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三角形单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．有长2分米、4分米两根小棒，再选一根长（　　）分米就一定能拼成一个三角形．
A．1.9 B．2.3 C．6 D．6.5
2．下列说法正确的是（　　）
A．1条射线长12厘米
B．角的大小与边的长短有关系
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．圆的周长和它的直径成正比例
3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．如图，∠2＝136°，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则∠1为（　　）
A．108° B．136° C．98° D．92°
6．如图，一束光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若∠1＝50°，∠3＝76°，则∠2的度数为（　　）
A．50° B．55° C．63° D．65°
7．将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE 的度数为（　　）
A．89° B．83° C．93° D．103°
8．∠1、∠2和∠3是一个三角形的三个内角．如果∠1＝∠2+∠3，那么这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　）
A． B． C． D．
10．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，AD平分∠BAM，BC平分∠OBA，交OM于点E，与AD的反向延长线交于点C．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：若∠BAD＝65°，则∠ABC＝40°；
结论Ⅱ：无论点A，B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
二．填空题（共5小题）
11．在△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，且∠C＝2∠B．那么如果按角分，这是一个　 　 三角形；按边分，这是一个　 　 三角形．
12．如图，BP、CP分别是△ABC 的内角、外角平分线，若∠P＝40°，则∠A＝　 　 ．
13．如图，将一个等腰三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　 ．
14．将一副三角尺按如图的方式拼摆，∠BED的度数为 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、A分别位于直线BC异侧，连接AP，∠PBC＝∠BAC，∠APB+2∠PAB＝90°，当BC＝8，PB＝5时，则AB的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，直线MN∥EF，Rt△ABC的直角顶点C在直线MN上，顶点B在直线EF上，AB交MN于点D，∠1＝50°，∠2＝60°，求∠A的度数．
17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，CE为边AB上的高，AD与CE交于点F，∠B＝44°，∠ACB＝80°．求∠AFC的度数．
19．如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数．
20．如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
21．【课本再现】（1）如图1，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°．则∠DAB等于 　 　 ，∠BAC等于 　 　 ；
【类比探究】（2）我们在小学知道，三角形的内角和为180°，请你在（1）的启发下，利用图1给予证明吗？
【结论应用】（3）如图，直线DE经过点A，∠BAC＝70°，∠ACB 比∠B大30°，且∠DAB＝40°，求证：BC∥ED．
22．如图1、图2，在△ABC中，∠BAC＝α，点D在边AC所在直线上，作DE⊥BC，垂足为点E，BM为∠ABC的平分线，∠ADE的平分线交直线BC于点G．
特例感悟：
（1）如图1，延长AB交DG的延长线于点F，若BM∥DG，∠F＝30°，
①∠ABC＝　 　 °；
②请说明AC⊥AB．
深入探究：
（2）如图2，若0°＜α＜90°，点M在线段AD上，DG的延长线与MB的延长线交于点H，请用含α的代数式表示∠BHD，并说明理由．
拓展延伸：
（3）当点D在射线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出∠BND与α的关系式．
三角形单元测试卷答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B D C C B A B
1．解：由三角形三边关系可得：4﹣2＜第三边＜4+2．
∴2＜第三边＜6，
故选：B．
2．解：A、射线不能度量，没有长度，说法错误，故不符合题意；
B、角的大小与边的长短无关，说法错误，故不符合题意；
C、等腰三角形不一定是锐角三角形，也可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，说法错误，故不符合题意；
D、圆的周长和它的直径成正比例，说法正确，故符合题意；
故选：D．
3．解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
4．解：∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝OB′，
∵∠OAC＝20°，
∴∠OB′A＝20°，
∴∠A′OA＝20°×2＝40°．
故选：B．
5．解：∵∠2+∠4+∠6＝180°，∠2＝136°，
∴∠6+∠4＝180°﹣136°＝44°，
∵∠3＝∠4，∠5＝∠6，
∴∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠4+∠6）＝88°，
又∵∠1+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，
∴∠1＝180°﹣88°＝92°
故选：D．
6．解：∵光线的反射角等于入射角，∠1＝50°，∠3＝76°，
∴∠6＝∠1＝50°，∠5＝∠3＝76°，∠2＝∠4，
∴．
故选：C．
7．解：∵∠ACB是△FCD的外角，
∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC，
∴∠DFC＝∠ACB﹣∠CDF＝45°﹣18°＝27°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣27°＝93°，
故选：C．
8．解：∵三角形三个内角的和为180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°．
又∵∠1＝∠2+∠3，
整理得∠1+∠1＝180°，即2∠1＝180°．
解得∠1＝90°．
有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、锐角三角形三个角都小于90°，所以此选项错误，不符合题意；
B、直角三角形有一个角是90°，所以此选项正确，符合题意；
C、钝角三角形有一个角大于90°，所以此选项错误，不符合题意；
D、可确定为直角三角形，所以此选项错误，不符合题意．
故选：B．
9．解：∵∠ABC+∠B+∠C＝180°，∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC＝90°．
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°﹣β，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣β﹣（90°）．
故选：A．
10．解：结论Ⅰ：∵AD平分∠BAM，∠BAD＝65°，
∴∠MAB＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
∴∠ABO＝∠MAB﹣∠O＝130°﹣90°＝40°，
∵BC 平分∠OBA，
∴，故结论Ⅰ错误，不符合题意；
结论Ⅱ：∠C的大小不会变，∠C＝45°，理由如下：
∵∠BAD＝∠C+∠ABC，
∴∠C＝∠BAD﹣∠ABC，
∵AD平分∠MAB，BC平分∠ABO，
∴，∠ABC∠ABO．
∴∠C∠MAB∠ABO，
又∵∠MAB＝∠O+∠ABO＝90°+∠ABO，
∴∠C∠MAB∠ABO
（∠MAB﹣∠ABO）
90°＝45°．
∴∠C的大小不会变，∠C＝45°，故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C，
∴∠C+∠C＝180°，
即∠C＝90°，
∵∠C＝2∠B，
∴，∠A＝90°﹣45°＝45°，
∴按角分，这是一个直角三角形；按边分，这是一个等腰三角形，
故答案为：直角，等腰．
12．解：如图，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠PCB∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠A＝2∠P，
∵∠P＝40°，
∴∠A＝80°，
故答案为：80°．
13．解：∵△EFG是等腰直角三角形，
∴∠G＝45°，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠G＝85°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝85°．
故答案为：85°．
14．解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠DAB＝30°，∠ABE＝45°，
∴∠DAB+∠ABE＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
15．解：过点A作AF⊥PB，交PB的延长线于点F，如图，
则∠APB+∠PAF＝90°，
∵∠APB+2∠PAB＝90°，
∴∠PAF＝2∠PAB，
∴∠EAB＝∠FAB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∵∠PBC＝∠BAC，∠PBC+∠CBF＝180°，
∴∠CBF＝2∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABF，
在△ABE和△ABF中，
，
∴△ABE≌△ABF（ASA），
∴AE＝AF，BE＝BF，∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵AB＝AC，BC＝8，
∴BEBC＝4＝BF，
在Rt△PBE中，
∵PB＝5
∴由勾股定理，得PE3，PF＝PB+BF＝5+4＝9，
设AF＝x，则AP＝x+3，
在Rt△PAF中，
由勾股定理，得PA2＝AF2+PF2，
即（x+3）2＝x2+92，
解得x＝12，
在Rt△ABF中，
由勾股定理，得AB，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解：∵MN∥EF，
∴∠BCD＝∠1＝50°．
在△BCD中，∠BCD＝50°，∠2＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD﹣∠2＝70°．
在Rt△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝20°．
17．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
18．解：∵∠B＝44°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣44°﹣80°＝56°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴，
∵CE为边AB上的高，即∠AEC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠BAC＝34°，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACF＝180°﹣28°﹣34°＝118°．
19．解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°．
∵BE和CD是△ABC的两条高线，
∴∠AEB＝∠BDO＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°．
20．解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC80°＝40°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°，
即∠DAE的度数为15°；
（2）∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴．
21．（1）解：∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝44°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180﹣44°﹣57°＝79°，
故答案为：44°，79°；
（2）证明：∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴三角形内角和为180°；
（3）证明：∵∠BAC＝70°，∠ACB＝∠B+30°，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠B+30°＝70°+2∠B+30°＝180°，
∴∠B＝40°，
∵∠DAB＝40°，
∴∠B＝∠DAB
∴BC∥ED．
22．解：（1）①∵BM∥DG，
∴∠ABM＝∠F＝30°，
∵BM为△ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABM＝60°，
故答案为：60；
②证明：由①得，∠CBM＝∠ABM＝30°，
∵BM∥DG，
∴∠DGC＝∠CBM＝30°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDG＝60°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠ADF＝60°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴AC⊥AB；
（2）45°α．
理由：在△BHG和△DEG中，
∠BHD＝180°﹣∠BMD﹣∠ADH
＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）∠ADE
＝180°（∠ABC+∠BAC）﹣（180°﹣∠CDE）
＝180°∠ABC﹣∠BAC﹣90°（90°﹣∠ACB）
＝180°∠ABC﹣∠BAC﹣90°+45°∠ACB
＝135°﹣α（180°﹣α）
＝45°α；
故答案为：45°α；
（3）①如图，当点D在线段AC的延长线上时，
在△ABM和△MND中，
∠BAM+∠ABN＝180°﹣∠AMB，∠N+∠MDN＝180°﹣∠NMD，
∵∠AMB＝∠NMD，
∴∠BAM+∠ABN＝∠N+∠MDN，
∴∠BND＝∠ABN+∠A﹣∠MDN
∠ABC+α（90°﹣∠ACB）
（∠ABC+∠ACB）+α﹣45°
＝45°α；
②如图，当点D在线段AC上时，
由四边形的内角和得，
∠BND＝360°﹣90°∠ABC∠ADE
＝270°（270°﹣α）
＝135°α；
③当α为钝角时，设∠ADG＝∠GDE＝γ，∠ABM＝∠MBC＝β，
∵∠DEG＝90°，
∴∠DGE＝90°﹣γ，
∴∠BNG＝90°﹣γ﹣β，
∴∠BND＝180°﹣（90°﹣γ﹣β）＝90°+γ+β，
在四边形ABND中，∠BND＝360°﹣α﹣（γ+β），
∴360°﹣α﹣（γ+β）＝360°﹣α﹣（∠BND﹣90°）＝∠BND，
∴∠BND＝225°α；
综上，∠BND＝45°或135°α或225°α．
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