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第1章　集合与逻辑
1.1　集　合
1.1.1　集　合
核心知识目标 核心素养目标
1.通过实例了解集合的含义,掌握集合中元素的三大特征.
2.理解元素与集合的“属于”关系,并能用符号“∈”或“ ”来表示.
3.能正确使用区间表示数集.
4.理解并掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,能选择合适的方法表示一些简单集合. 1.通过对集合有关概念的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.通过集合中元素的三大特征的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
3.通过列举法与描述法的应用,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.元素与集合的相关概念
(1)在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或集,给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一
个,都叫作这个集合的一个元素.
(2)集合的基本属性:①同一集合中的元素是互不相同的.②集合中的元素是确定的,亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.③集合中的元素没有顺序.
知识探究
2.元素与集合的关系
(1)属于:若S是一个集合,a是S的一个元素,记作a S,读作“a属于S”.
(2)不属于:如果a不是S的元素,记作a S(或a S),读作“a不属于S”.
3.常用数集及符号表示
数集
名称 自然
数集 正整
数集 整数集 有理
数集 实数集
字母
表示 . . Z Q R
∈

N
N+
5.表示集合的方法
(1)列举法:把集合中的元素 出来,并用一个大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫作列举法.
(2)描述法:把集合中的元素 的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这叫作描述法.
一一列举
共有
(3)区间
数学里最常用的一类集合叫区间.
设a,b是两个实数,且a[a,b]
(a,b)
[a,b)
(a,b]
小试身手
1.(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　 　 )
A.大于6的所有整数
B.高一数学课本中所有的简单题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=x图象上所有的点
ACD
解析:由-3∈A知x-2=-3或x+5=-3.故x=-1或-8.
答案:-1或-8
2.集合A={x-2,x+5,12},若-3∈A,则x=　 .
解析:该集合为{m,a,t,h,e,i,c,s}.
答案:8
∈



4.英语单词mathematics(数学)中所有英文字母构成的集合有　　　　个元素.
课堂探究·素养培育
[例1] 观察下列各组对象能否组成一个集合.
(1)二十国集团的所有成员国;
探究点一
集合的概念
解:(1)能.因为二十国集团的所有成员国是确定的.
(2)无限接近零的数;
解:(2)不能.因为“无限接近”标准不明确,不具有确定性,不能构成集合.
[例1] 观察下列各组对象能否组成一个集合.
(3)方程x2-2x-3=0的所有解;
解:(3)能.因为方程x2-2x-3=0的解为x1=3,x2=-1确定,所以可以组成集合,集合中有两个元素-1和3.
(4)平面直角坐标系中,第一象限内的所有点.
解:(4)能.因为第一象限内的点是确定的点.
[即时训练1-1] (多选题)下列哪组对象不能构成集合(　　)
A.比较小的数
B.不大于10的偶数
解析:在A中,没有确定性,故A不能构成集合;
在B中,有确定性,故B能构成集合;
在C中,不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合;
在D中,没有确定性,故D不能构成集合.故选ACD.
方法总结
判定一组对象能否构成集合的关键是所给的这组对象是否确定,也就是是否有明确的标准.若一组对象能构成集合,则给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.
[例2] 已知集合M是由三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4组成的,若2∈M,求实数x的值.
探究点二
元素与集合的关系
解:因为2∈M,所以3x2+3x-4=2或x2+x-4=2,
当3x2+3x-4=2时,x2+x-2=0,解得x=-2或x=1.
经检验,x=-2,x=1均不符合集合中元素的互异性;
当x2+x-4=2时,x2+x-6=0,解得x=-3或2.
经检验,x=-3或x=2均合题意.
综上,满足题意的实数x的值为-3,2.
[变式训练2-1] 本例中,试探究是否存在实数x,使元素x-4∈M.
方法总结
根据确定的元素属于集合求解含参数(未知量)的问题,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
易错警示
根据集合中元素与集合的关系求解参数时,一定要检验所求参数是否满足集合中元素的性质.
探究角度1　列举法表示集合
[例3] 用列举法表示下列集合.
(1)方程x=|x|,x∈Z,且x<5的解集A;
探究点三
集合的表示方法
解:(1)方程x=|x|的解为x≥0,结合x∈Z且x<5可知,集合A={0,1,2,3,4}.
(2)方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集合B;
解:(2)由x2-2x+1=0知x=1,故B={1}.
[例3] 用列举法表示下列集合.
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合C;
解:(3)C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
(4)满足x∈N,y∈N的直线x+y=2上的点的坐标组成的集合D.
[即时训练3-1] 用列举法表示下列集合.
(1)大于4而小于10的所有自然数组成的集合A;
解:(1)A={5,6,7,8,9}.
(2)36与60的公约数组成的集合B;
解:(2)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,因此所求集合B={1,2,3,4,6,12}.
[即时训练3-1] 用列举法表示下列集合.
(3)由所有正整数构成的集合C;
解:(3)正整数有1,2,3,…,故C={1,2,3,…}.
(4)若y=x2-3,当x∈Z且|x|≤2时函数值y的集合D.　
解:(4)因为|x|≤2,x∈Z,所以x=-2,-1,0,1,2.结合y=x2-3知y=1,-2,-3.
故函数值y的集合D={-3,-2,1}.
方法总结
用列举法表示集合时,首先要明确集合的元素属性,然后根据集合中的元素的特征性质将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;要注意元素的属性,如例(4)中的代表元素是点的坐标,因此应是有序实数对,而不是数.
探究角度2　描述法表示集合
[例4] 用描述法表示下列集合.
(1)被5除余1的正整数集合;
解析:(1)由于所有被5除余1的正整数都可表示为x=5k+1,k∈N,因此被5除余1的正整数集合为{x|x=5k+1,k∈N}.
[例4] 用描述法表示下列集合.
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;
解析:(2)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0,而纵坐标大于0,又由于集合的代表元素是点,因此用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
[例4] 用描述法表示下列集合.
(3)三角形的全体构成的集合;
解析:(3)三角形的全体构成的集合{x|x是三角形}或{三角形}.　
[例4] 用描述法表示下列集合.
(4)如图中阴影部分的点(含边界)的集合.
[即时训练4-1] 用描述法表示下列集合.
(2)平面直角坐标系内不在第一、三象限的点的集合;
解:(2)因为在第一、三象限内的点(x,y)的横坐标x、纵坐标y同正(第一象限)或同负(第三象限),即xy>0,
所以不在第一、三象限内的点(x,y)满足xy≤0,
因此该集合可用描述法表示为{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}.
[即时训练4-1] 用描述法表示下列集合.
(3)二次函数y=x2-8图象上的所有点组成的集合;
解:(3)二次函数y=x2-8图象上的所有点构成的集合为{(x,y)|y=x2-8}.
(4)大于1且小于20的正整数构成的集合.
解:(4)大于1且小于20的正整数构成的集合为{x|1方法总结
(1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.如果一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是点集.
(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.
易错警示
(1)由于“{　}”本身包含集合的含义,因此在“{　}”的内容中不能出现“全体”“集合”的字样.如由三角形构成的集合就不能写为“{全体三角形}或{三角形的集合}”.
(2)由于R,N等表示具体的数集,因此实数集不能写为{R},自然数集不能写为{N}.
探究角度3　区间
[例5] 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x|x<2};
解:(1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①.
[例5] 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(2){x|3解:(2){x|3方法总结
区间是集合的一种表示形式,它只能用来表示连续的数集,用区间表示数集的方法:
(1)左端点值小于右端点值.
(2)两端点之间用逗号“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,该端必须用小括号.
[例6] 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
探究点四
由集合中元素的个数求参数的取值范围
解:(1)当k=0时,原方程变为-8x+16=0,
x=2.此时集合A={2}.
(2)当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,
只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.
当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
[变式训练6-1] 将本例改为“集合A至少有一个元素,求k的取值范围”.
解:由集合A至少有一个元素可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论:
①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题解析过程可知k=0或1;②方程kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足Δ=64-64k>0,解得k<1,综上所述k的取值范围是{k|k≤1}.
方法总结
对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是否为零,否则容易漏解.
备用例题
[例2] 用适当的方法表示下列集合.
(2)不等式2x-9<0的非负整数解.
[例4] 已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}.
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;　
[例4] 已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}.
(2)当A中有两个元素时,求a满足的条件;
[例4] 已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}.
(3)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.
课堂达标
1.下列各选项中的对象不能构成集合的是(　 　)
A.小于5的自然数
B.好心人
C.曲线y=x2上的点
D.不等式2x+1>7的整数解
解析:A,C,D满足集合元素的确定性,B不满足集合元素的确定性.故选B.
B
D
3.(2022·山东临沂月考)用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是
(　 　)
A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}
C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}
解析:因为集合是点集,所以代表元素是(x,y),所以用描述法表示为{(x,y)|y=3x+1}.故选C.
C
4.(2022·江苏南京高一期中)若1∈{0,x,x2},则x等于(　 　)
A.1 B.-1
C.0或1 D.0或-1
解析:根据集合中元素的确定性和互异性可知,只能x2=1,且x≠1.所以
x=-1.故选B.
B
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1.1.1　集　合
选题明细表
知识点、方法 题号
元素与集合的关系 1,6,8,11
集合的表示方法 3,4,5,9,13
集合概念、表示及综合应用 7,10,12,14
区间 2
基础巩固
1.下列给出的对象中能构成集合的是(　C　)
A.著名的物理学家
B.很大的数
C.小于3的实数
D.直角坐标平面内第一象限的一些点
解析:A,B,D不具有确定性,C有确定性.故选C.
2.下列五个关系中,正确的个数为(　D　)
①∈Q;② Q;③π∈R;④|-3| N;⑤-∈Z.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:①②③⑤正确,④错误.故选D.
3.集合{x|x≥2}表示成区间是(　B　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
解析:集合{x|x≥2}表示成区间是[2,+∞),故选B.
4.(多选题)下列集合中表示数集的是(　ABC　)
A.{0} B.{y|y2=0}
C.{x|x=0} D.{x=0}
解析:A,B,C选项中集合的元素都是数,且都只有一个元素0,而D选项中集合的元素是式子x=0.故D选项中的集合不是数集,A,B,C选项中的集合是数集.故选ABC.
5.将集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N}用列举法表示为　　　　 　.
解析:因为2x+3y=16,所以3y=16-2x=2(8-x),且x,y∈N,所以y为偶数且y≤5.当y=4时,x=2;当y=2时,x=5;当y=0时,x=8.
答案:{(2,4),(5,2),(8,0)}
6.集合B={1,3,4},若a∈B,且8-a∈B,那么a的值为　　　　.
解析:当a=1时,8-a=7 B,不满足题意.
当a=3时,8-a=5 B,不满足题意.
当a=4时,8-a=4,满足题意.所以a的值为4.
答案:4
7.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合.
解:(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3,所以方程的解集为{(2,-3)}.
(2)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N且x<
1 000}.
(3)“二次函数y=x2-10图象上的所有点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.
能力提升
8.(多选题)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,
x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　ABC　)
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
解析:由题意,可知集合A表示奇数集,B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3应为偶数,即x1+x2+x3 A.故选ABC.
9.(2021·山东邹城高一期中)设集合A={x|x2-x-2=0},
B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是(　B　)
A.{-4,4} B.{-4,-1,1,4}
C.{0,1} D.{-1,1}
解析:解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1.
因为y∈A,所以y=2或y=-1.
因此,|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,
故x=±4或x=±1,
所以B={-4,-1,1,4}.故选B.
10.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},当集合A只有一个元素时,实数a的取值的集合为　　　　,当集合A有两个元素时,实数a的取值的集合为　　　　　　　　　　.
解析:若集合A中只有一个元素,
则当a=0时,ax2-3x+2=0,
即x=,A={},符合题意;
当a≠0时,只要Δ=9-8a=0,得a=,
所以a=0或,
所以a的取值的集合为{0,};
若集合A中有两个元素,
则a≠0,且Δ=9-8a>0,
解得a<,且a≠0,
所以a的取值的集合为{a|a<,且a≠0}.
答案:{0,}　{a|a<,且a≠0}
11.若-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为　　　　.
解析:因为-5∈{x|x2-ax-5=0},
所以(-5)2+5a-5=0,所以a=-4,
所以集合{x|x2-4x-a=0}={x|x2-4x+4=0}={x|(x-2)2=0}={2}.
答案:2
12.已知集合A={-1,0,1},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=　　　　.
解析:因为x∈A,所以当x=-1时,y=|x|=1;
当x=0时,y=|x|=0;当x=1时,y=|x|=1.
所以B={0,1}.
答案:{0,1}
13.已知集合P={a,ab,ab-1},Q={0,|a|,b}且P=Q,求(a+)+
(a2+)+…+(a2 022+)的值.
解:由已知条件,知a≠0,b≠0且ab-1=0,
即ab=1,
因为1∈P且P=Q,所以1∈Q,
所以或解得或
当a=b=1时,Q={1,1,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去,所以a=b=-1,将a=b=-1代入所求式,得-2+2-2+…+2=0.
应用创新
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}　　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　(答案不唯一).
解析:由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1,故可取的集合有{1,2,},{-1,3,}等.
答案:不是　{1,2,}
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1　集　合
1.1.1　集　合
核心知识目标 核心素养目标
1.通过实例了解集合的含义,掌握集合中元素的三大特征. 2.理解元素与集合的“属于”关系,并能用符号“∈”或“ ”来表示. 3.能正确使用区间表示数集. 4.理解并掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,能选择合适的方法表示一些简单集合. 1.通过对集合有关概念的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.通过集合中元素的三大特征的应用,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.通过列举法与描述法的应用,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.元素与集合的相关概念
(1)在数学语言中,把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个集合或集,给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个元素.
(2)集合的基本属性:①同一集合中的元素是互不相同的.②集合中的元素是确定的,亦即给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.③集合中的元素没有顺序.
2.元素与集合的关系
(1)属于:若S是一个集合,a是S的一个元素,记作a∈S,读作“a属于S”.
(2)不属于:如果a不是S的元素,记作a S(或a S),读作“a不属于S”.
3.常用数集及符号表示
数集 名称 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
字母 表示 N N+ Z Q R
4.集合的分类
元素个数有限的集合叫有限集(或有穷集),元素无限多的集合叫无限集(或无穷集).没有元素的集合叫空集,记作;空集也是有限集.
5.表示集合的方法
(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用一个大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫作列举法.
(2)描述法:把集合中的元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这叫作描述法.
(3)区间
数学里最常用的一类集合叫区间.
设a,b是两个实数,且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b]
{x|a{x|a≤x{x|a续　表
定义 名称 符号 数轴表示
{x|x≥a} — [a,+∞)
{x|x>a} — (a,+∞)
{x|x≤a} — (-∞,a]
{x|xR — (-∞,+∞)
1.(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　ACD　 )
A.大于6的所有整数
B.高一数学课本中所有的简单题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=x图象上所有的点
2.集合A={x-2,x+5,12},若-3∈A,则x=　 .
解析:由-3∈A知x-2=-3或x+5=-3.故x=-1或-8.
答案:-1或-8
3.用符号“∈”或“ ”填空.
(1)2　　　N;(2)　　　Q;(3)　　　　Z; (4)0　　　　.
答案:(1)∈　(2) 　(3) 　(4)
4.英语单词mathematics(数学)中所有英文字母构成的集合有　　　　个元素.
解析:该集合为{m,a,t,h,e,i,c,s}.
答案:8
　集合的概念
[例1] 观察下列各组对象能否组成一个集合.
(1)二十国集团的所有成员国;
(2)无限接近零的数;
(3)方程x2-2x-3=0的所有解;
(4)平面直角坐标系中,第一象限内的所有点.
解:(1)能.因为二十国集团的所有成员国是确定的.(2)不能.因为“无限接近”标准不明确,不具有确定性,不能构成集合.(3)能.因为方程x2-2x-3=0的解为x1=3,x2=-1确定,所以可以组成集合,集合中有两个元素-1和3.(4)能.因为第一象限内的点是确定的点.
[即时训练11] (多选题)下列哪组对象不能构成集合(　　)
A.比较小的数
B.不大于10的偶数
C.的近似值的全体
D.高个子男生
解析:在A中,没有确定性,故A不能构成集合;
在B中,有确定性,故B能构成集合;
在C中,不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合;
在D中,没有确定性,故D不能构成集合.故选ACD.
判定一组对象能否构成集合的关键是所给的这组对象是否确定,也就是是否有明确的标准.若一组对象能构成集合,则给定的对象必须是“确定无疑”的,而不能是“模棱两可”的.
　元素与集合的关系
[例2] 已知集合M是由三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4组成的,若2∈M,求实数x的值.
解:因为2∈M,
所以3x2+3x-4=2或x2+x-4=2,
当3x2+3x-4=2时,
x2+x-2=0,
解得x=-2或x=1.
经检验,x=-2,x=1均不符合集合中元素的互异性;
当x2+x-4=2时,
x2+x-6=0,
解得x=-3或2.
经检验,x=-3或x=2均合题意.
综上,满足题意的实数x的值为-3,2.
[变式训练2-1] 本例中,试探究是否存在实数x,使元素x-4∈M.
解:假设存在实数x,使元素x-4∈M,则x-4=-2或x-4=3x2+3x-4或x2+x-4=x-4.
若x-4=-2,则x=2,此时3x2+3x-4=14,
x2+x-4=2,因此x=2满足集合中元素的性质.
若3x2+3x-4=x-4,则x=0或x=-.
当x=0时,3x2+3x-4=x2+x-4,不满足集合中元素的性质;
当x=-时满足集合中元素的性质.
若x2+x-4=x-4,则x=0(舍去).
综上可知存在实数x=2或x=-满足题意.
根据确定的元素属于集合求解含参数(未知量)的问题,求解时,先根据集合中元素的确定性解出参数的所有可能的值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验.另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用.
根据集合中元素与集合的关系求解参数时,一定要检验所求参数是否满足集合中元素的性质.
　集合的表示方法
探究角度1　列举法表示集合
[例3] 用列举法表示下列集合.
(1)方程x=|x|,x∈Z,且x<5的解集A;
(2)方程x2-2x+1=0的所有实数根组成的集合B;
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合C;
(4)满足x∈N,y∈N的直线x+y=2上的点的坐标组成的集合D.
解:(1)方程x=|x|的解为x≥0,结合x∈Z且x<5可知,集合A={0,1,2,3,4}.
(2)由x2-2x+1=0知x=1,故B={1}.
(3)C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
(4)由于x∈N,y∈N,因此满足x+y=2的解为或或
所以D={(0,2),(1,1),(2,0)}.
[即时训练3-1] 用列举法表示下列集合.
(1)大于4而小于10的所有自然数组成的集合A;
(2)36与60的公约数组成的集合B;
(3)由所有正整数构成的集合C;
(4)若y=x2-3,当x∈Z且|x|≤2时函数值y的集合D.　
解:(1)A={5,6,7,8,9}.
(2)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,因此所求集合B={1,2,3,4,6,12}.
(3)正整数有1,2,3,…,
故C={1,2,3,…}.
(4)因为|x|≤2,x∈Z,所以x=-2,-1,0,1,2.结合y=x2-3知y=1,-2,-3.
故函数值y的集合D={-3,-2,1}.
用列举法表示集合时,首先要明确集合的元素属性,然后根据集合中的元素的特征性质将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;要注意元素的属性,如例(4)中的代表元素是点的坐标,因此应是有序实数对,而不是数.
探究角度2　描述法表示集合
[例4]
用描述法表示下列集合.
(1)被5除余1的正整数集合;(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;(3)三角形的全体构成的集合;(4)如图中阴影部分的点(含边界)的集合.
解:(1)由于所有被5除余1的正整数都可表示为x=5k+1,k∈N,因此被5除余1的正整数集合为{x|x=5k+1,k∈N}.
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0,而纵坐标大于0,又由于集合的代表元素是点,因此用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且y>0}.
(3)三角形的全体构成的集合{x|x是三角形}或{三角形}.　
(4)图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集,用描述法可表示为{(x,y)|-1≤x≤,-≤y≤1且xy≥0}.
[即时训练4-1] 用描述法表示下列集合.
(1)使函数y=有意义的实数x的集合;
(2)平面直角坐标系内不在第一、三象限的点的集合;
(3)二次函数y=x2-8图象上的所有点组成的集合;
(4)大于1且小于20的正整数构成的集合.
解:(1)使函数y=有意义的实数x的集合是{x|x∈R,且x≠3}.
(2)因为在第一、三象限内的点(x,y)的横坐标x、纵坐标y同正(第一象限)或同负(第三象限),即xy>0,
所以不在第一、三象限内的点(x,y)满足xy≤0,
因此该集合可用描述法表示为{(x,y)|xy≤0,x,y∈R}.
(3)二次函数y=x2-8图象上的所有点构成的集合为{(x,y)|y=x2-8}.
(4)大于1且小于20的正整数构成的集合为{x|1(1)使用描述法表示集合时,要明确集合中的代表元素是什么,元素满足什么条件.如果一个集合中所有元素均是数,那么这个集合称为数集.同样,如果一个集合中所有元素均是点,那么这个集合称为点集.形如{x|x满足的条件}的集合是数集,形如{(x,y)|x,y满足的条件}的集合是点集.
(2)使用描述法表示集合时,所有描述内容应写在花括号内.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.
(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.
(1)由于“{　}”本身包含集合的含义,因此在“{　}”的内容中不能出现“全体”“集合”的字样.如由三角形构成的集合就不能写为“{全体三角形}或{三角形的集合}”.
(2)由于R,N等表示具体的数集,因此实数集不能写为{R},自然数集不能写为{N}.
探究角度3　区间
[例5] 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x|x<2};
(2){x|3解:(1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①.
(2){x|3[即时训练5-1] 已知区间[-a,2a+1),则实数a的取值范围是(　　)
A.R B.[-,+∞)
C.(-,+∞) D.(-∞,-)
解析:由2a+1>-a,得3a>-1,即a>-,故选C.
区间是集合的一种表示形式,它只能用来表示连续的数集,用区间表示数集的方法:
(1)左端点值小于右端点值.
(2)两端点之间用逗号“,”隔开.
(3)含端点值的一端用中括号,不含端点值的一端用小括号.
(4)以“-∞”“+∞”为区间的一端时,该端必须用小括号.
　由集合中元素的个数求参数的取值范围
[例6] 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
解:(1)当k=0时,原方程变为-8x+16=0,
x=2.此时集合A={2}.
(2)当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,
只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.
当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
[变式训练6-1] 将本例改为“集合A至少有一个元素,求k的取值范围”.
解:由集合A至少有一个元素可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个根,分两种情况讨论:
①方程kx2-8x+16=0只有一个根,由例题解析过程可知k=0或1;②方程kx2-8x+16=0有两个不相等的根,需满足Δ=64-64k>0,解得k<1,综上所述k的取值范围是{k|k≤1}.
对于一元二次方程,当二次项的系数中含参数时,首先要讨论二次项的系数是否为零,否则容易漏解.
[例1] 由实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合,最多可含有的元素个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为=|x|,()2=|x|2=x2,
-=-x,
所以实数x,-x,|x|,,()2,-所组成的集合最多含有x,-x,x2三个元素.
故选B.
[例2] 用适当的方法表示下列集合.
(1)方程组的解集;
(2)不等式2x-9<0的非负整数解.
解:(1)由于方程组的解是因此方程组的解集可用列举法表示为{(-1,2)},也可用描述法表示为
{(x,y)|}或.
(2)不等式2x-9<0的非负整数解用列举法表示为{0,1,2,3,4},用描述法表示为{x∈N|x<}.
[例3] 已知由实数构成的集合A满足条件:若a∈A,a≠1,则∈A.
(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素,求出这两个元素;
(2)求证:若a∈A,则1-∈A.
(1)解:由a∈A,则∈A,得
因为2∈A,所以∈A,即-1∈A;
从而∈A,即∈A.
所以A中另外两个元素为-1,.
(2)证明:由a∈A知∈A.
所以∈A,即1-∈A.
[例4] 已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}.
(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;　
(2)当A中有两个元素时,求a满足的条件;
(3)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.
解:(1)①当a=0时,方程-3x-4=0的根为
x=-.故A={-}.
②当a≠0时,由Δ=(-3)2-4a·(-4)=0,得
a=-,此时方程的两个相等的根为
x1=x2=-.
综上,当a=0时,集合A中的元素为-;
当a=-时,集合A中的元素为-.
(2)集合A中有两个元素,即方程ax2-3x-4=0有两个不相等的实根.
所以
解得a>-且a≠0.
(3)集合A中有一个元素或两个元素.
当集合A中有两个元素时,
由(2)得a>-且a≠0;
当集合A中有一个元素时,
由(1)得a=0或a=-.
综上,当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a≥-.　
1.下列各选项中的对象不能构成集合的是(　B　)
A.小于5的自然数
B.好心人
C.曲线y=x2上的点
D.不等式2x+1>7的整数解
解析:A,C,D满足集合元素的确定性,B不满足集合元素的确定性.故选B.
2.下列说法正确的是(　D　)
A.∈N B.-1∈N
C.∈N D.9∈N
解析:集合N表示非负整数集,所以,-1,不是集合中的元素.故选D.
3.(2022·山东临沂月考)用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的是(　C　)
A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1}
C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}
解析:因为集合是点集,所以代表元素是(x,y),所以用描述法表示为{(x,y)|y=3x+1}.故选C.
4.(2022·江苏南京高一期中)若1∈{0,x,x2},则x等于(　B　)
A.1 B.-1
C.0或1 D.0或-1
解析:根据集合中元素的确定性和互异性可知,只能x2=1,且x≠1.所以x=-1.故选B.
选题明细表
知识点、方法 题号
元素与集合的关系 1,6,8,11
集合的表示方法 3,4,5,9,13
集合概念、表示及综合应用 7,10,12,14
区间 2
基础巩固
1.下列给出的对象中能构成集合的是(　C　)
A.著名的物理学家
B.很大的数
C.小于3的实数
D.直角坐标平面内第一象限的一些点
解析:A,B,D不具有确定性,C有确定性.故选C.
2.下列五个关系中,正确的个数为(　D　)
①∈Q;② Q;③π∈R;④|-3| N;⑤-∈Z.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:①②③⑤正确,④错误.故选D.
3.集合{x|x≥2}表示成区间是(　B　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
解析:集合{x|x≥2}表示成区间是[2,+∞),故选B.
4.(多选题)下列集合中表示数集的是(　ABC　)
A.{0} B.{y|y2=0}
C.{x|x=0} D.{x=0}
解析:A,B,C选项中集合的元素都是数,且都只有一个元素0,而D选项中集合的元素是式子x=0.故D选项中的集合不是数集,A,B,C选项中的集合是数集.故选ABC.
5.将集合{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N}用列举法表示为　　　　 　.
解析:因为2x+3y=16,所以3y=16-2x=2(8-x),且x,y∈N,所以y为偶数且y≤5.当y=4时,x=2;当y=2时,x=5;当y=0时,x=8.
答案:{(2,4),(5,2),(8,0)}
6.集合B={1,3,4},若a∈B,且8-a∈B,那么a的值为　　　　.
解析:当a=1时,8-a=7 B,不满足题意.
当a=3时,8-a=5 B,不满足题意.
当a=4时,8-a=4,满足题意.所以a的值为4.
答案:4
7.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;
(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合.
解:(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3,所以方程的解集为{(2,-3)}.
(2)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N且x<
1 000}.
(3)“二次函数y=x2-10图象上的所有点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.
能力提升
8.(多选题)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,
x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是(　ABC　)
A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B
C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A
解析:由题意,可知集合A表示奇数集,B表示偶数集,所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x1+x2+x3应为偶数,即x1+x2+x3 A.故选ABC.
9.(2021·山东邹城高一期中)设集合A={x|x2-x-2=0},
B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是(　B　)
A.{-4,4} B.{-4,-1,1,4}
C.{0,1} D.{-1,1}
解析:解方程x2-x-2=0得x=2或x=-1.
因为y∈A,所以y=2或y=-1.
因此,|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,
故x=±4或x=±1,
所以B={-4,-1,1,4}.故选B.
10.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},当集合A只有一个元素时,实数a的取值的集合为　　　　,当集合A有两个元素时,实数a的取值的集合为　　　　　　　　　　.
解析:若集合A中只有一个元素,
则当a=0时,ax2-3x+2=0,
即x=,A={},符合题意;
当a≠0时,只要Δ=9-8a=0,得a=,
所以a=0或,
所以a的取值的集合为{0,};
若集合A中有两个元素,
则a≠0,且Δ=9-8a>0,
解得a<,且a≠0,
所以a的取值的集合为{a|a<,且a≠0}.
答案:{0,}　{a|a<,且a≠0}
11.若-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为　　　　.
解析:因为-5∈{x|x2-ax-5=0},
所以(-5)2+5a-5=0,所以a=-4,
所以集合{x|x2-4x-a=0}={x|x2-4x+4=0}={x|(x-2)2=0}={2}.
答案:2
12.已知集合A={-1,0,1},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=　　　　.
解析:因为x∈A,所以当x=-1时,y=|x|=1;
当x=0时,y=|x|=0;当x=1时,y=|x|=1.
所以B={0,1}.
答案:{0,1}
13.已知集合P={a,ab,ab-1},Q={0,|a|,b}且P=Q,求(a+)+
(a2+)+…+(a2 022+)的值.
解:由已知条件,知a≠0,b≠0且ab-1=0,
即ab=1,
因为1∈P且P=Q,所以1∈Q,
所以或解得或
当a=b=1时,Q={1,1,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去,所以a=b=-1,将a=b=-1代入所求式,得-2+2-2+…+2=0.
应用创新
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}　　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集　　　　(答案不唯一).
解析:由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1,故可取的集合有{1,2,},{-1,3,}等.
答案:不是　{1,2,}
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