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第 9 讲 数阵图综合
1. 把 1～11 这 11 个数分别填入图中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等.如果中心圆内填的数相同，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.

解：1+2+3+……+11=66，设中心的数为x，则66+4x能被5整除，所以x=1或6或11.
2. 在图中每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中所填数的和都是 234，那么，标有★的圆圈中所填的数是多少？
解：给图中部分圆圈填上字母：如图所示，使★处用x表示。

则a+b+e=d+c=234，a+x+d=x+c+e=x+b=234，
所以a+b+e+b+c=234+234，a+x+d+x+c+e+x+b=234+234+234，
所以3×x=234，x=78.
3. 请把数字 1、2、3、4、6、7、8、9 填入右图的圆圈中(数字不能重复，其中 4 已经填好)，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都大于 2.(注意:没有 5!)，则A= .

4. 如图，大三角形被分成了 9 个小三角形．试将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 分别填入这 9 个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形 3 条边的每 5 个数相加的和相等，问这5 个数的和最大可能是多少?

解：1+2+3+……+9=45，把三边的五个数相加，在这15个数中，除了a、b、c之外的6个数都用了2遍，所以15个数的和是2×45–(a+b+c)=90–(a+b+c)，且这个数能被3整除，
所以a+b+c最小取1+2+3=6，即每条边上五个数的和最大为(90–6)÷3=28.

5. 在图的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？

6. 小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1，2，3，4，5，6，7 这七个数填入图的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8，11，15.问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？

1+2+3+4+5+6+7=28，8+11+15=34，34–28=6，6÷2=3，
所以最中心的数是3，
7. 能否从 0，1，2，…，13，14 这 15 个数中选出 10 个不同的数，填入圆的圆圈中，使每两个用线相连的圆圈中的数所成的差（大减小）各不相同？
解答：从0到14，最小的差为1，最大的差为14，一共有14个不同的差，
而连线一共有14条，需要将这14个差都用上，
这14个差的和是1+2+3+……+14=15×7=105，
或14个差中其中有7个奇数，7个偶数，所以总和为奇数。
而任意两个数的和与它们的差的奇偶性相同，所以这14组数的和必定也为奇数。
又圆圈中的数，每一个都在运算中用到2次或4次，所以这些数所组成14组数的和是一个偶数。于是总和为偶数。
奇偶矛盾，所以无法填出。

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