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二次函数单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．s＝2t2﹣2t+1 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x﹣1 D．y
2．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
3．已知一次函数y＝（m﹣n）x+n的图象如图所示，则二次函数y＝mx2+nx的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．把抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x﹣2）2+1
C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝3（x+1）2﹣2
5．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5
6．抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 4 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 0 …
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．对称轴是直线
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，其中对称轴为x＝1，且交x轴于点（﹣2，0），则以下结论中错误的是（　　）
A．abc＞0 B．2a+b＝0
C．16a+4b+c＝0 D．a﹣b+c＞0
8．已知P（﹣2，y1），Q（1，y2）两点都在抛物线y＝mx2+2mx﹣4（m＞0）上，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2
9．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+c过点（﹣2，y1）（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y2＞y3
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．已知抛物线y＝x2+2x﹣3，经过（﹣2，y1）和（2，y2）两点，则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．已知二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 　 　 ．
13．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y（x﹣5）2+6，则CD的长为 　 　 m．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，其部分图象如图所示，则3a+c＝　 　 ．
15．已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 n 3 …
y … m 3 4 3 0 …
根据以上信息回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是　 　 ，m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）求二次函数的表达式；
17．阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以16元/千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于28元/千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/千克） 22 24 26
销售量y（千克） 200 180 160
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元？
（3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
18．如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米．
（1）求水流运行轨迹的函数解析式；
（2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明．
19．二次函数y＝x2﹣4x+c经过点（0，1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）若m是该二次函数与x轴交点的横坐标，记，求M的值．
20．11月19日，2026年美加墨世界杯预选赛第三阶段第6轮，中国队迎战日本队，中国队虽最终不敌但也有不俗的表现，激发了广大球迷的观球热情．某体育用品店趁热经销一种学生足球，已知这种足球的成本价为50元/个．经调查发现，这种足球每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）有如下关系：y＝﹣2x+200（50≤x≤80，x为整数），设这种足球的销售利润为w（元）．
（1）若某天这种足球的销售利润为800元，求这天这种足球的销售单价；
（2）这种足球的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO、BC是两根水泥柱，AO、BC垂直于地面上的水平线OC，且AO＝BC＝2米，OC＝8米，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2+x+c（a、c为常数，且a≠0）．
（1）求顶棚抛物线的函数关系式；
（2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE、FG，DE、FG两根钢条之间用钢条MN连接，MN＝2米，DE⊥OC，FG⊥OC，MN∥OC（D、F在抛物线上，E、G在OC上，M、N分别在DE、FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx﹣k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，求h的取值范围；
（3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数单元测试卷答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B A C D A B D
1．解：A、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故A正确；
B、y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，故B错误；
C、y＝3x﹣1是一次函数，故C错误；
D、y＝x2不是二次函数，故D错误；
故选：A．
2．解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）．
故选：B．
3．解：由一次函数的图象可知m﹣n＜0，n＜0，
∴m＜0，n＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，且经过原点，
当x＝﹣1时，y＝m﹣n＜0，
∴满足条件的函数图象只有C，
故选：C．
4．解：根据平移规律“左加右减，上加下减”可得：
把抛物线y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为y＝3（x﹣2）2+1．
故选：B．
5．解：∵y＝x2+2x+m+5＝（x+1）2+m+4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，m+4），
∵抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，
∴m+4≥0，
∴m≥﹣4，
故选：A．
6．解：当x＝﹣2时，y＝0，当x＝4时，y＝0，
∴对称轴直线为，故B选项错误，不符合题意；
∴顶点坐标为（1，﹣9），
∵x从﹣3到1，逐渐增大，y得知逐渐减小，x从1到4，逐渐增大，y得知逐渐增大，
∴抛物线图象开口向上，故A选项错误，不符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而增大，故C选项正确，符合题意；
图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0），故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．解：选项A：因为开口向上，所以a＞0，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”，所以b＜0，与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以abc＞0，正确；
选项B：根据对称轴得2a+b＝0，正确；
选项C：二次函数过点（﹣2，0），根据对称性可得与x轴的另一交点为（4，0），所以16a+4b+c＝0正确；
选项D：令x＝﹣1，所以y＝a﹣b+c，由图象可得，当x＝﹣1时函数图象在x轴的下方，所以a﹣b+c应该小于0，故选项D错误．
故选：D．
8．解：因为y＝mx2+2mx﹣4＝m（x+1）2﹣m﹣4，
所以抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
点P（﹣2，y1）到对称轴直线x＝﹣1的距离为|﹣2﹣（﹣1）|＝|﹣2+1|＝1；
点Q（1，y2）到对称轴直线x＝﹣1的距离为|1﹣（﹣1）|＝|1+1|＝2，
因为m＞0，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
因为1＜2，
所以y1＜y2，
故选：A．
9．解：由抛物线解析式可知：开口向上，对称轴为直线x＝1，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵（﹣2，y1）距离对称轴有3个单位长度，
（0，y2）距离对称轴有1个单位长度，
（3，y3）距离对称轴有2个单位长度，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x1，
∴1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c．
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③正确，符合题意；
④∵C（0，c），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
∴，
解得，
∴yx+c，
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，
∴c＝﹣8a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a．
过点Q作QN∥y轴交BC于点P，
∵Q（m，n），
∴P（m，2am﹣8a），
∴PQ＝n﹣2am+8a．
∴S△QBC4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），
∵n＝am2﹣2am﹣8a，
∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a．
∴当m＝2时，△QBC的面积最大，
故④正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：由条件可知抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵2﹣（﹣1）＝3＞﹣1﹣（﹣2）＝1，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
12．解：∵二次函数y＝（a﹣3）x2﹣4x+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴b2﹣4ac＝16﹣8（a﹣3）＝0，
∴a＝5，
故答案为：5．
13．解：当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
14．解：由函数图象可知，抛物线与坐标轴的交点为（0，﹣2），（3，0），
∴c＝﹣2①，9a+3b+c＝0③，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于x＝1对称，
∴1③，
①②③联立得，
解得a，
∴3a+c＝32＝0．
故答案为：0．
15．解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，
∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+4的对称轴对称，
∴，
∴x1+x2＝﹣b，
∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上，
∴m＝b2+b （﹣b）+4＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）由表格数据知，顶点坐标为：（1，4），即对称轴为直线x＝1，
∵（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0，
∴和关于抛物线的对称轴对称，
则，
∴
故答案为：（1，4），0；；
（2）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将（0，3）代入上式得：3＝a（0﹣1）2+4，
则a＝﹣1．
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．
17．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将x＝22，y＝200和x＝24，y＝180分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+420（16≤x≤28）；
（2）根据题意得（x﹣16）（﹣10x+420）＝1600，
解得x1＝26，x2＝32（舍），
答：当销售单价定为26元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利1600元；
（3）由题意得w＝（x﹣16）（﹣10x+420）＝﹣10x2+580x﹣6720，
∴w＝﹣10（x﹣29）2+1690，
∵﹣10＜0，
∴当x≤29时，w随x的增大而增大，
∵16≤x≤28，
∴当x＝28时，w最大为1680，
答：当销售单价定为28元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是1680元．
18．解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5，
将点（0，1）代入可得a，
∴抛物线为：y（x﹣8）2+5．
（2）不能，理由如下：
当x＝12时，y（12﹣8）2+5＝4＞3.5，
∴水流不能碰到这棵果树．
19．解：（1）把（0，1）代入y＝x2﹣4x+c，
解得：c＝1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+1；
（2）根据题意，得：m2﹣4m+1＝0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．解：（1）由题意得（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得x1＝60，x2＝90（不合题意舍去），
答：这天的销售单价为60元/个；
（2）由题意得w＝（x﹣50）（﹣2x+200），
∴w＝﹣2（x﹣75）2+1250，
∵﹣2＜0，50≤x≤80，
∴当x＝75时，每天的销售利润w最大，最大利润是1250元．
答：这种足球的销售单价定为75元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元．
21．解：（1）由题意可得，抛物线经过点A（0，2），B（8，2），
将A（0，2），B（8，2）代入y＝ax2+x+c，
，
解得：，
∴顶棚抛物线的函数关系式为；
（2）由题意可得，DE与FG之间的距离为2米．设点E的坐标为（t，0），则，
∴．
当t＝3时，DE+FG的最大值为米，
∴钢条DE与FG的长度之和存在最大值，最大值为米．
22．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1，
∴，
解得，
则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x；
（2）当k＝1时，则y＝x﹣1，
∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1，
∴D（0，﹣1），E（2，1），
∵y＝（x﹣h）2﹣1，
∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动，
∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点，
∴联立，
整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0，
∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0，
即时，满足题意，
将开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点，
∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1，
解得：，
∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点；
（3）存在，
∵y＝kx﹣k，
∴当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∵PQ过点C，且与直线AB垂直，
∴直线PQ的解析式为：，即：，
联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0，
∴xA+xB＝k+2，，
∵M为AB的中点，
∴M，
联立，
同理可得：N，
作MH⊥CT，NF⊥CT，
∵TC 平分∠MTN，
∴∠NTF＝∠MTH，
∴tan∠NTF＝tan∠MTH，
∴，
设T（1，t），则，
解得：，
∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN．
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