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(共34张PPT)
1.1.2　子集和补集
核心知识目标 核心素养目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集.
2.会判断集合间的基本关系.
3.能使用Venn图表达集合间的基本关系.
4.在具体情境中,了解全集的含义.
5.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 1.通过对集合间基本关系的学习,形成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.通过Venn图的应用,发展直观想象的核心素养.
3.通过Venn图和数轴的使用,体会图形对理解抽象概念的作用,增强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.子集
(1)定义:如果集合A的 元素都是集合B的元素,就说A包含于B,或者说B包含A,记作A B(或B A),读作“A B”(或“B A”).
(2)规定空集包含于任一集合,是任一集合的子集.
(3)Venn图表示:
(4)性质
①任何一个集合都是它本身的子集,即 .
②对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
知识探究
每个
包含于
包含
A A

2.集合相等
(1)定义:如果A B并且B A,就说两个集合相等,记作 .
(2)Venn图表示:
(3)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A C.
3.真子集
(1)定义:如果A B但A≠B,就说A是B的真子集.
(2)符号表示:A B,读作“A真包含于B”.
(3)Venn图表示:
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
A=B
=

4.补集
(1)全集:如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的元素和子集,就可以约定把集合U叫作全集(或基本集).
(3) U( UA)=A.
小试身手
D
2.集合{x|x=1}的子集有　　　　个.
2
3.用“∈”“ ”“ ”“ ”或“=”填空:
(1)5　　　　{5};
(2){a,b,c}　　　　{a,c};
(3){1,2,3}　　　　{3,2,1};
∈

=

解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,2},
所以 UA={3,4,5}.
答案:{3,4,5}
4.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则 UA=　　　　.
课堂探究·素养培育
探究角度1　子集的列举、子集个数
[例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2(1)写出集合M的子集、真子集;
探究点一
子集与真子集的概念　
[例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
[即时训练1-1] 已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.
解:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一
个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有5个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},
{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
方法总结
(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.
②{a}的子集有2个.
③{a,b}的子集有4个.
④{a,b,c}的子集有8个.
……
含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
易错警示
探究角度2　集合间关系的判断
[例2] 写出下列各对集合之间的关系:
(1)A={x|-1解:(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
[例2] 写出下列各对集合之间的关系:
(2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z};
解:(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,
-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A B.
[例2] 写出下列各对集合之间的关系:
[即时训练2-1] 写出下列每对集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};
解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4 B,所以B A.
(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};
解:(2)因为C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.
[即时训练2-1] 写出下列每对集合之间的关系:
(3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
解:(3)集合E的代表元素是数,集合F的代表元素是实数对,因此两集合之间无包含关系.
(4)G={等腰三角形},H={等边三角形}.
解:(4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故G H.
方法总结
判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:
(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若
是,则A B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.
(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.
(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(4)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
[例3] 已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A B,且A B,求实数x和y的值.
探究点二
集合相等
[即时训练3-1] 已知集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},若A B,且B A,求实数x,y的值.
方法总结
根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.
[例4] 集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B A,则实数k=
　　　　.
探究点三
根据集合间的关系求参数
答案:0,2,-2
[即时训练4-1] 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
方法总结
(1)对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况.
(2)由含参数的连续数集之间的子集、真子集关系求参数取值范围时常利用数轴法求解,若含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,并且要注意验证参数的端点值是否满足题意.
解析:(1)法一(定义法)
因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二(Venn图法)
满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
探究点四
补集运算
[例5] (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B=　 ;
答案:(1){2,3,5,7}
解析:(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知 UA={x|x<-3或x=5}.
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则 UA=　　　　.
答案:(2){x|x<-3或x=5}
[即时训练5-1] 设集合U={x|x<5,x∈N+},M={x|x2-5x+6=0},则 UM等于
(　　)
A.{1,4} B.{1,5}
C.{2,3} D.{3,4}
解析:由集合U={x|x<5,x∈N+}={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},
则 UM={1,4}.故选A.
[即时训练5-2] 已知集合 UA={x|5x-1≥3x-5},U={x|x>-5},则A=　　　.
解析:因为5x-1≥3x-5,
所以x≥-2,
所以 UA={x|x≥-2},
如图可知A={x|-5答案:{x|-5方法总结
求集合的补集的方法
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.
易错警示
对于涉及连续数集的补集运算,可借助数轴的直观性求解,但要注意端点值的特殊情况.
课堂达标
1.已知全集U=R,则能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0} 的关系的韦恩图是(　 　)
解析:x2+x=0的解为-1和0,因此集合N是集合M的真子集,故选B.
B
BD
解析:空集的子集是本身且空集只有一个子集,因此A错误;B正确;由于空集是任何非空集合的真子集,因此C错误;D正确.故选BD.
3.若{x|x≥a} {x|x≥-1},则实数a的取值范围是　　 　　.
{a|a≥-1}
解析:因为U=A∪ UA={1,4,a+3}={2,4,a2},
所以由集合元素的无序性与互异性可知a2=1
且a+3=2.
故a=-1.
4.设全集为U={2,4,a2},集合A={4,a+3},若 UA={1},则实数a的值为　 .
答案:-11.1.2　子集和补集
选题明细表
知识点、方法 题号
子集、真子集 1,3,9,10,11,12
空集及集合相等 4,5
集合间关系综合应用 2,3,6,7,8,13,14
基础巩固
1.已知集合A={x|x2-1=0},则有(　C　)
A.1 A B.0 A
C. A D.{0} A
解析:由已知得A={1,-1},所以选项A,B,D都错误,因为是任何非空集合的真子集,所以C正确.故选C.
2.已知集合A={x||x|≥2},则 RA等于(　D　)
A.{x|x<2} B.{x|x≤-2或x≥2}
C.{x|0解析:由题意可得A={x|x≤-2或x≥2},
则 RA={x|-23.设集合A={x|1A.{a|a≤2} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
解析:由A={x|14.已知全集U={2,3,5},集合A={x|x2+bx+c=0},若 UA={2},则b=　　,
c=　　　　.
解析:因为全集U={2,3,5},A={x|x2+bx+c=0}, UA={2},所以A={3,5}.
所以方程x2+bx+c=0的两个实数根为3和5,
所以b=-(3+5)=-8,c=3×5=15.
答案:-8　15
5.已知集合A={a,0,-1},B={c+b,,1},且A=B,则a=　　　　,
bc=　　　　.
解析:因为A={a,0,-1},B={c+b,,1},A=B,
又因为≠0,所以a=1,c+b=0,=-1,
所以b=-2,c=2,bc=-4.
答案:1　-4
6.已知A={x|x<-1},B={x|x解析:因为A={x|x<-1},B={x|x答案:m≤-1
能力提升
7.已知 {x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是(　B　)
A.a< B.a≤
C.a≥ D.a>
解析:因为 {x|x2-x+a=0},
所以方程x2-x+a=0有实根,
所以Δ=1-4a≥0,
所以a≤.故选B.
8.设集合A={x|x=+,k∈Z},B={x|x=k-,k∈Z},则集合A和集合B的关系为(　B　)
A.A=B B.B A
C.A B D.A B
解析:因为x=+=,
所以A={x|x=,k∈Z},
因为x=k-==,
所以B={x|x=,k∈Z},B A,故选B.
9.(多选题)若集合A={x|x≥1},则满足B A的集合可以是(　AB　)
A.{2,3} B.{x|x≥2}
C.{0,1,2} D.{x|x≥0}
解析:因为集合A={x|x≥1},且B A,
所以集合B可以是集合{2,3},也可以是集合{x|x≥2},故选AB.
10.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0A.3 B.4 C.6 D.7
解析:因为A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|0{1,2,4,5},{1,2,3,5},共6个.故选C.
11.已知A {1,2,3,4},且A中至少有一个偶数,则这样的A有
　　　　个.
解析:由A {1,2,3,4},由于集合{1,2,3,4}有24=16个子集,而其中不含偶数的子集有,{1},{3},{1,3}共4个,所以至少有一个偶数的子集有16-4=12(个).
答案:12
12.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
解:因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}.所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},
{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
13.已知集合A={x|-2≤x≤5}.
(1)若B A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m取值的集合;
(2)若A B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m取值的集合;
(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m取值的集合.
解:(1)若B=,满足B A,
则m+1>2m-1,得m<2.
若B≠,满足B A,
则
解得2≤m≤3.
所以实数m取值的集合是{m|m≤3}.
(2)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},
由A B得
解得3≤m≤4,
所以实数m取值的集合是{m|3≤m≤4}
(3)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},
由A=B得无解,
所以实数m取值的集合是.
应用创新
14.设集合S={a1,a2,a3,a4},若集合S的所有非空子集的元素之和是40,则a1+a2+a3+a4=　　　　　　　.
解析:含有元素a1的集合有23=8个,
含有元素a2的集合有23=8个,
含有元素a3的集合有23=8个,
含有元素a4的集合有23=8个,
所以集合S的所有非空子集的元素之和为8(a1+a2+a3+a4)=40,
所以a1+a2+a3+a4=5.
答案:5
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.2　子集和补集
核心知识目标 核心素养目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集. 2.会判断集合间的基本关系. 3.能使用Venn图表达集合间的基本关系. 4.在具体情境中,了解全集的含义. 5.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 1.通过对集合间基本关系的学习,形成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.通过Venn图的应用,发展直观想象的核心素养. 3.通过Venn图和数轴的使用,体会图形对理解抽象概念的作用,增强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.子集
(1)定义:如果集合A的每个元素都是集合B的元素,就说A包含于B,或者说B包含A,记作A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)规定空集包含于任一集合,是任一集合的子集.
(3)Venn图表示:
(4)性质
①任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
②对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
2.集合相等
(1)定义:如果A B并且B A,就说两个集合相等,记作A=B.
(2)Venn图表示:
(3)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A=C.
3.真子集
(1)定义:如果A B但A≠B,就说A是B的真子集.
(2)符号表示:A B,读作“A真包含于B”.
(3)Venn图表示:
(4)性质:对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
4.补集
(1)全集:如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的元素和子集,就可以约定把集合U叫作全集(或基本集).
(2)补集:若A是全集U的子集,U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集,记作 UA,即 UA={x|x∈U,且x A},当U可以从上下文确知时,A的补集也可以记作.
(3) U( UA)=A.
1.下列关于的说法正确的是(　D　)
A.0∈ B.∈{0}
C.{0} D. {0}
解析:是不含任何元素的集合,
所以0 , {0},故选D.
2.集合{x|x=1}的子集有　　　　个.
答案:2
3.用“∈”“ ”“ ”“ ”或“=”填空:
(1)5　　　　{5};
(2){a,b,c}　　　　{a,c};
(3){1,2,3}　　　　{3,2,1};
(4)　　　　{0}.
答案:(1)∈　(2) 　(3)=　(4)
4.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则 UA=　　　　.
解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,2},
所以 UA={3,4,5}.
答案:{3,4,5}
　子集与真子集的概念　
探究角度1　子集的列举、子集个数
[例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
解:M={x|x<2且x∈N}={0,1},
N={x|-2(1)所以M的子集为,{0},{1},{0,1};其中真子集为,{0},{1}.
(2)N的子集为,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}.所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.
[即时训练1-1] 已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.
解:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有5个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
(1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏.
(2)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论:
①的子集只有1个.
②{a}的子集有2个.
③{a,b}的子集有4个.
④{a,b,c}的子集有8个.
……
含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.
写一个集合的子集时,不要忘记和其本身.
探究角度2　集合间关系的判断
[例2] 写出下列各对集合之间的关系:
(1)A={x|-1(2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z};
(3)A={x|x=k+,k∈Z},B={x|x=2k+,k∈Z}.
解:(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A B.
(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},
B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A B.
(3)集合A中,x=k+=(k∈Z),因此k∈Z时,2k+1是奇数;集合B中,x=2k+=(k∈Z),因此k∈Z时,4k+1只表示部分奇数,故B A.
[即时训练2-1] 写出下列每对集合之间的关系:
(1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5};
(2)C={x|x2=1},D={x||x|=1};
(3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)};
(4)G={等腰三角形},H={等边三角形}.
解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4 B,所以B A.
(2)因为C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D.
(3)集合E的代表元素是数,集合F的代表元素是实数对,因此两集合之间无包含关系.
(4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故G H.
判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断:
(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系.
(2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系.
(3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.
(4)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍.
　集合相等　
[例3] 已知A={1,x,2x},B={1,y,y2},若A B,且A B,求实数x和y的值.
解:由A B,且A B知,A=B.
由集合相等的概念可得或
解方程组得或或
当x=0,y=0时,A={1,0,0},B={1,0,0}不符合集合中元素的互异性,舍去.
所以x=2,y=2或x=,y=.
[即时训练3-1] 已知集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},若A B,且B A,求实数x,y的值.
解:因为A B,且B A,所以A=B.
因为0∈B,A=B,所以0∈A,
又由集合中元素的互异性,可以确定|x|≠0,y≠0,
所以x≠0,xy≠0,
所以x-y=0,即x=y.
此时A={x,x2,0},集合B={0,|x|,x},
所以x2=|x|,当x=1时,x2=1,与元素互异性矛盾,
所以x=-1,所以x=y=-1.
根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.
根据集合间的关系求参数
[例4] 集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B A,则实数k=　　　　.
解析:A={x|x2=4,x∈R}={-2,2}.
因为B A,
所以B=,B={2},B={-2},B={-2,2}.
因为方程kx=4最多有一个实数根或无根,因此分类讨论如下:
当B=时,方程kx=4无实根,所以k=0;
当B={2}时,则2是方程kx=4的实根,故2k=4 k=2;
当B={-2}时,则-2是方程kx=4的实根,
故-2k=4 k=-2.
综上可知实数k=0,2,-2.
答案:0,2,-2
[即时训练41] 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B A,求实数a的取值范围.
解:当B=时,只需2a>a+3,有a>3;
当B≠时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得或
解得a<-4或2综上可得,实数a的取值范围为{a|a<-4或 a>2}.
(1)对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况.
(2)由含参数的连续数集之间的子集、真子集关系求参数取值范围时常利用数轴法求解,若含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,并且要注意验证参数的端点值是否满足题意.
　补集运算
[例5] (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B=　;
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则 UA=　　　　.
解析:(1)法一(定义法)
因为A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
法二(Venn图法)
满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知 UA={x|x<-3或x=5}.
答案:(1){2,3,5,7}　(2){x|x<-3或x=5}
[即时训练5-1] 设集合U={x|x<5,x∈N+},M={x|x2-5x+6=0},则 UM等于(　　)
A.{1,4} B.{1,5} C.{2,3} D.{3,4}
解析:由集合U={x|x<5,x∈N+}={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},
则 UM={1,4}.故选A.
[即时训练5-2] 已知集合 UA={x|5x-1≥3x-5},U={x|x>-5},则A=　　　　　　　　.
解析:因为5x-1≥3x-5,
所以x≥-2,
所以 UA={x|x≥-2},
如图可知A={x|-5答案:{x|-5求集合的补集的方法
(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.
(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.
(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.
对于涉及连续数集的补集运算,可借助数轴的直观性求解,但要注意端点值的特殊情况.
1.已知全集U=R,则能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0} 的关系的韦恩图是(　B　)
解析:x2+x=0的解为-1和0,因此集合N是集合M的真子集,故选B.
2.(多选题)下列说法中正确的是(　BD　)
A.空集没有子集
B.任何集合至少有一个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若 A,则A≠
解析:空集的子集是本身且空集只有一个子集,因此A错误;B正确;由于空集是任何非空集合的真子集,因此C错误;D正确.故选BD.
3.若{x|x≥a} {x|x≥-1},则实数a的取值范围是　　　　.
答案:{a|a≥-1}
4.设全集为U={2,4,a2},集合A={4,a+3},若 UA={1},则实数a的值为　　　　.
解析:因为U=A∪ UA={1,4,a+3}={2,4,a2},
所以由集合元素的无序性与互异性可知a2=1
且a+3=2.
故a=-1.
答案:-1
选题明细表
知识点、方法 题号
子集、真子集 1,3,9,10,11,12
空集及集合相等 4,5
集合间关系综合应用 2,3,6,7,8,13,14
基础巩固
1.已知集合A={x|x2-1=0},则有(　C　)
A.1 A B.0 A
C. A D.{0} A
解析:由已知得A={1,-1},所以选项A,B,D都错误,因为是任何非空集合的真子集,所以C正确.故选C.
2.已知集合A={x||x|≥2},则 RA等于(　D　)
A.{x|x<2} B.{x|x≤-2或x≥2}
C.{x|0解析:由题意可得A={x|x≤-2或x≥2},
则 RA={x|-23.设集合A={x|1A.{a|a≤2} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}
解析:由A={x|14.已知全集U={2,3,5},集合A={x|x2+bx+c=0},若 UA={2},则b=　　,
c=　　　　.
解析:因为全集U={2,3,5},A={x|x2+bx+c=0}, UA={2},所以A={3,5}.
所以方程x2+bx+c=0的两个实数根为3和5,
所以b=-(3+5)=-8,c=3×5=15.
答案:-8　15
5.已知集合A={a,0,-1},B={c+b,,1},且A=B,则a=　　　　,
bc=　　　　.
解析:因为A={a,0,-1},B={c+b,,1},A=B,
又因为≠0,所以a=1,c+b=0,=-1,
所以b=-2,c=2,bc=-4.
答案:1　-4
6.已知A={x|x<-1},B={x|x解析:因为A={x|x<-1},B={x|x答案:m≤-1
能力提升
7.已知 {x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是(　B　)
A.a< B.a≤
C.a≥ D.a>
解析:因为 {x|x2-x+a=0},
所以方程x2-x+a=0有实根,
所以Δ=1-4a≥0,
所以a≤.故选B.
8.设集合A={x|x=+,k∈Z},B={x|x=k-,k∈Z},则集合A和集合B的关系为(　B　)
A.A=B B.B A
C.A B D.A B
解析:因为x=+=,
所以A={x|x=,k∈Z},
因为x=k-==,
所以B={x|x=,k∈Z},B A,故选B.
9.(多选题)若集合A={x|x≥1},则满足B A的集合可以是(　AB　)
A.{2,3} B.{x|x≥2}
C.{0,1,2} D.{x|x≥0}
解析:因为集合A={x|x≥1},且B A,
所以集合B可以是集合{2,3},也可以是集合{x|x≥2},故选AB.
10.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0A.3 B.4 C.6 D.7
解析:因为A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|0{1,2,4,5},{1,2,3,5},共6个.故选C.
11.已知A {1,2,3,4},且A中至少有一个偶数,则这样的A有
　　　　个.
解析:由A {1,2,3,4},由于集合{1,2,3,4}有24=16个子集,而其中不含偶数的子集有,{1},{3},{1,3}共4个,所以至少有一个偶数的子集有16-4=12(个).
答案:12
12.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
解:因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}.所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},
{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
13.已知集合A={x|-2≤x≤5}.
(1)若B A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m取值的集合;
(2)若A B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m取值的集合;
(3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m取值的集合.
解:(1)若B=,满足B A,
则m+1>2m-1,得m<2.
若B≠,满足B A,
则
解得2≤m≤3.
所以实数m取值的集合是{m|m≤3}.
(2)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},
由A B得
解得3≤m≤4,
所以实数m取值的集合是{m|3≤m≤4}
(3)集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},
由A=B得无解,
所以实数m取值的集合是.
应用创新
14.设集合S={a1,a2,a3,a4},若集合S的所有非空子集的元素之和是40,则a1+a2+a3+a4=　　　　　　　.
解析:含有元素a1的集合有23=8个,
含有元素a2的集合有23=8个,
含有元素a3的集合有23=8个,
含有元素a4的集合有23=8个,
所以集合S的所有非空子集的元素之和为8(a1+a2+a3+a4)=40,
所以a1+a2+a3+a4=5.
答案:5
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