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1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命　题
核心知识目标 核心素养目标
1.理解命题的概念并能判断所给的语句是否为命题,并判断真题. 2.会写出一个命题的逆命题和否定. 通过命题的概念和命题真假判断的学习,提升逻辑推理素养.
1.命题
(1)定义:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
(2)分类:
(3)形式:“若p,则q”,其中p叫作命题的条件,q叫作命题的结论.
2.命题的否定
如果p是一个命题,则“p不成立”也是一个命题,叫作p的否定,记作﹁p,读作“非p”.
3.逆命题
如果两个命题条件和结论互换了位置,这时称一个是另一个的逆命题.
1.(2021·湖北天门高一联考)下列语句为命题的是(　D　)
A.对角线相等的四边形
B.a<5
C.x2-x+1=0
D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形
解析:由命题定义可知,命题为能够判断真假的陈述句.所以D为命题,ABC不能判断真假,所以不是命题.故选D.
2.下列命题中是真命题的是(　D　)
A.若ab=0,则a2+b2=0
B.若a>b,则ac>bc
C.若M∩N=M,则N M
D.若M N,则M∩N=M
解析:A项中,a=0,b≠0时,a2+b2=0不成立;
B项中,c≤0时不成立;C项中,M∩N=M说明M N.故选项A,B,C皆错误.故选D.
3.命题“若x>1,则x>0”的逆命题是　　　　,是　　　　(填“真”或“假”)命题.
答案:若x>0,则x>1　假
4.下列语句是命题的有　　　　,其中是真命题的有　　　　.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗
②作三角形的一个内角平分线.
③在三角形中,大边对大角,小边对小角.
④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数.
⑤x>8.
解析:①②不是陈述句,不是命题;③是命题,并且是真命题;④是命题,但是假命题;⑤不能判断真假,不是命题.
答案:③④　③
　命题的判断
[例1] 判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(1)是有理数;
(2)3x2≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢
(4)x2-x+7>0.
解:(1)“是有理数”是陈述句,并且它是不正确的,所以它是命题.
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
(3)“梯形是不是平面图形呢 ”是疑问句,所以它不是命题.
(4)因为x2-x+7=(x-)2+>0,
所以“x2-x+7>0”是正确的,故是命题.
[即时训练1-1] 判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形;
(2)任何集合都是它自己的子集;
(3)对顶角相等吗
(4)x>3.
解:(1)是陈述句,能判断真假,是命题.
(2)是陈述句,能判断真假,是命题.
(3)不是陈述句,不是命题.
(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
判断一个语句是不是命题,关键是看语句的格式,也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件,如果满足这两个条件,该语句就是命题,否则就不是.
　判断命题的真假
[例2] 判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)正方形既是矩形又是菱形;
(2)当x=4时,2x+1<0;
(3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.
解:(1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.
(2)是假命题,x=4不满足2x+1<0.
(3)是真命题,x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0.
(4)是假命题,因为当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列.
[即时训练2-1] 下列命题中真命题有(　　)
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.故选A.
(1)真命题的判定方法:
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件,结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法:
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.
　命题的否定、逆命题
[例3] (1)“对顶角相等”的逆命题为　　　　;
(2)p:梯形有一组对边平行,则﹁p为　　　　.
答案:(1)相等的角为对顶角
(2)梯形没有一组对边平行
[即时训练3-1] (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为　　　　,它是　　　　(填“真”或“假”)命题.
(2)分别写出由下列各命题构成的“﹁p”形式的命题,并判断其真假.
①p:等腰梯形的对角线相等;
②p:函数y=x2-2x+2没有零点.
(1)答案:若x,y互为相反数,则x+y=0　真
(2)解:①﹁p:等腰梯形的对角线不相等,假命题.
②﹁p:函数y=x2-2x+2有零点,假命题.
﹁p是对一个命题p全盘否定的一个新命题,“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价,逆命题是将命题的条件和结论互换位置.
1.(2022·湖北天门高一联考)下列语句为命题的是(　D　)
A.对角线相等的四边形
B.a<5
C.x2-x+1=0
D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形
解析:由命题定义可知:能够判断真假的陈述句.所以D为命题,ABC不能判断真假,所以不是命题,所以选D.
2.下列命题是真命题的是(　C　)
A.每一个素数都是奇数
B.方程2x2+1=0有实根
C.sin 45°=
D.如果x>2,那么x>5
3.命题“函数y=2x+1是增函数”的条件是　,
结论是　　　　　　　.
答案:函数为y=2x+1　该函数是增函数
4.下列命题:
①若xy=1,则x,y互为倒数;
②二次函数的图象与x轴有公共点;
③平行四边形是梯形;
④若a>b,则a>b.
其中真命题是　　　　(写出所有真命题的序号).
解析:对于②,二次函数图象与x轴不一定有公共点;对于③,平行四边形不是梯形.
答案:①④
选题明细表
知识点、方法 题号
命题的判断 1,4
判断命题的真假 2,5,6,8,9,10
逆命题 3,11,12
命题的否定 7
基础巩固
1.下列语句不是命题的有(　C　)
①若a>b,b>c,则a>c;②x>2;③3<4;④函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:①③是可以判断真假的陈述句,是命题;②④不能判断真假,不是命题.故选C.
2.下列命题中真命题的个数为(　A　)
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则a+c>b+c;
④矩形的对角线互相垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①错;②中x=3,y=0,则xy=0,但|x|+|y|≠0,故②错;③正确;④中矩形的对角线相等,但不一定互相垂直.故选A.
3.命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(　D　)
A.若a≠-b,则|a|≠|b|
B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b
解析:原命题的条件是a=-b,把它作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,把它作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”.故选D.
4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是(　C　)
A.这个四边形的对角线互相平分
B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直
D.这个四边形是平行四边形
解析:命题可改为“若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”.故选C.
5.下列语句中是命题的有　　　　,其中是真命题的有　　　　.(写出序号)
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sin A=sin B;
⑤求证方程x2+x+1=0无实根.
解析:①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;
②是假命题,0既不是正数也不是负数;
③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;
④是真命题;
⑤祈使句,不是命题.
答案:②③④　④
6.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”的条件p是　　　,结论q是　　　　　　.它是　　　　(填“真”或“假”)命题.
解析:a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0,得-1≥0不成立,
所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,
所以命题为真命题.
答案:a>0　二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)　真
7.p:-1是方程x2+4x+3=0的解,则﹁p为　　　　.
答案:-1不是方程x2+4x+3=0的解
能力提升
8.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为(　B　)
①M中的元素都不是P的元素;
②M中有不属于P的元素;
③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,因此M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,故选B.
9.下列四个命题:①“若xy=0,则x=0,且y=0”的逆命题;②“正方形是矩形”的逆命题;③“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题;④若m>2,则不等式x2-2x+m>0.其中真命题的个数为(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:命题①的逆命题是“若x=0且y=0,则xy=0”,为真命题;命题②的逆命题是“若一个四边形是矩形,则它是正方形”,为假命题;命题③的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,为假命题;命题④为真命题,当m>2时,方程x2-2x+m=0的判别式Δ<0,对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点,所以函数值恒大于0.故选C.
10.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为ax2-2ax-3>0不成立,
所以ax2-2ax-3≤0恒成立.
当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,则有
解得-3≤a<0.综上,-3≤a≤0.
答案:[-3,0]
11.已知命题“若m-1解析:由已知得,若1则m-1所以
所以1≤m≤2.
答案:[1,2]
应用创新
12.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+
2≤0的解集为空集,则a<1”的逆命题的真假.
解:原命题的逆命题为“已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集”.
判断其真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,
所以4a-7<0.
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象与x轴无交点.
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
故原命题的逆命题为真命题.
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1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命　题
核心知识目标 核心素养目标
1.理解命题的概念并能判断所给的语句是否为命题,并判断真题.
2.会写出一个命题的逆命题和否定. 通过命题的概念和命题真假判断的学习,提升逻辑推理素养.
知识探究·素养启迪
1.命题
(1)定义:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
知识探究
(3)形式:“若p,则q”,其中p叫作命题的 ,q叫作命题的 .
条件
结论
2.命题的否定
如果p是一个命题,则“p不成立”也是一个命题,叫作p的 ,记作﹁p,
读作“非p”.
3.逆命题
如果两个命题条件和结论互换了位置,这时称一个是另一个的 .
否定
逆命题
小试身手
解析:由命题定义可知,命题为能够判断真假的陈述句.所以D为命题,ABC不能判断真假,所以不是命题.故选D.
1.(2021·湖北天门高一联考)下列语句为命题的是(　 　)
A.对角线相等的四边形
B.a<5
C.x2-x+1=0
D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形
D
2.下列命题中是真命题的是(　 　)
A.若ab=0,则a2+b2=0
B.若a>b,则ac>bc
C.若M∩N=M,则N M
D.若M N,则M∩N=M
解析:A项中,a=0,b≠0时,a2+b2=0不成立;
B项中,c≤0时不成立;C项中,M∩N=M说明M N.故选项A,B,C皆错误.
故选D.
D
3.命题“若x>1,则x>0”的逆命题是　　　 　,是　　(填“真”或“假”)命题.
若x>0,则x>1
假
4.下列语句是命题的有　　　　,其中是真命题的有　　　.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗
②作三角形的一个内角平分线.
③在三角形中,大边对大角,小边对小角.
④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数.
⑤x>8.
解析:①②不是陈述句,不是命题;③是命题,并且是真命题;④是命题,但是假命题;⑤不能判断真假,不是命题.
答案:③④　③
课堂探究·素养培育
[例1] 判断下列语句是不是命题,并说明理由.
探究点一
命题的判断
解:(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假,所以它不是命题.
[例1] 判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(2)3x2≤5;
(3)梯形是不是平面图形呢
解:(3)“梯形是不是平面图形呢 ”是疑问句,所以它不是命题.
[例1] 判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(4)x2-x+7>0.
[即时训练1-1] 判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形;
解:(1)是陈述句,能判断真假,是命题.
(2)任何集合都是它自己的子集;
解:(2)是陈述句,能判断真假,是命题.
[即时训练1-1] 判断下列语句是否为命题,并说明理由.
(3)对顶角相等吗
解:(3)不是陈述句,不是命题.
(4)x>3.
解:(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题.
方法总结
判断一个语句是不是命题,关键是看语句的格式,也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件,如果满足这两个条件,该语句就是命题,否则就不是.
[例2] 判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)正方形既是矩形又是菱形;
探究点二
判断命题的真假
解:(1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形.
(2)当x=4时,2x+1<0;
解:(2)是假命题,x=4不满足2x+1<0.
[例2] 判断下列命题的真假,并说明理由.
(3)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
解:(3)是真命题,x=3或x=7能得到(x-3)(x-7)=0.
(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列一定为递增数列.
解:(4)是假命题,因为当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减
数列.
[即时训练2-1] 下列命题中真命题有(　　)
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①中当m=0时,是一元一次方程;②中当Δ=4+4a<0时,抛物线与x轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集.故选A.
方法总结
(1)真命题的判定方法:
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件,结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法.
(2)假命题的判定方法:
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.
[例3] (1)“对顶角相等”的逆命题为　　 　　;
探究点三
命题的否定、逆命题
相等的角为对顶角
(2)p:梯形有一组对边平行,则﹁p为　　　 　.
梯形没有一组对边平行
[即时训练3-1] (1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为　　 　 .
　,它是　　　　(填“真”或“假”)命题.
解:①﹁p:等腰梯形的对角线不相等,假命题.
若x,y互为
相反数,则x+y=0
真
(2)分别写出由下列各命题构成的“﹁p”形式的命题,并判断其真假.
①p:等腰梯形的对角线相等;
解:②﹁p:函数y=x2-2x+2有零点,假命题.
②p:函数y=x2-2x+2没有零点.
方法总结
﹁p是对一个命题p全盘否定的一个新命题,“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价,逆命题是将命题的条件和结论互换位置.
课堂达标
解析:由命题定义可知:能够判断真假的陈述句.所以D为命题,ABC不能判断真假,所以不是命题,所以选D.
1.(2022·湖北天门高一联考)下列语句为命题的是(　 　)
A.对角线相等的四边形
B.a<5
C.x2-x+1=0
D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形
D
C
3.命题“函数y=2x+1是增函数”的条件是　 ,
结论是　　 　　　　　.
函数为y=2x+1
该函数是增函数
解析:对于②,二次函数图象与x轴不一定有公共点;对于③,平行四边形不是梯形.
答案:①④1.2　常用逻辑用语
1.2.1　命　题
选题明细表
知识点、方法 题号
命题的判断 1,4
判断命题的真假 2,5,6,8,9,10
逆命题 3,11,12
命题的否定 7
基础巩固
1.下列语句不是命题的有(　C　)
①若a>b,b>c,则a>c;②x>2;③3<4;④函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:①③是可以判断真假的陈述句,是命题;②④不能判断真假,不是命题.故选C.
2.下列命题中真命题的个数为(　A　)
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则a+c>b+c;
④矩形的对角线互相垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①错;②中x=3,y=0,则xy=0,但|x|+|y|≠0,故②错;③正确;④中矩形的对角线相等,但不一定互相垂直.故选A.
3.命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(　D　)
A.若a≠-b,则|a|≠|b|
B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b
解析:原命题的条件是a=-b,把它作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,把它作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”.故选D.
4.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是(　C　)
A.这个四边形的对角线互相平分
B.这个四边形的对角线互相垂直
C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直
D.这个四边形是平行四边形
解析:命题可改为“若一个四边形是平行四边形,则这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”.故选C.
5.下列语句中是命题的有　　　　,其中是真命题的有　　　　.(写出序号)
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
②一个数不是正数就是负数;
③大角所对的边大于小角所对的边;
④△ABC中,若∠A=∠B,则sin A=sin B;
⑤求证方程x2+x+1=0无实根.
解析:①疑问句.没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题;
②是假命题,0既不是正数也不是负数;
③是假命题,没有考虑在同一个三角形内;
④是真命题;
⑤祈使句,不是命题.
答案:②③④　④
6.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”的条件p是　　　,结论q是　　　　　　.它是　　　　(填“真”或“假”)命题.
解析:a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0,得-1≥0不成立,
所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,
所以命题为真命题.
答案:a>0　二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)　真
7.p:-1是方程x2+4x+3=0的解,则﹁p为　　　　.
答案:-1不是方程x2+4x+3=0的解
能力提升
8.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为(　B　)
①M中的元素都不是P的元素;
②M中有不属于P的元素;
③M中有属于P的元素;
④M中的元素不都是P的元素.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,因此M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,故选B.
9.下列四个命题:①“若xy=0,则x=0,且y=0”的逆命题;②“正方形是矩形”的逆命题;③“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题;④若m>2,则不等式x2-2x+m>0.其中真命题的个数为(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:命题①的逆命题是“若x=0且y=0,则xy=0”,为真命题;命题②的逆命题是“若一个四边形是矩形,则它是正方形”,为假命题;命题③的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,为假命题;命题④为真命题,当m>2时,方程x2-2x+m=0的判别式Δ<0,对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点,所以函数值恒大于0.故选C.
10.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为ax2-2ax-3>0不成立,
所以ax2-2ax-3≤0恒成立.
当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,则有
解得-3≤a<0.综上,-3≤a≤0.
答案:[-3,0]
11.已知命题“若m-1解析:由已知得,若1则m-1所以
所以1≤m≤2.
答案:[1,2]
应用创新
12.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+
2≤0的解集为空集,则a<1”的逆命题的真假.
解:原命题的逆命题为“已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集”.
判断其真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,
所以4a-7<0.
即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象与x轴无交点.
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
故原命题的逆命题为真命题.
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