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一元二次方程卷
一．选择题（共10小题）
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+6x+9＝0
C．4x2﹣3x﹣2＝0 D．3x2﹣x+2＝0
2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2
3．若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
4．某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．500x2＝1200
B．500（1+x2）＝1200
C．500（1+x）2＝1200
D．500（1+x）+500（1+x）2＝1200
5．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可能取的值是（　　）
A．2026 B．4 C．3 D．
6．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（　　）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
7．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0
C．x2+x+1＝0 D．（x﹣1）（x﹣3）＝0
8．若关于x的一元二次方程3kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且k≠0 B． C． D．且k≠0
9．如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度x m，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（　　）
A．4.5 B．2 C．1.5 D．1
10．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
二．填空题（共5小题）
11．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ．
12．若m，n为一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为　 　 ．
13．据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 　 　 ．
14．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ．
15．写出一个以为根的一元二次方程：　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）x（x﹣5）＝2x﹣10．
17．一个长方形的长为a cm，宽为b cm，它的周长为36cm，面积为48cm2，求a和b的值．
18．已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根．
（1）若AB的长为5，求m的值；
（2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出此时菱形的边长．
19．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；当x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价为多少元时，每日获得的利润为750元？
20．网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价．
（1）设降价x元，则每天可以售出　 　 箱？（用含x的代数式表示）
（2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？
21．“道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔200个，10月份销售288个．
（1）求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
（2）若该安全头盔的进价为30元/个，销售过程中发现，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元？
22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的条件下，若∠BAC和∠ABC的角平分线交于点I，根据以上信息，求△BIC的面积．
一元二次方程卷答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D D A C A D C
1．解：分别求出每个方程根的判别式的值再逐项分析判断如下：
A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
B、∵Δ＝62﹣4×1×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×（﹣2）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×3×2＝﹣23＜0，
∴方程没有实数根，不符合题意；
故选：C．
2．解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得：m＝﹣2．
故选：C．
3．解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，
∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2，
故选：D．
4．解：∵该企业今年1月份的利润为500万元，且2月份和3月份利润的平均增长率为x，
∴该企业今年2月份的利润为500（1+x）万元，3月份的利润为500（1+x）2万元．
根据题意得：500（1+x）+500（1+x）2＝1200．
故选：D．
5．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4（m﹣3）＞0，且m﹣3≠0，
解得且m≠3，
∴四个选项中只有D选项符合题意．
故选：D．
6．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2．
故选：A．
7．解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、解（x﹣1）（x﹣3）＝0得x1＝1，x2＝3，所以该选项不符合题意．
故选：C．
8．解：由题意可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣2）2﹣4×3k×1≥0，
解得：，
∵关于x的一元二次方程3kx2﹣2x+1＝0中k≠0，
∴k的取值范围是且k≠0，
故选：A．
9．解：依题意得：（4+2x）（3+2x）＝30，
整理得：2x2+7x﹣9＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4.5（不合题意，舍去）．
故选：D．
10．解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：由条件可知Δ＝（﹣4）2+4（m﹣5）＞0，
解得：m＞1，
由一元二次方程定义得m﹣5≠0，
解得：m≠5，
综上可知：m＞1且m≠5，
故答案为：m＞1且m≠5．
12．解：由条件可知m+n＝3，mn＝﹣1，
∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣1﹣2×3+4＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．解：根据题意得：14.4（1+x）2＝16.9．
故答案为：14.4（1+x）2＝16.9．
14．解：由根与系数的关系得，
m+n＝5，mn＝2，
则．
故答案为：．
15．解：形如（x）（ax+b）＝0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是2，
∴当a＝1，b＝0时，可以写出一个一元二次方程：x（x）＝0，即x2x＝0，
故答案为：x2x＝0（答案不唯一）．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）原方程移项得：
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
，
解得：，；
（2）原方程移项得x（x﹣5）﹣（2x﹣10）＝0，
因式分解得（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得x1＝2，x2＝5．
17．解：由题意可得：
∴2（a+b）＝36，
则a＝18﹣b，
∴（18﹣b）b＝48，
b2﹣18b+48＝0，
或，
当 时，，
当时，．
故a和b的值分别为和．
18．解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根，AB的长为5，
∴把x＝5代入x2﹣8x+m＝0，得：
52﹣8×5+m＝0，
解得：m＝15；
（2）∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4m＝0，
∴m＝16，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，
∴x1＝x2＝4，
∴AB＝AD＝4，即菱形的边长为4；
答：m＝16，平行四边形ABCD是菱形，菱形的边长是4．
19．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．
∴
∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝750．
解得x＝40或x＝90（舍去）．
答：当销售单价为40元时，每日获得的利润为750元．
20．解：（1）由题意，可知：降价x元，则每天可以售出（100+10x）箱；
故答案为：（100+10x）；
（2）设降价x元，
由题意列一元二次方程得：（26﹣2﹣x）（100+10x）﹣300＝2550，
解得：x1＝5，x2＝9，
∴70﹣5＝65（元）或70﹣9＝61（元），
答：售价应该定为65元或61元．
21．解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
200（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：月平均增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，
∴[200﹣5（y﹣40）]（y﹣30）＝2625，
∴y2﹣550y+14625＝0，
∴y1＝65，y2＝45，
∵让顾客得到实惠，
∴y＝45，
答：该品牌头盔的实际售价为45元/个．
22．解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长，
∴x1＝x2，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为3，3，4，
∴p5，
∴S△ABC，
过I分别作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分别为F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴S△ABC，
解得ID，
∴S△BIC．
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