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(共33张PPT)
章末总结
网络构建·归纳整合
题型归纳·素养提升
题型一　数或式比较大小问题
[例1] 已知a解:a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)
=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)
=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)
=(a-b)(a-c)(b-c).
因为a所以(a-b)(a-c)(b-c)<0.
所以a2b+b2c+c2a规律总结
数或式比较大小的方法
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较, 往往找1或0.
(3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法,画出相应的图形, 直观比较大小.
规律总结
应用时容易出错的不等式的性质
(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.若a>b,c>d,则a+c>b+d,若a>b,cb-d;但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.
[跟踪训练2] (1)(多选题)如果a,b,c满足cA.ab>ac
C.cb2解析:(1)因为c0.
选项A成立,因为cac.
选项B成立,因为b0.
选项C不一定成立,当b=0时,cb2选项D成立,因为c所以a-c>0,所以ac(a-c)<0.故选ABD.
B.c(b-a)>0
答案:(1)ABD　
题型三　利用基本不等式求最值问题
规律总结
题型四　一元二次不等式及其应用
[例4] (1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B等于(　　)
A.{-4,1} B.{1,5}
C.{3,5} D.{1,3}
解析:(1)由x2-3x-4<0解得-1答案:(1)D
答案:(2){k|0≤k≤1}
规律总结
(1)一元二次不等式常与集合运算相结合.
(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键.
(3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型,关键是等价转化与合理分类.构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向.
(4)高次不等式、分式不等式要等价转化.
[跟踪训练4] (1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1A.1 B.-1 C.0 D.-2
答案:(1)C
题型五　一元二次不等式与基本不等式的实际应用
解:(1)设每件零售价为x元,
由题意可得[18-0.2(x-15)]x≥15×18,
即x2-105x+15×90≤0,(x-15)(x-90)≤0,
所以15≤x≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为90元.
[例5] (2022·湖北武汉高一期中)某公司销售一批新型削笔器,该削笔器原来每个售价15元,年销售18万个.
(1)据市场调查,若一个削笔器的售价每提高1元,年销售量将相应减少2 000个,要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为多少元
规律总结
本例主要考查一元二次不等式与基本不等式的实际应用,考查数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.第(1)问根据已知条件列出关于x的一元二次不等式,求出解集即可确定出定价最多时对应的数值;第(2)问,解答的关键有两点:①根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离,②使用基本不等式求解出最值.
[跟踪训练5] 某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量
8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
[跟踪训练5] 某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量
8万件.第2章　检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|≤0},B={1,2,3,4,5},则A∩B等于(　D　)
A.{2,3,4,5} B.{3,4}
C.{3,4,5} D.{2,3,4}
解析:因为集合A={x|≤0}={x|2≤x<5},B={1,2,3,4,5},
所以A∩B={2,3,4}.故选D.
2.已知a,b∈R,条件甲:a>b>0,条件乙:<,则甲是乙的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:条件乙:<,
即为-<0 <0,
若条件甲:a>b>0成立,则条件乙一定成立;
反之,当条件乙成立,则0>a>b也可以,但是此时不满足条件甲:a>b>0,
所以甲是乙成立的充分不必要条件.故选A.
3.不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|A.6 B.-6
C.5 D.-5
解析:由已知得a<0,且,为方程ax2+5x+c=0的两根,故+=-,×=,解得a=-6,c=-1,所以a-c=-5.故选D.
4.已知关于x的不等式>0的解集为(m,n),则m+n的值为(　B　)
A.-5 B.-
C.-4 D.-5或-
解析:因为不等式>0的解集为(m,n),
所以(mx-1)(x+3)>0的解集为(m,n),
所以方程(mx-1)(x+3)=0的两根为m,n,且m<0,m所以或
解得(舍去)或
所以m+n=-.故选B.
5.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.现将一物体放在左、右托盘各称一次,称量结果分别为a和b,设该物体的真实质量为G,则(　B　)
A.G> B.G<
C.G> D.G<
解析:设天平的两臂的长度分别为m和n,
若两次称量结果分别为a,b,则有ma=nG,nb=mG,且a≠b,
两式联立可得G2=ab,即G=,又由a≠b,可得>,则>G.故选B.
6.要制作一个容积为4 m3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　C　)
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析:由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m.又设总造价是y元,则y=20×4+10×(2x+)≥80+20=160,当且仅当2x=,即x=2时,等号成立.故选C.
7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=6,c=4,则此三角形面积的最大值为(　B　)
A. B.2
C.3 D.4
解析:p=(a+b+c)=5,
所以S=
=
=
≤·=2,
当且仅当a=b=3时,等号成立.故选B.
8.设x,y均为正数,且+=,则xy的最小值为(　D　)
A.1 B.3 C.6 D.9
解析:因为x,y均为正数,且+=,
所以=,整理可得xy=x+y+3,
由基本不等式可得xy≥2+3,
整理可得()2-2-3≥0,解得≥3或≤-1(舍去),所以xy≥9,当且仅当x=y时,取等号.故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)
9.下列结论正确的是(　CD　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>ab
C.若a>b>0,则ab>b2
D.若|a|>|b|,则a2>b2
解析:c=0时选项A中的结论不成立;a≤0时选项B中的结论不成立;因为b>0,a>b,所以ab>bb=b2,选项C中的结论正确;因为|a|>|b|≥0,所以|a|2>|b|2,即a2>b2,选项D中的结论正确.故选CD.
10.若a>0,b>0,与不等式-b<A.-B.-C.x<-或x>
D.x<-或x>
解析:若x>0,则不等式-b<,
若x<0,则不等式-b<即x<-.故选ABC.
11.下列结论正确的是(　AD　)
A.当x>0时,+≥2
B.当x>0时,的最小值是2
C.当x<时,2x-1+的最小值是
D.设x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是
解析:A.当x>0时,+≥2=2,
当且仅当=,即x=1时,等号成立,A正确;
B.当x>0时,=+≥2=2,
当且仅当=时,等号成立,
但=无实解,故最小值2取不到,B错误;
C.当x<时,4x-5<0,2x-1+无最小值,C错误;
D.设x>0,y>0,且x+y=2,则+=(x+y)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,D正确.
故选AD.
12.已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,则下列不等式恒成立的是(　BC　)
A.+≤ B.ab≤2
C.a+b≤2 D.a2+b2≥4
解析:由a>0,b>0,a2+b2≥2ab,可得ab+2≥2ab,解得ab≤2(当且仅当a=b=时,等号成立),
又+≥(当且仅当a=b=时,等号成立),而ab≤2,
所以≥,所以+≥,故B正确,A错误;
由a>0,b>0,利用基本不等式得ab≤,
变形a2+b2-ab=2,得(a+b)2-2=3ab≤(当且仅当a=b=时,等号成立),
解得(a+b)2≤8,即a+b≤2,故C正确;
对于D,由a>0,b>0,ab≤,
变形a2+b2-ab=2,得a2+b2-2=ab≤(当且仅当a=b=时,
等号成立),
解得a2+b2≤4,故D错误.故选BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若不等式x2-2x+m<0有解,则实数m的取值集合是　　　　.
解析:由题意,得Δ=4-4m>0,即m<1,故实数m的取值集合是{m|m<1}.
答案:{m|m<1}
14.若正实数x,y满足x+3y=xy,则3x+y的最小值是　　　　.
解析:正实数x,y满足x+3y=xy,
所以+=1,
所以3x+y=(3x+y)(+)=10++≥10+2=16,
当且仅当=且x+3y=xy,
即x=4,y=4时,取等号.
答案:16
15.已知实数x,y满足0≤2x+y≤3,-2≤x-y≤1,则4x+5y的最大值是　　　　.
解析:令4x+5y=m(2x+y)+n(x-y),
解得m=3,n=-2.
又因为0≤2x+y≤3,-2≤x-y≤1,
所以-2≤4x+5y≤13,
即4x+5y的最大值是13.
答案:13
16.已知x>0,y>0,若x·(y+1)=2,则x-的最大值为　　　　.
解析:因为x>0,y>0,x·(y+1)=2,所以y=,则x-=x-=,
设t=2-x,则由0答案:3-2
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知不等式mx2+3x-2>0的解集为{x|n(1)求m,n的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(n+a)x-m>0(a∈R,a<1).
解:(1)由题意,m<0且n,2为方程mx2+3x-2=0的两根,
所以
解得或(舍去),
所以m=-1,n=1.
(2)由(1)可得不等式为ax2-(1+a)x+1>0,
即(ax-1)(x-1)>0.
①当a=0时,不等式可化为x-1<0,
即{x|x<1};
②当a<0时,<1,
所以不等式的解集为{x|③当01,所以不等式的解集为{x|x<1或x>}.
综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a<0时,原不等式的解集为{x|当0}.
18.(本小题满分12分)
已知正实数x,y满足2x+5y=20.
(1)求xy的最大值;
(2)若不等式+≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)20=2x+5y≥2,解得xy≤10,
当且仅当x=5,y=2时,取等号,
所以xy最大值为10.
(2)由题意得+=1,
则+=(+)·(+)=++≥+2=,
当且仅当x=,y=时,取等号,
所以m2+4m≤,解得-≤m≤,
即实数m的取值范围是{m|-≤m≤}.
19.(本小题满分12分)
如图,AB是半圆直径,O为AB的中点,DO⊥AB,C在AB上,且AC=a,BC=b.
(1)用a,b表示线段OD,CD的长度;
(2)若a>0,b>0,a+b=1,求a4+b4的最小值.
解:(1)OD=,OC=,
CD==.
(2)由(1)知,CD≥OD,即≥(当且仅当a=b时,取等号),
所以≥()2=(当且仅当a=b时,取等号),
所以≥≥,
所以a4+b4≥(当且仅当a=b=时,取等号),
所以a4+b4的最小值为.
20.(本小题满分12分)
已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
解:因为a,b,c均为正数,
所以a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc,
c2+a2≥2ac.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①
同理++≥++,②
故a2+b2+c2+(++)2≥ab+bc+ac+++≥6.③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,
当且仅当a=b=c,
(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.
故当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.
21.(本小题满分12分)
(1)二次函数y=4x2-4mx+m+2有两个零点,求m的取值范围;
(2)已知a<0,解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax.
解:(1)因为二次函数y=4x2-4mx+m+2有两个零点,所以方程4x2-4mx+m+2=0有两个不相等的实数根,所以Δ=16m2-16(m+2)>0,解得m<-1或m>2,
故m的取值范围为m<-1或m>2.
(2)因为ax2-3x+2>5-ax,
所以ax2+(a-3)x-3>0,
所以(x+1)(ax-3)>0,
令(x+1)(ax-3)=0,又a<0,
所以x=或x=-1,
①当-3②当a=-3时,=-1,不等式的解集为;
③当a<-3时,>-1,所以-1综上,当-3不等式的解集为{x|当a=-3时,不等式的解集为;
当a<-3时,不等式的解集为{x|-122.(本小题满分12分)
某建筑队在一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工,规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓,要求顶点C在地块的对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x米.
(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米,AB的长度应在什么范围
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大 最大值是多少平方米
解:(1)依题意知△NDC∽△NAM,
所以=,
即=,
则AD=20-x.
故矩形ABCD的面积为S=20x-x2.
根据条件0即S=20x-x2≥144,
化简得x2-30x+216≤0,
解得12≤x≤18.
故AB的长度应在12米～18米内.
(2)S=20x-x2=x(30-x)≤()2=150,
当且仅当x=30-x,
即x=15时,等号成立.
此时AD=20-x=10.
故AB=15米,AD=10米时,
学生公寓ABCD的面积最大,最大值是150平方米.
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题型一　数或式比较大小问题
[例1] 已知a解:a2b+b2c+c2a-(ab2+bc2+ca2)
=(a2b-ab2)+(b2c-bc2)+(c2a-ca2)
=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc[(b-a)+(a-c)]+ca(c-a)
=ab(a-b)+bc(b-a)+bc(a-c)+ca(c-a)
=b(a-b)(a-c)+c(a-c)(b-a)
=(a-b)(a-c)(b-c).
因为a所以a-b<0,a-c<0,b-c<0,
所以(a-b)(a-c)(b-c)<0.
所以a2b+b2c+c2a数或式比较大小的方法
(1)作差或作商比较法.
(2)找中间量来比较, 往往找1或0.
(3)特值法,对相关的式子赋值计算得出结果.
(4)数形结合法,画出相应的图形, 直观比较大小.
[跟踪训练1] 已知a>0,b>0,且a≠b,比较+与a+b的大小.
解:因为(+)-(a+b)
=-b+-a=+
=(a2-b2)(-)
=(a2-b2)
=,
因为a>0,b>0,且a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,
所以(+)-(a+b)>0,即+>a+b.
题型二　不等式的性质及应用
[例2] (1)(多选题)(2022·江苏连云港期中)若a>b>0,则(　　)
A.ac2≥bc2 B.a2C.< D.>
(2)(多选题)已知a,b,c,d是实数,则下列一定正确的有(　　)
A.a2+b2≥
B.a+≥2
C.若>,则aD.若abd
解析:(1)因为a>b>0,所以ac2-bc2=(a-b)c2≥0,即ac2≥bc2,故选项A正确;
又a2-ab=a(a-b)>0,所以a2>ab,故选项B错误;因为a>b>0,所以a+b>2,
所以<=,故选项C正确;
又-=<0,所以<,故选项D错误.
故选AC.
(2)由于2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
所以a2+b2≥(a+b)2,故A正确;
B中,当a=-1时显然不成立,B错误;
C中,a=1,b=-1显然有>,但a>b,C错误;
D中,若a-b>0,
-c>-d>0,则根据不等式的性质可知ac>bd>0,故D正确.故选AD.
应用时容易出错的不等式的性质
(1)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.若a>b,c>d,则a+c>b+d,若a>b,cb-d;但异向不等式不可以相加,同向不等式不可以相减.
(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;若a>b>0,0.
(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方.若a>b>0,则an>bn或>(n>1,且n∈N+).
(4)若ab>0,a>b,则<,若ab<0,a>b,则>.
[跟踪训练2] (1)(多选题)如果a,b,c满足cA.ab>ac B.c(b-a)>0
C.cb2(2)已知2解析:(1)因为c所以c<0,a>0.
选项A成立,因为cac.
选项B成立,因为b所以c(b-a)>0.
选项C不一定成立,当b=0时,cb2选项D成立,因为c所以a-c>0,所以ac(a-c)<0.故选ABD.
(2)因为-2又因为2所以2<-ab<6,所以-6因为-2因为2答案:(1)ABD　(2){t|-6题型三　利用基本不等式求最值问题
[例3] (1)若a,b,c均为正实数,则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(多选题)已知正数a,b满足a+2b=1,则下列选项正确的有(　　)
A.ab有最大值
B.+有最小值8
C.+有最小值4
D.a2+b2有最小值
解析:(1)因为a,b,c均为正实数,
则=≤===≤=,
当且仅当=2b,且a=c,即a=b=c时,取等号,则的最大值为.
故选A.
(2)根据题意,依次分析选项.
对于A,a·2b≤= ab≤,当且仅当a=,b=时,取等号,则A正确;
对于B,+=(a+2b)(+)=++5≥4+5=9,当且仅当a=b=时,取等号,B错误;
对于C,+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时,取等号,则C正确;
对于D,a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5+(0利用基本不等式求最值的方法
一般用a+b≥2(a>0,b>0)解“定积求和,和最小”问题,用ab≤()2解“定和求积,积最大”问题.
[跟踪训练3] (1)(2021·山东潍坊模拟)若x>0,y>0,且x+y=xy,则+的最小值为(　　)
A.3 B.+
C.3+ D.3+2
(2)(2021·重庆模拟)已知实数a,b满足a>,b>0,若不等式+≥m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m≤8} B.{m|m≥}
C.{m|m≤5} D.{m|m≥8}
(3)(多选题)(2021·山东青岛模拟)已知a,b为正数,a2+b2=4,则下列选项正确的有(　　)
A.ab的最大值为2
B.+的最小值为
C.a+b的最大值为
D.+的最小值为
解析:(1)因为x>0,y>0,且x+y=xy,
所以+=1,
所以+===2x+y=(2x+y)(+)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当=,即x=1+,y=1+时,取等号,
故+的最小值为3+2.故选D.
(2)+=+(b+)=+(b+)=(2a-1)+++(b+)≥
+2+2=5,
当且仅当(2a-1)=,且b=,即a=1,b=2时,等号成立,
所以+的最小值为5,
因为不等式+≥m恒成立,所以m≤5.故选C.
(3)因为a,b为正数,a2+b2=4≥2ab,可得ab≤2,当且仅当a=b=时,取等号,所以A正确;由于+==≥1,当且仅当a=b=时,取等号,所以B不正确;因为≤,所以a+b≤2,当且仅当a=b=时,取等号,所以C不正确;
因为=++≥1+1=2,所以+≥,当且仅当a=b=时,取等号,所以D正确.故选AD.
题型四　一元二次不等式及其应用
[例4] (1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B等于(　　)
A.{-4,1} B.{1,5}
C.{3,5} D.{1,3}
(2)若y=对任意实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.
解析:(1)由x2-3x-4<0解得-1(2)当k=0时,8>0成立.
当k≠0时,只需
则0综上可知0≤k≤1.
答案:(1)D　(2){k|0≤k≤1}
(1)一元二次不等式常与集合运算相结合.
(2)三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键.
(3)含参数的一元二次不等式恒成立问题是常见题型,关键是等价转化与合理分类.构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向.
(4)高次不等式、分式不等式要等价转化.
[跟踪训练4] (1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1A.1 B.-1 C.0 D.-2
(2)设a<-1,则关于x的不等式a(x-a)(x-)<0的解集为　　　　　　　　.
解析:(1)易知
所以a+b=0.故选C.
(2)因为a<-1,
所以a(x-a)·(x-)<0 (x-a)·(x-)>0.
又a<-1,
所以>a,
所以x>或x答案:(1)C　(2){x|x}
题型五　一元二次不等式与基本不等式的实际应用
[例5] (2022·湖北武汉高一期中)某公司销售一批新型削笔器,该削笔器原来每个售价15元,年销售18万个.
(1)据市场调查,若一个削笔器的售价每提高1元,年销售量将相应减少2 000个,要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为多少元
(2)为了提高年销售量,公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革,并提高售价到x元.公司计划投入x2万元作为技改费用,投入30万元作为固定宣传费用.试问:技术革新后,该削笔器的年销售量t至少达到多少万个时,才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和 并求此时每个削笔器售价.
解:(1)设每件零售价为x元,
由题意可得[18-0.2(x-15)]x≥15×18,
即x2-105x+15×90≤0,(x-15)(x-90)≤0,
所以15≤x≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为90元.
(2)当x>15时,tx≥15×18+30+x2有解,
当x>15时,t≥+有解.
因为+≥2=20,
当且仅当=,即x=30时,等号成立,
所以t≥20,因此,该削笔器的年销售量t至少达到20万个时,才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和,此时每个削笔器售价30元.
本例主要考查一元二次不等式与基本不等式的实际应用,考查数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养.第(1)问根据已知条件列出关于x的一元二次不等式,求出解集即可确定出定价最多时对应的数值;第(2)问,解答的关键有两点:①根据条件列出满足的不等式并对不等式进行参变分离,②使用基本不等式求解出最值.
[跟踪训练5] 某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
解:(1)设每件定价为t元,
依题意得(8-×0.2)t≥25×8,
整理得t2-65t+1 000≤0,
解得25≤t≤40,
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意知当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x成立,
等价于x>25时,
a≥+x+有解.
由于+x≥2=10,
当且仅当=,即x=30时,等号成立,
所以a≥10.2.
当该商品改革后销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
第2章　检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|≤0},B={1,2,3,4,5},则A∩B等于(　D　)
A.{2,3,4,5} B.{3,4}
C.{3,4,5} D.{2,3,4}
解析:因为集合A={x|≤0}={x|2≤x<5},B={1,2,3,4,5},
所以A∩B={2,3,4}.故选D.
2.已知a,b∈R,条件甲:a>b>0,条件乙:<,则甲是乙的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:条件乙:<,
即为-<0 <0,
若条件甲:a>b>0成立,则条件乙一定成立;
反之,当条件乙成立,则0>a>b也可以,但是此时不满足条件甲:a>b>0,
所以甲是乙成立的充分不必要条件.故选A.
3.不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|A.6 B.-6
C.5 D.-5
解析:由已知得a<0,且,为方程ax2+5x+c=0的两根,故+=-,×=,解得a=-6,c=-1,所以a-c=-5.故选D.
4.已知关于x的不等式>0的解集为(m,n),则m+n的值为(　B　)
A.-5 B.-
C.-4 D.-5或-
解析:因为不等式>0的解集为(m,n),
所以(mx-1)(x+3)>0的解集为(m,n),
所以方程(mx-1)(x+3)=0的两根为m,n,且m<0,m所以或
解得(舍去)或
所以m+n=-.故选B.
5.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.现将一物体放在左、右托盘各称一次,称量结果分别为a和b,设该物体的真实质量为G,则(　B　)
A.G> B.G<
C.G> D.G<
解析:设天平的两臂的长度分别为m和n,
若两次称量结果分别为a,b,则有ma=nG,nb=mG,且a≠b,
两式联立可得G2=ab,即G=,又由a≠b,可得>,则>G.故选B.
6.要制作一个容积为4 m3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　C　)
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
解析:由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m.又设总造价是y元,则y=20×4+10×(2x+)≥80+20=160,当且仅当2x=,即x=2时,等号成立.故选C.
7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=6,c=4,则此三角形面积的最大值为(　B　)
A. B.2 C.3 D.4
解析:p=(a+b+c)=5,
所以S=
=
=
≤·=2,
当且仅当a=b=3时,等号成立.故选B.
8.设x,y均为正数,且+=,则xy的最小值为(　D　)
A.1 B.3 C.6 D.9
解析:因为x,y均为正数,且+=,
所以=,整理可得xy=x+y+3,
由基本不等式可得xy≥2+3,
整理可得()2-2-3≥0,解得≥3或≤-1(舍去),所以xy≥9,当且仅当x=y时,取等号.故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)
9.下列结论正确的是(　CD　)
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,则a2>ab
C.若a>b>0,则ab>b2
D.若|a|>|b|,则a2>b2
解析:c=0时选项A中的结论不成立;a≤0时选项B中的结论不成立;因为b>0,a>b,所以ab>bb=b2,选项C中的结论正确;因为|a|>|b|≥0,所以|a|2>|b|2,即a2>b2,选项D中的结论正确.故选CD.
10.若a>0,b>0,与不等式-b<A.-B.-C.x<-或x>
D.x<-或x>
解析:若x>0,则不等式-b<,
若x<0,则不等式-b<即x<-.故选ABC.
11.下列结论正确的是(　AD　)
A.当x>0时,+≥2
B.当x>0时,的最小值是2
C.当x<时,2x-1+的最小值是
D.设x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是
解析:A.当x>0时,+≥2=2,
当且仅当=,即x=1时,等号成立,A正确;
B.当x>0时,=+≥2=2,
当且仅当=时,等号成立,
但=无实解,故最小值2取不到,B错误;
C.当x<时,4x-5<0,2x-1+无最小值,C错误;
D.设x>0,y>0,且x+y=2,则+=(x+y)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,D正确.
故选AD.
12.已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,则下列不等式恒成立的是(　BC　)
A.+≤ B.ab≤2
C.a+b≤2 D.a2+b2≥4
解析:由a>0,b>0,a2+b2≥2ab,可得ab+2≥2ab,解得ab≤2(当且仅当a=b=时,等号成立),
又+≥(当且仅当a=b=时,等号成立),而ab≤2,
所以≥,所以+≥,故B正确,A错误;
由a>0,b>0,利用基本不等式得ab≤,
变形a2+b2-ab=2,得(a+b)2-2=3ab≤(当且仅当a=b=时,等号成立),
解得(a+b)2≤8,即a+b≤2,故C正确;
对于D,由a>0,b>0,ab≤,
变形a2+b2-ab=2,得a2+b2-2=ab≤(当且仅当a=b=时,
等号成立),
解得a2+b2≤4,故D错误.故选BC.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若不等式x2-2x+m<0有解,则实数m的取值集合是　　　　.
解析:由题意,得Δ=4-4m>0,即m<1,故实数m的取值集合是{m|m<1}.
答案:{m|m<1}
14.若正实数x,y满足x+3y=xy,则3x+y的最小值是　　　　.
解析:正实数x,y满足x+3y=xy,
所以+=1,
所以3x+y=(3x+y)(+)=10++≥10+2=16,
当且仅当=且x+3y=xy,
即x=4,y=4时,取等号.
答案:16
15.已知实数x,y满足0≤2x+y≤3,-2≤x-y≤1,则4x+5y的最大值是　　　　.
解析:令4x+5y=m(2x+y)+n(x-y),
解得m=3,n=-2.
又因为0≤2x+y≤3,-2≤x-y≤1,
所以-2≤4x+5y≤13,
即4x+5y的最大值是13.
答案:13
16.已知x>0,y>0,若x·(y+1)=2,则x-的最大值为　　　　.
解析:因为x>0,y>0,x·(y+1)=2,所以y=,则x-=x-=,
设t=2-x,则由0答案:3-2
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知不等式mx2+3x-2>0的解集为{x|n(1)求m,n的值;
(2)解关于x的不等式ax2-(n+a)x-m>0(a∈R,a<1).
解:(1)由题意,m<0且n,2为方程mx2+3x-2=0的两根,
所以
解得或(舍去),
所以m=-1,n=1.
(2)由(1)可得不等式为ax2-(1+a)x+1>0,
即(ax-1)(x-1)>0.
①当a=0时,不等式可化为x-1<0,
即{x|x<1};
②当a<0时,<1,
所以不等式的解集为{x|③当01,所以不等式的解集为{x|x<1或x>}.
综上,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a<0时,原不等式的解集为{x|当0}.
18.(本小题满分12分)
已知正实数x,y满足2x+5y=20.
(1)求xy的最大值;
(2)若不等式+≥m2+4m恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)20=2x+5y≥2,解得xy≤10,
当且仅当x=5,y=2时,取等号,
所以xy最大值为10.
(2)由题意得+=1,
则+=(+)·(+)=++≥+2=,
当且仅当x=,y=时,取等号,
所以m2+4m≤,解得-≤m≤,
即实数m的取值范围是{m|-≤m≤}.
19.(本小题满分12分)
如图,AB是半圆直径,O为AB的中点,DO⊥AB,C在AB上,且AC=a,BC=b.
(1)用a,b表示线段OD,CD的长度;
(2)若a>0,b>0,a+b=1,求a4+b4的最小值.
解:(1)OD=,OC=,
CD==.
(2)由(1)知,CD≥OD,即≥(当且仅当a=b时,取等号),
所以≥()2=(当且仅当a=b时,取等号),
所以≥≥,
所以a4+b4≥(当且仅当a=b=时,取等号),
所以a4+b4的最小值为.
20.(本小题满分12分)
已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
解:因为a,b,c均为正数,
所以a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc,
c2+a2≥2ac.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①
同理++≥++,②
故a2+b2+c2+(++)2≥ab+bc+ac+++≥6.③
所以原不等式成立.
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,
当且仅当a=b=c,
(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.
故当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.
21.(本小题满分12分)
(1)二次函数y=4x2-4mx+m+2有两个零点,求m的取值范围;
(2)已知a<0,解关于x的不等式ax2-3x+2>5-ax.
解:(1)因为二次函数y=4x2-4mx+m+2有两个零点,所以方程4x2-4mx+m+2=0有两个不相等的实数根,所以Δ=16m2-16(m+2)>0,解得m<-1或m>2,
故m的取值范围为m<-1或m>2.
(2)因为ax2-3x+2>5-ax,
所以ax2+(a-3)x-3>0,
所以(x+1)(ax-3)>0,
令(x+1)(ax-3)=0,又a<0,
所以x=或x=-1,
①当-3②当a=-3时,=-1,不等式的解集为;
③当a<-3时,>-1,所以-1综上,当-3不等式的解集为{x|当a=-3时,不等式的解集为;
当a<-3时,不等式的解集为{x|-122.(本小题满分12分)
某建筑队在一块长AM=30米,宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工,规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓,要求顶点C在地块的对角线MN上,B,D分别在边AM,AN上,假设AB长度为x米.
(1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米,AB的长度应在什么范围
(2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大 最大值是多少平方米
解:(1)依题意知△NDC∽△NAM,
所以=,
即=,
则AD=20-x.
故矩形ABCD的面积为S=20x-x2.
根据条件0即S=20x-x2≥144,
化简得x2-30x+216≤0,
解得12≤x≤18.
故AB的长度应在12米～18米内.
(2)S=20x-x2=x(30-x)≤()2=150,
当且仅当x=30-x,
即x=15时,等号成立.
此时AD=20-x=10.
故AB=15米,AD=10米时,
学生公寓ABCD的面积最大,最大值是150平方米.
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