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(共33张PPT)
章末总结
网络构建·归纳整合
题型归纳·素养提升
题型一　求函数的定义域
答案:(1)D
A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.[3,4] D.[1,3]
答案:(2)D
(3)已知等腰△ABC的周长为10,则底边长y关于腰长x的函数关系为　　　 ,
此函数的定义域为　　 　　.
规律总结
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题
①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出.
②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
提醒:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是自变量x的范围.
A.[-1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.[-1,0)∪(0,+∞) D.R
(2)已知f(x)的定义域是[0,+∞),则函数(x-2)0+f(x-1)的定义域是(　　)
A.[0,2)∪(2,+∞) B.[1,2)∪(2,+∞)
C.[-1,2)∪(2,+∞) D.[1,+∞)
题型二　求函数的解析式
答案:(1)D
(2)已知f(x-1)=2x+5,则f(x)的解析式为　　　 　;
解析:(2)法一(换元法)　设x-1=t,则x=t+1,
所以f(t)=2(t+1)+5=2t+7,
所以f(x)=2x+7.
法二(配凑法)　f(x-1)=2x+5=2(x-1)+7,
所以f(x)=2x+7,即函数f(x)的解析式为f(x)=2x+7.
答案:(2)f(x)=2x+7
(3)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且 x,y∈R,都有f(x-y)=
f(x)-y(2x-y+1),则f(x)=　　　　.
解析:(3)法一　由已知条件得f(0)=1,
又f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
设y=x,则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1.
法二　令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1),
将-y 用x代换得f(x)=x2+x+1.
答案:(3)x2+x+1
规律总结
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数,使用待定系数法).
(4)已知在一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=　 .
题型三　分段函数
(1)求f(x)的定义域,值域;
(2)求f(f(1));
规律总结
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
A.-2 B.4 C.2 D.-4
题型四　函数性质的综合应用
(1)判断函数的单调性(不要求证明);
解:(1)函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.
(3)若f(x)≤-2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
规律总结
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断f(x)在[-2,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0),若对任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2)成
立,求实数k的取值范围.
题型五　函数图象的画法及应用
[例5] 已知函数f(x)=|x2-1|+m|x+1|+a有最小值f(2)=-4.
(1)作出函数y=f(x)的图象;
[例5] 已知函数f(x)=|x2-1|+m|x+1|+a有最小值f(2)=-4.
(2)写出函数f(1-2x)的单调递增区间.
规律总结
(1)函数图象的画法
①若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍.
②若y=f(x)不是所学过的函数之一,可采用描点法画出其图象,描点法包括三个基本步骤:(ⅰ)列表;(ⅱ)描点;(ⅲ)连线.也可先研究其性质再根据性质画图象.还可以利用学过的函数的图象通过平移、对称、翻折等方法得到.
(2)函数图象的应用
利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
[跟踪训练5] 已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间;
[跟踪训练5] 已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.
(2)求集合M={m|方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
解:(2)由题意可知,若函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点,则0故集合M={m|0一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四组函数中,相等的一组是(　B　)
A.f(x)=1,g(x)=x0
B.f(x)=|x|,g(t)=
C.f(x)=,g(x)=x+1
D.f(x)=·,g(t)=
解析:A选项,因为f(x)=1的定义域为R,g(x)=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不相等,故A错误;B选项,因为f(x)=|x|的定义域为R,g(t)=的定义域也为R,且g(t)==|t|与f(x)=|x|对应关系一致,相等,故B正确;C选项,因为f(x)=的定义域为
(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)=x+1的定义域为R,定义域不同,不相等,故C错误;D选项, 因为f(x)=·的定义域为[1,+∞),g(t)=
的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,不相等,故D错误.故选B.
2.若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是(　B　)
A.[-4,4] B.[-4,2]
C.[-4,-2] D.[2,4]
解析:由-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.
所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2].故选B.
3.y=x+的大致图象是(　B　)
解析:设f(x)=x+,
则f(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x),
所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
又x>0时,x>0,>0,
所以f(x)=x+>0.故选B.
4.m=2是函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:m=2时,f(x)=|x-2|=
该函数在[2,+∞)上为增函数.
反之,若函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数,
则只需m≤2即可,
所以m=2是函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数的充分不必要
条件.
故选A.
5.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　D　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=
f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3].故选D.
6.若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+
f(-x)=0;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有x1f(x1)-
x1f(x2)>x2f(x1)-x2f(x2),则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=
其中被称为“理想函数”的有(　B　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:由(1)知,f(x)为定义域上的奇函数;
由(2)知,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知f(x)单调递增.
即“理想函数”满足(1)奇函数;(2)在定义域内单调递增.
对于①,f(x)=x2是偶函数,在定义域内不单调递增,①不是“理想
函数”;
对于②,f(x)=x3满足函数是奇函数,在定义域内单调递增,②为“理
想函数”;
对于③,f(-x)==≠-f(x),函数不是奇函数,③不是“理想
函数”;
对于④,f(x)=
当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x=-f(x),又f(0)=0,可知f(x)为定义域上的奇函数;又当x≥0时,f(x)单调递增,由奇函数性质知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,则f(x)在定义域内单调递增,④为“理想函数”.故选B.
7.设f(x)=若2f(a)=f(2a),则f(a+2)的值为(　B　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:若0≤a<,则2a2=4a2,
解得a=0;
若≤a<1,则2a2=4a-1,
解得a=(舍去);
当a≥1时,4a-1=2(2a-1),无解.
综上只能a=0,
所以f(a+2)=f(2)=3.故选B.
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数, x1,x2∈[3,+∞),有>0,则(　B　)
A.f(0)<4 B.f(1)=4
C.f(2)>4 D.f(3)<0
解析:由f(x+3)是偶函数可得f(x)关于直线x=3对称,
因为 x1,x2∈[3,+∞),有>0,
所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,
因为f(5)=4,所以f(0)=f(6)>4,
f(1)=f(5)=4,f(2)=f(4)<4,
无法比较f(3)与0的大小.故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得
0分,选对但不全的得2分)
9.下列说法正确的有(　BCD　)
A.式子y=+可表示自变量为x,因变量为y的函数
B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个
C.若f(x)=|x-1|-|x|,则f(f())=1
D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t相等
解析:对于A选项,对于函数y=+有此不等式组无解,A错误;
对于B选项,当函数y=f(x)在x=1处无定义时,函数y=f(x)的图象与直线x=1无交点,
当函数y=f(x)在x=1处有定义时,函数y=f(x)的图象与直线x=1只有1个交点,
所以函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个,B正确;
对于C选项,因为f(x)=|x-1|-|x|,则f()=0,故f(f())=f(0)=1,C正确;
对于D选项,函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t的定义域均为R,且对应关系相同,
故f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t相等,D正确.
故选BCD.
10.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法正确的有(　AB　)
A.f(0)=0
B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数
D.函数f(x)的图象关于y轴对称
解析:由题意知,f(0)=0,A正确;B正确;C不正确;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.D不正确,函数f(x)的图象关于原点对称.故选AB.
11.已知函数f(x)=那么(　AC　)
A.f(3)=1
B.f(10)=4
C. a∈[0,2),f(a)=f(a+4)
D. a∈[0,2),f(a)=f(a+1)
解析:f(3)=f(1)=1,选项A正确;
f(10)=f(8)=…=f(0)=0,选项B不正确;
a∈[0,2),f(a+4)=f(a+2)=f(a),选项C正确;
若0≤a<1,f(x)在[0,2)单调递增,不可能有f(a)=f(a+1),若1≤a<2,则f(a+1)=f(a-1),此时a≠a-1,且a,a-1均在区间[0,2),根据函数单调性,也不可能有f(a)=f(a-1),选项D不正确.故选AC.
12.给出定义:若m-A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-,]
B.函数y=f(x)是偶函数
C.函数y=f(x)是奇函数
D.函数y=f(x)在(-,]上单调递增
解析:化简函数解析式可得,
f(x)=x-{x}=
画出函数的图象,如图所示,由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-,],故A为真命题;由图可以得出,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在(-,]上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,从而B,C为假命题,D为真命题.
故选AD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设f(x)=若f(2)=4,则a的取值范围为　　 　　.
解析:若2∈(-∞,a),则f(2)=2不合题意.
所以2∈[a,+∞),所以a≤2.
答案:(-∞,2]
14.已知函数f(x)=(2-x)(x+m)为偶函数,f(f(2))=　　　　　　.
解析:f(x)=(2-x)(x+m)=-x2+(2-m)x+2m,该函数为偶函数,则m=2,
此时f(x)=-x2+4,f(f(2))=f(0)=4.
答案:4
15.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数,若f(-2)=2,则f(2)=
　　 　　.
解析:设g(x)=ax3+bx,显然g(x)为奇函数,
则f(x)=ax3+bx-4=g(x)-4,
于是f(-2)=g(-2)-4=-g(2)-4=2,
所以g(2)=-6,
所以f(2)=g(2)-4=-6-4=-10.
答案:-10
16.为贯彻执行党中央“不忘初心、牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=(k,M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间为　　　　分钟.
解析:由已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,及函数f(n)的解析式知f(9)==20,f(M)==12,所以k=60,M=25,又4<25,所以f(4)==30.
答案:30
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.
(1)求f(m+1)的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
解:(1)由f(1)=2,f(2)=-1,
得a+b=2,2a+b=-1,
即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,
f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.
(2)函数f(x)在R上单调递减,证明如下:
任取x1则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)=3x1-3x2=3(x1-x2),
因为x1所以f(x2)-f(x1)<0,
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减.
18.(本小题满分12分)
近年来,“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每座城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入资金a(单位:万元)满足P=4-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入资金a(单位:万元)满足Q=
设甲城市的投入资金为x(单位:万元),两城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资,才能使公司总收益最大
解:(1)当x=128时,此时甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,所以总收益f(128)=4-6+×112+2=88(万元).
(2)设甲城市投资x万元,
则乙城市投资(240-x)万元,
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时,120<240-x≤160,
f(x)=4-6+32=4+26<26+16.
当120≤x≤160时,80≤240-x≤120,
f(x)=4-6+(240-x)+2=-x+4+56.
令t=,则t∈[2,4],
所以y=-t2+4t+56=-(t-8)2+88,
当t=8,即x=128时,y的最大值为88.
因为88>26+16,所以当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,公司总收益最大,且最大收益为88万元.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求证:f(x)在区间[2,+∞)上单调递增;
(3)若对任意的x1,x2∈[2,4]都有f(x1)-f(x2)≤m2-2m-2.求实数m的取值范围.
(1)解:由f(x)为奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
可得f(-1)=-f(1),
即-(1-a+4)=-(1+a+4),解得a=0,
此时f(x)=x+,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-=-f(x),满足f(x)为奇函数.
(2)证明:对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1有f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.由2≤x14,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)解:由f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,可得对任意x1,x2∈[2,4],
f(x1)-f(x2)≤f(4)-f(2)=1,所以m2-2m-2≥1,
解得m≤-1或m≥3,
即实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
20.(本小题满分12分)
已知f(x)是定义在非零实数集上的函数,且对任意非零实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)证明:f(x)为偶函数;
(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的
解集.
(1)解:在f(xy)=f(x)+f(y)中,
令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;
再令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),
得f(-1)=0.
(2)证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,
令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),
即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)解:f(2)+f(3)=f(6),不等式f(3-x)≤f(2)+f(3),
即f(3-x)≤f(6).
当3-x>0时,根据函数的单调性和不等式f(3-x)≤f(6),得3-x≤6,
解得-3≤x<3;
当3-x<0时,x-3>0,
f(3-x)=f(x-3)≤f(6),
由函数单调性,得x-3≤6,
解得3综上,不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集为[-3,3)∪(3,9].
21.(本小题满分12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)-g(x)=.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若g(x+5)+g()解:(1)根据题意f(x)-g(x)=,①
则有f(-x)-g(-x)=,
因为f(x)是奇函数,而g(x)为偶函数,
则有f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=,②
①+②可得,-2g(x)=,
所以g(x)=,f(x)=.
(2)若g(x+5)+g()即+<+,且x≠0,x≠1,
变形可得(x+5)2>(x-1)2,
解得x>-2,且x≠0,x≠1,
所以x的取值范围是{x|x>-2,且x≠0,x≠1}.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求b的值;
(2)证明:函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减;
(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.
(1)解:因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b=0.
(2)证明:由(1)可得f(x)=,下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
设x2>x1≥1,
则有f(x1)-f(x2)=-==.
再根据x2>x1≥1,
可得1+>0,1+>0,x1-x2<0,
1-x1x2<0,
所以>0,
即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
(3)解:由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0,
可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4)=f[(x-1)2+3],1+2x2≥1,
(x-1)2+3>1,
再根据函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,可得1+2x2解得-321世纪教育网(www.21cnjy.com)章末总结
题型一　求函数的定义域
[例1] (1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　)
A.(-∞,) B.(,1)
C.(-,) D.(-∞,)∪(,1)
(2)(2022·浙江杭州高一期末)已知函数f(x)的定义域为[2,8],则函数h(x)=f(2x)+的定义域为(　　)
A.[4,16]
B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.[3,4]
D.[1,3]
(3)已知等腰△ABC的周长为10,则底边长y关于腰长x的函数关系为　　　　　　　,此函数的定义域为　　　　.
解析:(1)由题意得
解得x<1,且x≠.故选D.
(2)因为f(x)的定义域为[2,8],
所以要使h(x)=f(2x)+有意义,
需满足解得1≤x≤3,所以h(x)的定义域为[1,3].
故选D.
(3)由题意知y=10-2x,0即0<10-2x<10,
解得0又底边长y与腰长x应满足2x>y,
即4x>10,x>.综上,答案:(1)D　(2)D　(3)y=10-2x　(,5)
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义.
(3)复合函数问题
①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出.
②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
提醒:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是自变量x的范围.
[跟踪训练1] (1)函数f(x)=+的定义域是(　　)
A.[-1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.[-1,0)∪(0,+∞) D.R
(2)已知f(x)的定义域是[0,+∞),则函数(x-2)0+f(x-1)的定义域是(　　)
A.[0,2)∪(2,+∞) B.[1,2)∪(2,+∞)
C.[-1,2)∪(2,+∞) D.[1,+∞)
解析:(1)由
解得-1≤x<0或x>0,
区间表示为[-1,0)∪(0,+∞).故选C.
(2)由得1≤x,且x≠2.故选B.
题型二　求函数的解析式
[例2] (1)(2021·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,若f(0)+f(3)=6,则f()等于(　　)
A.- B.- C. D.
(2)已知f(x-1)=2x+5,则f(x)的解析式为　　　　;
(3)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且 x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)=　　　　.
解析:(1)因为f(x+1)是奇函数,
所以f(-x+1)=-f(x+1),①
因为f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),②
令x=1,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b).
由②得f(3)=f(1)=a+b,
因为f(0)+f(3)=6,
所以-(4a+b)+a+b=6,得a=-2.
令x=0,由①得f(1)=-f(1),
故f(1)=-2+b=0,b=2.
所以f(x)=-2x2+2.
由①②得f(x)周期为4,
所以f()=f()=-f()=-[-2×()2+2]=.故选D.
C
(3)法一　由已知条件得f(0)=1,
又f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
设y=x,则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1.
法二　令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1),
将-y 用x代换得f(x)=x2+x+1.
答案:(1)D　(2)f(x)=2x+7　(3)x2+x+1
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数,使用待定系数法).
(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f(),使用解方程组法.
(4)已知在一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法.
[跟踪训练2] (1)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)=　　　　;
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=　.
解析:(1)
所以①×2-②得3f(x)=6x-,
所以f(x)=2x-.
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),且f(0)=0,
所以f(x)=2x2+3x-1,
即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
综上,f(x)的解析式为
f(x)=
答案:(1)2x-
(2)
题型三　分段函数
[例3] 已知函数f(x)=
(1)求f(x)的定义域,值域;
(2)求f(f(1));
(3)解不等式f(x+1)>.
解:(1)f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪[2,)=(0,).
易知f(x)在(0,1)上为增函数,
所以0f(x)在[1,)上为减函数,所以0所以f(x)的值域为(0,].
(2)f(1)=-=,
f(f(1))=f()=×=.
(3)f(x+1)>等价于
①或②或③
解①得-解②得0≤x<1,解③得x∈.
所以f(x+1)>的解集为(-,0)∪[0,1)=(-,1).　
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要检验.
(3)在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
[跟踪训练3] 已知f(x)=则f(-)+f()等于(　　)
A.-2 B.4 C.2 D.-4
解析:因为f(x)=
所以f(-)=f(-+1)=f(-)=f(-+1)=f()=×2=,f()=2×=,
所以f(-)+f()=+=4.故选B.
题型四　函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若对于任意的m,n∈[-1,1],m+n≠0,有>0.
(1)判断函数的单调性(不要求证明);
(2)解不等式f(x+)(3)若f(x)≤-2at+2对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
解:(1)函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,
由f(x+)所以不等式f(x+)(3)因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,且f(1)=1,
所以要使得对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都有f(x)≤-2at+2恒成立,
只需对任意的a∈[-1,1],-2at+2≥1恒成立.
令y=-2at+1,当t≠0时,y可以看作a的一次函数,
且在a∈[-1,1]时,y≥0恒成立.
因此只需
解得-≤t≤,且t≠0.
当t=0时,y=1,满足y≥0恒成立.
所以实数t的取值范围为[-,].
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
[跟踪训练4] 已知函数f(x)=是定义在[-2,2]上的奇函数,且f(1)=.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断f(x)在[-2,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)设g(x)=kx2+2kx+1(k≠0),若对任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.
解:(1)依题意函数f(x)=是定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(0)==0,所以b=0,
f(1)== a=4,
所以f(x)=,经检验,该函数为奇函数.
故a=4,b=0.
(2)f(x)在[-2,2]上单调递增,证明如下:
任取-2≤x1f(x1)-f(x2)=-=
===
其中x1x2-4<0,x2-x1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0 f(x1)故f(x)在[-2,2]上单调递增.
(3)由于对任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,
所以f(x)的值域为g(x)的值域的子集.
而由(2)知f(x)∈[-,],
当k>0时,g(x)在[-1,2]上单调递增,g(x)∈[1-k,8k+1],所以即k≥;
当k<0时,g(x)在[-1,2]上单调递减,g(x)∈[8k+1,1-k],所以即k≤-.
综上所述,k≤-或k≥.
故若对任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数k的取值范围为k≤-或k≥.
题型五　函数图象的画法及应用
[例5] 已知函数f(x)=|x2-1|+m|x+1|+a有最小值f(2)=-4.
(1)作出函数y=f(x)的图象;
(2)写出函数f(1-2x)的单调递增区间.
解:(1)因为当x>1时,f(x)=x2+mx+a+m-1,
又因为函数f(x)=|x2-1|+m|x+1|+a有最小值f(2)=-4,
故-=2,即m=-4,
则f(x)=x2-4x+a-5,
则f(2)=4-8+a-5=-4,故a=5,
则f(x)=|x2-1|-4|x+1|+5,
则f(x)=
其函数的图象如图,
(2)由(1)得函数y=f(x)在区间(-∞,-2],[-1,2]上单调递减,
在区间[-2,-1],[2,+∞)上单调递增,
又因为函数f(1-2x)的内层函数为减函数,
y=f(x)在区间(-∞,-2],[-1,2]上单调递减,故令1-2x∈(-∞,-2]或1-2x∈[-1,2],
得x∈[-,1]或x∈[,+∞),
故函数f(1-2x)的单调递增区间为[-,1],[,+∞).
(1)函数图象的画法
①若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍.
②若y=f(x)不是所学过的函数之一,可采用描点法画出其图象,描点法包括三个基本步骤:(ⅰ)列表;(ⅱ)描点;(ⅲ)连线.也可先研究其性质再根据性质画图象.还可以利用学过的函数的图象通过平移、对称、翻折等方法得到.
(2)函数图象的应用
利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
[跟踪训练5] 已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.
(1)画出函数图象并写出函数的单调区间;
(2)求集合M={m|方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
解:(1)当-x2+2x+3≥0时,-1≤x≤3,
函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
当-x2+2x+3<0时,
得x<-1或x>3,
函数f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4,
即f(x)=
的图象如图所示,单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞),单调递减区间为(-∞,-1)和(1,3).
(2)由题意可知,若函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点,则0故集合M={m|0第3章　检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四组函数中,相等的一组是(　B　)
A.f(x)=1,g(x)=x0
B.f(x)=|x|,g(t)=
C.f(x)=,g(x)=x+1
D.f(x)=·,g(t)=
解析:A选项,因为f(x)=1的定义域为R,
g(x)=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不相等,故A错误;
B选项,因为f(x)=|x|的定义域为R,g(t)=的定义域也为R,且g(t)==|t|与f(x)=|x|对应关系一致,相等,故B正确;
C选项,因为f(x)=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)=x+1的定义域为R,定义域不同,不相等,故C错误;
D选项, 因为f(x)=·的定义域为[1,+∞),g(t)=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不同,不相等,故D错误.故选B.
2.若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是(　B　)
A.[-4,4] B.[-4,2]
C.[-4,-2] D.[2,4]
解析:由-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.
所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2].故选B.
3.y=x+的大致图象是(　B　)
解析:设f(x)=x+,
则f(-x)=(-x)+=-(x+)=-f(x),
所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
又x>0时,x>0,>0,
所以f(x)=x+>0.故选B.
4.m=2是函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:m=2时,f(x)=|x-2|=
该函数在[2,+∞)上为增函数.
反之,若函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数,
则只需m≤2即可,
所以m=2是函数f(x)=|x-m|在[2,+∞)上为增函数的充分不必要条件.
故选A.
5.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　D　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3].故选D.
6.若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有x1f(x1)-x1f(x2)>x2f(x1)-x2f(x2),则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数:①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=其中被称为“理想函数”的有(　B　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:由(1)知,f(x)为定义域上的奇函数;
由(2)知,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知f(x)单调递增.
即“理想函数”满足(1)奇函数;(2)在定义域内单调递增.
对于①,f(x)=x2是偶函数,在定义域内不单调递增,①不是“理想函数”;
对于②,f(x)=x3满足函数是奇函数,在定义域内单调递增,②为“理想函数”;
对于③,f(-x)==≠-f(x),函数不是奇函数,③不是“理想函数”;
对于④,f(x)=
当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x=-f(x),又f(0)=0,可知f(x)为定义域上的奇函数;又当x≥0时,f(x)单调递增,由奇函数性质知,f(x)在(-∞,0]上单调递增,则f(x)在定义域内单调递增,④为“理想函数”.故选B.
7.设f(x)=若2f(a)=f(2a),则f(a+2)的值为(　B　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:若0≤a<,则2a2=4a2,
解得a=0;
若≤a<1,则2a2=4a-1,
解得a=(舍去);
当a≥1时,4a-1=2(2a-1),无解.
综上只能a=0,
所以f(a+2)=f(2)=3.故选B.
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数, x1,x2∈[3,+∞),有>0,则(　B　)
A.f(0)<4 B.f(1)=4
C.f(2)>4 D.f(3)<0
解析:由f(x+3)是偶函数可得f(x)关于直线x=3对称,
因为 x1,x2∈[3,+∞),有>0,所以f(x)在[3,+∞)上单调递增,
因为f(5)=4,所以f(0)=f(6)>4,
f(1)=f(5)=4,f(2)=f(4)<4,
无法比较f(3)与0的大小.故选B.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)
9.下列说法正确的有(　BCD　)
A.式子y=+可表示自变量为x,因变量为y的函数
B.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个
C.若f(x)=|x-1|-|x|,则f(f())=1
D.f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t相等
解析:对于A选项,对于函数y=+有此不等式组无解,A错误;
对于B选项,当函数y=f(x)在x=1处无定义时,函数y=f(x)的图象与直线x=1无交点,
当函数y=f(x)在x=1处有定义时,函数y=f(x)的图象与直线x=1只有1个交点,
所以函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个,B正确;
对于C选项,因为f(x)=|x-1|-|x|,则f()=0,故f(f())=f(0)=1,C正确;
对于D选项,函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t的定义域均为R,且对应关系相同,
故f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t相等,D正确.
故选BCD.
10.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列说法正确的有(　AB　)
A.f(0)=0
B.若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1
C.若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数
D.函数f(x)的图象关于y轴对称
解析:由题意知,f(0)=0,A正确;B正确;C不正确;奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.D不正确,函数f(x)的图象关于原点对称.故选AB.
11.已知函数f(x)=那么(　AC　)
A.f(3)=1
B.f(10)=4
C. a∈[0,2),f(a)=f(a+4)
D. a∈[0,2),f(a)=f(a+1)
解析:f(3)=f(1)=1,选项A正确;
f(10)=f(8)=…=f(0)=0,选项B不正确;
a∈[0,2),f(a+4)=f(a+2)=f(a),选项C正确;
若0≤a<1,f(x)在[0,2)单调递增,不可能有f(a)=f(a+1),若1≤a<2,则f(a+1)=f(a-1),此时a≠a-1,且a,a-1均在区间[0,2),根据函数单调性,也不可能有f(a)=f(a-1),选项D不正确.故选AC.
12.给出定义:若m-A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-,]
B.函数y=f(x)是偶函数
C.函数y=f(x)是奇函数
D.函数y=f(x)在(-,]上单调递增
解析:化简函数解析式可得,
f(x)=x-{x}=
画出函数的图象,如图所示,由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-,],故A为真命题;由图可以得出,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在(-,]上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,从而B,C为假命题,D为真命题.故选AD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.设f(x)=若f(2)=4,则a的取值范围为　　　　.
解析:若2∈(-∞,a),则f(2)=2不合题意.
所以2∈[a,+∞),所以a≤2.
答案:(-∞,2]
14.已知函数f(x)=(2-x)(x+m)为偶函数,f(f(2))=　　　　　　.
解析:f(x)=(2-x)(x+m)=-x2+(2-m)x+2m,该函数为偶函数,则m=2,
此时f(x)=-x2+4,f(f(2))=f(0)=4.
答案:4
15.已知f(x)=ax3+bx-4,其中a,b为常数,若f(-2)=2,则f(2)=　　　　.
解析:设g(x)=ax3+bx,显然g(x)为奇函数,
则f(x)=ax3+bx-4=g(x)-4,
于是f(-2)=g(-2)-4=-g(2)-4=2,
所以g(2)=-6,
所以f(2)=g(2)-4=-6-4=-10.
答案:-10
16.为贯彻执行党中央“不忘初心、牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力.某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)f(n)大致服从的关系为f(n)=(k,M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间为　　　　分钟.
解析:由已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,及函数f(n)的解析式知f(9)==20,f(M)==12,所以k=60,M=25,又4<25,所以f(4)==30.
答案:30
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=ax+b,且f(1)=2,f(2)=-1.
(1)求f(m+1)的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.
解:(1)由f(1)=2,f(2)=-1,
得a+b=2,2a+b=-1,
即a=-3,b=5,故f(x)=-3x+5,
f(m+1)=-3(m+1)+5=-3m+2.
(2)函数f(x)在R上单调递减,证明如下:
任取x1则f(x2)-f(x1)=(-3x2+5)-(-3x1+5)
=3x1-3x2=3(x1-x2),
因为x1所以f(x2)-f(x1)<0,
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减.
18.(本小题满分12分)
近年来,“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元,根据行业规定,每座城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入资金a(单位:万元)满足P=4-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入资金a(单位:万元)满足Q=设甲城市的投入资金为x(单位:万元),两城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资,才能使公司总收益最大
解:(1)当x=128时,此时甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,所以总收益f(128)=4-6+×112+2=88(万元).
(2)设甲城市投资x万元,
则乙城市投资(240-x)万元,
依题意得解得80≤x≤160.
当80≤x<120时,120<240-x≤160,
f(x)=4-6+32=4+26<26+16.
当120≤x≤160时,80≤240-x≤120,
f(x)=4-6+(240-x)+2
=-x+4+56.
令t=,则t∈[2,4],
所以y=-t2+4t+56=
-(t-8)2+88,
当t=8,即x=128时,y的最大值为88.
因为88>26+16,所以当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,公司总收益最大,且最大收益为88万元.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)求证:f(x)在区间[2,+∞)上单调递增;
(3)若对任意的x1,x2∈[2,4]都有f(x1)-f(x2)≤m2-2m-2.求实数m的取值范围.
(1)解:由f(x)为奇函数,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),可得f(-1)=-f(1),
即-(1-a+4)=-(1+a+4),解得a=0,
此时f(x)=x+,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-=-f(x),满足f(x)为奇函数.
(2)证明:对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.由2≤x14,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)解:由f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,可得对任意x1,x2∈[2,4],f(x1)-f(x2)≤f(4)-f(2)=1,所以m2-2m-2≥1,
解得m≤-1或m≥3,
即实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
20.(本小题满分12分)
已知f(x)是定义在非零实数集上的函数,且对任意非零实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)证明:f(x)为偶函数;
(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集.
(1)解:在f(xy)=f(x)+f(y)中,
令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;
再令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),
得f(-1)=0.
(2)证明:在f(xy)=f(x)+f(y)中,
令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),
即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)解:f(2)+f(3)=f(6),不等式f(3-x)≤f(2)+f(3),即f(3-x)≤f(6).
当3-x>0时,根据函数的单调性和不等式
f(3-x)≤f(6),得3-x≤6,
解得-3≤x<3;
当3-x<0时,x-3>0,
f(3-x)=f(x-3)≤f(6),
由函数单调性,得x-3≤6,
解得3综上,不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集为[-3,3)∪(3,9].
21.(本小题满分12分)
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)-g(x)=.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若g(x+5)+g()解:(1)根据题意f(x)-g(x)=,①
则有f(-x)-g(-x)=,
因为f(x)是奇函数,而g(x)为偶函数,
则有f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=,②
①+②可得,-2g(x)=,
所以g(x)=,f(x)=.
(2)若g(x+5)+g()即+<+,且x≠0,x≠1,
变形可得(x+5)2>(x-1)2,
解得x>-2,且x≠0,x≠1,
所以x的取值范围是{x|x>-2,且x≠0,x≠1}.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求b的值;
(2)证明:函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减;
(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.
(1)解:因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b=0.
(2)证明:由(1)可得f(x)=,下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
设x2>x1≥1,
则有f(x1)-f(x2)=-
=
=.
再根据x2>x1≥1,
可得1+>0,1+>0,x1-x2<0,
1-x1x2<0,
所以>0,
即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
(3)解:由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0,
可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4)=f[(x-1)2+3],1+2x2≥1,(x-1)2+3>1,
再根据函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,可得1+2x2解得-321世纪教育网(www.21cnjy.com)

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