，sin∠MPN=，
故S△PMN=×××=.
(2)由(1)知，ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4)，设它们的夹角为θ，则θ为钝角，所以cos θ=
<0，
即(k-1)(k+2)+k2-8<0，
所以2k2+k-10=(2k+5)(k-2)<0，
解得-当它们反向共线，即ka+b=λ(ka-2b)且λ<0时，有解得
综上，k的取值范围是∪(0，2).
16.(15分) 已知圆C的圆心在直线x+y-1=0上，且与直线2x-y=0相切于点(0，0).
(1)求圆C的方程；(7分)
(2)直线l过点P(3，-3)且与圆C相交，所得弦长为4，求直线l的方程.(8分)
解　(1)过点(0，0)且与直线2x-y=0垂直的直线的方程为x+2y=0，
由题意可知，圆心C即为直线x+2y=0与直线x+y-1=0的交点，
联立解得
故圆C的半径r==，
因此圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=5.
(2)由题意可知，圆心C到直线l的距离d==1.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，此时，圆心C到直线l的距离为1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k(x-3)，即kx-y-3k-3=0，
由题意得d===1，
解得k=-，
此时直线l的方程为y+3=-(x-3)，即3x+4y+3=0.
综上，直线l的方程为x=3或3x+4y+3=0.
17.(15分)已知直线l：x+y-2=0被圆O：x2+y2=3截得的弦长与双曲线E：-=1(a>0，b>0)的实轴长相等，双曲线E的离心率e=2.
(1)求双曲线E的方程；(6分)
(2)设M(x0，y0)为双曲线E上任意一点，直线3x0x+y0y=3分别与直线x+y=0和直线x-y=0相交于A，B两点，求△OAB的面积.(9分)
解　(1)圆心O(0，0)到直线l：x+y-2=0的距离d==，
直线l被圆O截得的弦长为2=2，
由题意得2a=2，e==2，故a=1，c=2，
则b2=c2-a2=4-1=3，
∴双曲线E的方程为x2-=1.
(2)由3x0x+y0y=3和x+y=0得点A的坐标为，
由3x0x+y0y=3和x-y=0得点B的坐标为，
记直线3x0x+y0y=3与x轴的交点为G，
则S△OAB=|OG|
==，
又∵M(x0，y0)为双曲线E上任意一点，
∴3-=3，
∴△OAB的面积为.
18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC为等边三角形，AC=4，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC=2，O为AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；(7分)
(2)若点M在棱BC上，BM=λBC，且平面PAM与平面PAC所成的角为30°，求λ的值.(10分)
(1)证明　因为△PAC为等边三角形，O为AC的中点，所以PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，PO 平面PAC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
所以PO⊥平面ABC.
(2)解　由(1)知，PO⊥平面ABC，
因为AB=BC，O为AC的中点，
所以BO⊥AC，
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则O(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，A(0，-2，0)，
所以=(-2，2，0)，=(0，2，2)，=(2，2，0)
因为BM=λBC，点M在棱BC上，
所以=λ=(-2λ，2λ，0)，λ∈[0，1]，
所以=+=(2-2λ，2+2λ，0)
设平面PAM的法向量为m=(x，y，z)，
则即
令y=(λ-1)，则x=(λ+1)，z=1-λ，
所以m=((1+λ)，(λ-1)，1-λ)，
由题意可知，OB⊥平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为=(2，0，0)，
所以cos 30°=|cos〈m，〉|=
==，
解得λ=或λ=3(舍去)，故λ的值为.
19.(17分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-，0)，F2(，0)，且经过点A.
(1)求椭圆C的标准方程；(5分)
(2)过点B(4，0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为点P'.若直线P'Q与x轴相交于点D，求△DPQ的面积的最大值.(12分)
解　(1)由椭圆的定义，可得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，
解得a=2，
又b2=a2-()2=1，
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题意，设直线l的方程为x=my+4，m≠0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P'(x1，-y1)，
由
可得(m2+4)y2+8my+12=0，
∵Δ=16(m2-12)>0，∴m2>12，
∴y1+y2=-，y1y2=.
∵kP'Q==，
∴直线P'Q的方程为y+y1=(x-x1).
令y=0，可得x=+my1+4
=+4=+4=+4=1，
∴D(1，0)，
∴S△DPQ=|S△BDP-S△BDQ|=|BD|·|y1-y2|==，
令t=，t∈(0，+∞)，
则m2=t2+12，
则S△DPQ==≤，
当且仅当t=4，即m=±2时，等号成立，
∴△DPQ面积的最大值为.

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