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综合检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B等于(　 　)
A.{1,2} B.{1,4}
C.{2,3} D.{9,16}
2.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过70分的人数为8,其累计频率为0.4,则这个样本量是( 　)
A.20 B.40
C.70 D.80
3.要得到函数y=sin x的图象,只需将函数y=cos(2x-)的图象上所有的点( 　)
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
4.若a>0,b>0,则“a+b≤8”是“ab≤16”的( 　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知函数f(x)=·sin x,则函数y=f(x)的图象大致为( 　)
6.设f(x)是定义在R上的函数,满足条件f(x+1)=f(-x+1),且当x≤1时,f(x)=e-x-3,则a=f(log27),b=f(),c=f(3-1.5)的大小关系是( 　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
7.下表是某市近30年来月平均气温(单位:℃)的数据统计表:
月份 平均温度
1 -5.9
2 -3.3
3 2.2
4 9.3
5 15.1
6 20.3
7 22.8
8 22.2
9 18.2
10 11.9
11 4.3
12 -2.4
则适合这组数据的函数模型是( 　)
A.y=acos
B.y=acos +k(a>0,k>0)
C.y=-acos +k(a>0,k>0)
D.y=acos -3
8.已知函数f(x)=,g(x)=ax-2(a>0).若 x1∈[0,log23],
x2∈[1,2],f(x1)=g(x2),则a的取值范围是( 　)
A.[1,] B.(-,2]
C.[,2] D.[,+∞)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)
9.下列命题正确的是( 　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则( 　)
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
11.已知函数f(x)=(x∈R)时,则下列结论正确的是( 　)
A.f(-x)+f(x)=0对任意x∈R成立
B.函数f(x)的值域是(-2,2)
C.若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)
D.方程f(x)-2x=0有三个实数解
12.已知函数f(x)是偶函数,且f(5-x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sin πx,h(x)=f(x)cos πx,则( 　)
A.函数y=g(x)是偶函数
B.10是函数f(x)的一个周期
C.对任意的x∈R,都有g(x+5)=g(x-5)
D.函数y=h(x)的图象关于直线x=5对称
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3 000人,根据统计图计算该校共捐款　　　　元.
14.已知函数y=2x,当x>0时,函数值的取值范围构成集合A,函数y=xk,在x∈A时,函数值的取值范围构成集合B,则A∩B=的充要条件是
　　　　.
15.已知函数f(x)=loga(3-ax),若函数f(x)在区间[1,2]上递减,则实数a的取值范围是　　　　　.
16.已知f(x)=2sin(2x+),若 x1,x2,x3∈[0,],且x1四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知集合A={x|a-1(1)若a=1,求集合A∩( RB);
(2)若A∩B=,求实数a的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数;
(2)求这次测试数学成绩的中位数.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=log3(3x+1)-x.
若不等式f(x)-x-a≥0对x∈(-∞,0]恒成立,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)
定义在[-4,4]上的奇函数f(x),已知当x∈[-4,0]时,f(x)=+
(a∈R).
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式;
(2)若x∈[-2,-1]时,不等式f(x)≤-恒成立,求实数m的取值
范围.
21.(本小题满分12分)
已知0(1)求ab和a+b的最大值;
(2)求+的最小值.
22.(本小题满分12分)
在①f(x)的图象关于直线x=对称,②f(x)的图象关于点(,0)对称,③f(x)在[-,]上单调递增,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,说明
理由.
已知函数f(x)=4sin(ωx+)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于,且
　　　　,是否存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3
21世纪教育网(www.21cnjy.com)综合检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=,n∈A},则A∩B等于(　A　)
A.{1,2} B.{1,4}
C.{2,3} D.{9,16}
解析:由题意可得B={1,,,2},A∩B={1,2}.故选A.
2.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过70分的人数为8,其累计频率为0.4,则这个样本量是(　A　)
A.20 B.40
C.70 D.80
解析:由已知不超过70分的人数为8,累计频率为0.4,则这个样本量n==20.故选A.
3.要得到函数y=sin x的图象,只需将函数y=cos(2x-)的图象上所有的点(　B　)
A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
解析:y=cos(2x-)=sin(2x+-),
即y=sin(2x+),
所以要得到函数y=sin x的图象,
先将y=sin(2x+)的图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x+)的图象,
再向右平移个单位长度即可得到y=sin x的图象.故选B.
4.若a>0,b>0,则“a+b≤8”是“ab≤16”的(　B　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:依题意,对于正数a,b,
当a+b≤8时,ab≤()2≤16,
故充分性成立,
若ab≤16无法推出a+b≤8,
如当a=1,b=16时,ab=16而a+b=17>8,
故必要性不成立.
所以“a+b≤8”是“ab≤16”的充分不必要条件.
故选B.
5.已知函数f(x)=·sin x,则函数y=f(x)的图象大致为(　C　)
解析:因为f(x)定义域为R,
且f(-x)=·sin(-x)=f(x),
所以f(x)为偶函数,故排除选项A,D;
当x∈(0,π)时,f(x)>0,故排除B.故选C.
6.设f(x)是定义在R上的函数,满足条件f(x+1)=f(-x+1),且当x≤1时,f(x)=e-x-3,则a=f(log27),b=f(),c=f(3-1.5)的大小关系是(　B　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
解析:依题意f(x+1)=f(-x+1),
所以a=f(log27)=f(log2+1)
=f(-log2+1)
=f(log2).
因为log2<0<3-1.5<<1,
且当x∈(-∞,1]时,f(x)=e-x-3单调递减,
所以a>c>b.故选B.
7.下表是某市近30年来月平均气温(单位:℃)的数据统计表:
月份 平均温度
1 -5.9
2 -3.3
3 2.2
4 9.3
5 15.1
6 20.3
7 22.8
8 22.2
9 18.2
10 11.9
11 4.3
12 -2.4
则适合这组数据的函数模型是(　C　)
A.y=acos
B.y=acos +k(a>0,k>0)
C.y=-acos +k(a>0,k>0)
D.y=acos -3
解析:当x=1时,图象处于最低点,且易知a=>0.故选C.
8.已知函数f(x)=,g(x)=ax-2(a>0).若 x1∈[0,log23],
x2∈[1,2],f(x1)=g(x2),则a的取值范围是(　C　)
A.[1,] B.(-,2]
C.[,2] D.[,+∞)
解析:f(x)=,0≤2x-1≤2,
所以f(x)的值域为[0,].
因为a>0,
所以g(x)在[1,2]上的值域为[a-2,2a-2]
依题意得[0,] [a-2,2a-2],
则解得≤a≤2.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)
9.下列命题正确的是(　ABD　)
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
解析:选项A,由a>1,能推出<1,但是由<1,不能推出a>1,例如当a<0时,符合<1,但是不符合a>1,所以A正确;
选项B,根据命题的否定的定义可知,命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”,所以B正确;
选项C,根据不等式的性质可知,由x≥2且y≥2能推出x2+y2≥4,C不正确;
选项D,因为b可以等于零,所以由a≠0不能推出ab≠0,再判断由
ab≠0能推出a≠0,D正确.
故选ABD.
10.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示,则(　ABC　)
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
解析:甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷
2=1.5(元),故B正确;易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=
x+,故C正确;当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+=,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.故选ABC.
11.已知函数f(x)=(x∈R)时,则下列结论正确的是(　ABC　)
A.f(-x)+f(x)=0对任意x∈R成立
B.函数f(x)的值域是(-2,2)
C.若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)
D.方程f(x)-2x=0有三个实数解
解析:由题意,函数f(x)=(x∈R),
对于任意x∈R,f(-x)+f(x)=+=0成立,所以A正确;
当x=0时,f(0)=0,
当x>0时,
f(x)===2-<2,
又由A可知,函数f(x)为奇函数,所以函数的值域为(-2,2),所以B
正确;
当x>0时,
f(x)===2-,
所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,
结合函数f(x)在R上为奇函数,
所以函数f(x)在R上为增函数,
所以当x1≠x2,一定有f(x1)≠f(x2)是成立的,所以C正确;
当x=0时,方程f(x)-2x=0显然成立,
所以x=0是方程的解,
当x>0时,
方程f(x)-2x=-2x==0,
即-2x2=0,方程无解;
当x<0时,
方程f(x)-2x=-2x==0,
即2x2=0,方程无解.
综上可得,方程f(x)-2x=0只有一个解,所以D不正确.
故选ABC.
12.已知函数f(x)是偶函数,且f(5-x)=f(5+x),若g(x)=f(x)sin πx,h(x)=f(x)cos πx,则(　BCD　)
A.函数y=g(x)是偶函数
B.10是函数f(x)的一个周期
C.对任意的x∈R,都有g(x+5)=g(x-5)
D.函数y=h(x)的图象关于直线x=5对称
解析:因为函数f(x)是偶函数,
且f(5-x)=f(5+x),
所以f(5-x)=f(x-5)=f(5+x),
所以f[(x+5)-5]=f[(x+5)+5],
即f(x)=f(x+10),
所以10是函数f(x)的一个周期,B正确;
又因为f(x)是偶函数,
且g(x)=f(x)sin πx,
所以g(-x)=f(-x)sin(-πx)
=f(x)(-sin πx)
=-f(x)sin πx=-g(x),
所以函数y=g(x)是奇函数,故A错误;
因为g(x+5)=f(x+5)sin[π(x+5)]
=f(x+5)sin(5π+πx)
=-f(x+5)sin πx,
g(x-5)=f(x-5)sin[π(x-5)]
=f(x-5)sin(-5π+πx)
=-f(x-5)sin πx,
又f(x-5)=f(x+5),
所以g(x+5)=g(x-5),故C正确;
因为f(x)是偶函数,
且h(x)=f(x)cos πx,
所以h(5+x)=f(5+x)cos[π(5+x)]
=f(5+x)cos(5π+πx)
=-f(5+x)cos πx,
h(5-x)=f(5-x)cos[π(5-x)]
=f(5-x)cos(5π-πx)
=-f(5-x)cos πx,
又f(5-x)=f(5+x),
所以h(5+x)=h(5-x),
所以函数y=h(x)的图象关于直线x=5对称,D正确.
故选BCD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3 000人,根据统计图计算该校共捐款　　　　元.
解析:根据统计图,
得高一人数为3 000×32%=960(人),
捐款960×15=14 400(元);
高二人数为3 000×33%=990(人),
捐款990×13=12 870(元);
高三人数为3 000×35%=1 050(人),
捐款1 050×10=10 500(元).
所以该校学生共捐款14 400+12 870+10 500=37 770(元).
答案:37 770
14.已知函数y=2x,当x>0时,函数值的取值范围构成集合A,函数y=xk,在x∈A时,函数值的取值范围构成集合B,则A∩B=的充要条件是
　　　　.
解析:已知函数y=2x,当x>0时,函数值的取值范围构成集合A=
(1,+∞),
当x∈(1,+∞)时,函数y=xk∈(0,+∞),由于A∩B=,
故xk≤1=x0,故k≤0.
故A∩B=的充要条件是k≤0.
答案:k≤0
15.已知函数f(x)=loga(3-ax),若函数f(x)在区间[1,2]上递减,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析:设t(x)=3-ax,
因为a>0且a≠1,所以函数t(x)为减函数.
因为f(x)在区间[1,2]上递减,
所以函数y=logat(x)为增函数,
所以a>1,
此时只要再满足t(2)>0,即3-2a>0,
解得a<,
所以1即实数a的取值范围是(1,).
答案:(1,)
16.已知f(x)=2sin(2x+),若 x1,x2,x3∈[0,],且x1解析:作出f(x)图象如图所示,
当f(x)图象与y=图象相交时,前三个交点横坐标依次为x1,x2,x3,此时x1+x2+x3最小;x1+x2=×2=,f(π)=2sin(2π+)=,x3=π,所以最小值为+π=;当f(x)图象与y=-图象相交时,交点横坐标依次为x1,x2,x3,此时x1+x2+x3最大,x1+x2=×2=,f()=2sin(3π+
)=-,x3=,最大值为+=.
答案:　
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知集合A={x|a-1(1)若a=1,求集合A∩( RB);
(2)若A∩B=,求实数a的取值范围.
解:(1)因为B={x|0所以 RB={x|x≤0或x≥1},
又A={x|0所以A∩( RB)={x|1≤x<3}.
(2)若A=,则a-1≥2a+1,
解得a≤-2,满足A∩B=.
若A≠,则由A∩B=,
可知或
解得-2综上可知,a的取值范围是(-∞,-]∪[2,+∞).
18.(本小题满分12分)
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数;
(2)求这次测试数学成绩的中位数.
解:(1)由题图可知众数为=75,则这80名学生的数学成绩的众数为75分.
(2)由题图可知,前三个小矩形面积之和为0.4,第四个小矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第四个小矩形内,设为x,得0.1=
0.03×(x-70),所以x≈73.3,即这80名学生的数学成绩的中位数约为73.3分.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=log3(3x+1)-x.
若不等式f(x)-x-a≥0对x∈(-∞,0]恒成立,求实数a的取值范围.
解:因为不等式f(x)-x-a≥0在区间(-∞,0]上恒成立,
即a≤log3(3x+1)-x在区间(-∞,0]上恒成立,
令g(x)=log3(3x+1)-x=log3(1+),
因为x∈(-∞,0],所以1+≥2,
所以g(x)=log3(1+)≥log32,
所以a≤log32,
所以a的取值范围是(-∞,log32].
20.(本小题满分12分)
定义在[-4,4]上的奇函数f(x),已知当x∈[-4,0]时,f(x)=+
(a∈R).
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式;
(2)若x∈[-2,-1]时,不等式f(x)≤-恒成立,求实数m的取值
范围.
解:(1)因为f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,
x∈[-4,0]时,f(x)=+,
所以f(0)=+=0,解得a=-1,
所以x∈[-4,0]时,f(x)=-.
当x∈[0,4]时,-x∈[-4,0],
所以f(-x)=-=4x-3x,
又f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=4x-3x,f(x)=3x-4x,
即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)=3x-4x.
(2)由(1)知,x∈[-2,-1]时,f(x)=-,
所以f(x)≤-可化为-≤-,
整理得m≥+=()x+2·()x,
令g(x)=()x+2·()x,
根据指数函数单调性可得,
y=()x与y=()x都是减函数,
所以g(x)也是减函数,
因为x∈[-2,-1]时,不等式f(x)≤-恒成立,等价于m≥g(x)在
x∈[-2,-1]上恒成立,所以只需m≥g(x)max=g(-2)=4+2×=,所以实数m的取值范围是[,+∞).
21.(本小题满分12分)
已知0(1)求ab和a+b的最大值;
(2)求+的最小值.
解:(1)由a+b≥2及4ab+3=4(a+b),
得4ab+3≥8,
令=t(0得4t2-8t+3≥0.
即(2t-1)(2t-3)≥0,
因为0所以2t-3<0,
所以2t-1≤0,
所以0得0当且仅当a=b=时等号成立,
所以ab的最大值为.
同理,由ab≤()2及4ab+3=4(a+b),
得4(a+b)≤4()2+3,
令m=a+b(0得m2-4m+3≥0,
即(m-1)(m-3)≥0,
因为0所以m-1≤0,
所以0当且仅当a=b=时等号成立.
所以a+b的最大值为1.
(2)由4ab+3=4(a+b),得a=,
因为a>0,4b-4<0,
所以4b-3<0,
所以0+=+
=1-+
=1++
=1+(3-4b+4b)(+)
=1+[9++]
≥1+[9+2]
=4+,
当且仅当=,
即b=时等号成立,
所以+的最小值为4+.
22.(本小题满分12分)
在①f(x)的图象关于直线x=对称,②f(x)的图象关于点(,0)对称,③f(x)在[-,]上单调递增,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,说明
理由.
已知函数f(x)=4sin(ωx+)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于,且
　　　　,是否存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3
解:由于函数f(x)的最小正周期不小于,
所以≥,
所以1≤ω≤6,ω∈N*,
若选择①,即f(x)的图象关于直线x=对称,
有ω+=kπ+(k∈Z),
解得ω=k+(k∈Z),
由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,
所以k=3,ω=4,
此时,f(x)=4sin(4x+)+a,
由x∈[0,],得4x+∈[,],
因此当4x+=,即x=时,f(x)取得最大值4+a,
令4+a=3,解得a=-1<0,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3.
若选择②,即f(x)的图象关于点(,0)对称,
则有ω+=kπ(k∈Z),
解得ω=k-(k∈Z),
由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,
所以k=1,ω=3.
此时,f(x)=4sin(3x+)+a.
由x∈[0,],得3x+∈[,],
因此当3x+=,即x=时,
f(x)取得最大值4sin+a=++a,
令++a=3,
解得a=3--<0,不符合题意.
故不存在正实数a,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3.
若选择③,即f(x)在[-,]上单调递增,
则有(k∈Z),
解得(k∈Z),
由于1≤ω≤6,ω∈N*,k∈Z,
所以k=0,ω=1.
此时,f(x)=4sin(x+)+a.
由x∈[0,],得x+∈[,],
因此,当x+=,即x=时,f(x)取得最大值2+a,
令2+a=3,解得a=3-2,符合题意.
故存在正实数a=3-2,使得函数f(x)在[0,]上有最大值3.
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