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1.1.3　集合的交与并
核心知识目标 核心素养目标
理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 1.通过对并集、交集、补集的学习,学会运用自然语言、图形语言、符号语言进行表达和转换,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.通过Venn图和数轴的使用,体会图形对理解抽象概念的作用,增强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.两个集合的交
(1)定义:一般地,把 的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 ,读作“A交B”.
(2)符号语言表示为A∩B= .
(3)图形语言表示为
知识探究
所有既属于A又属于B
A∩B
{x|x∈A,且x∈B}
2.两个集合的并
(1)定义:把集合A,B中的元素 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 ,读作“A并B”.
(2)符号语言表示为A∪B= .
(3)图形语言表示为
放在一起
A∪B
{x|x∈A,或x∈B}
3.交集、并集的运算性质
=
=
A
A
A
A
B
小试身手
B
解析:由集合A={-1,0,1},B={0,2},
可知A∩B={0}.故选B.
{a,b,c,d,e,f}
{x|x是正方形}
2.已知A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},则A∪B=　　　 　　　.
3.已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},则A∩B=　　 　　.
4.已知A={x|-3解析:如图可知,
A∩B={x|-2≤x<1},A∪B={x|-3答案:{x|-2≤x<1}　{x|-3课堂探究·素养培育
[例1] (1)(2022·浙江杭州高一期中)已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于(　　)
A.{2,1} B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)} D.(2,1)
探究点一
交集运算
答案:(1)C
(2)若集合A={x|-1解:(2)借助数轴可知,A∩B={x|-1答案:(2){x|-1[即时训练1-1] (1)A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
解析:(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},
又题图中阴影表示的集合是A∩B,所以为{2}.
故选A.
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析:(2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示,由交集的定义知,
A∩B={x|0≤x≤2}.故选A.
方法总结
用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,根据交集的定义写出结果.
易错警示
求解集合交集问题,必须先明确集合中元素的性质,明确是数集还是点集等,然后准确写出集合的交集.
[例2] (1)若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B等于(　　)
A.{1} B.{1,2}
C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2}
探究点二
并集运算
解析:(1)集合A={-1,1},集合B={1,2},则集合A∪B={-1,1,2}.故选C.
(2)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于(　　)
A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2}
C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3}
解析:(2)解不等式3x-7≥8-2x,可得x≥3,因此集合B={x|x≥3}.又集合A={x|2≤x<4},如图,由图可得A∪B={x|x≥2}.故选B.
[即时训练2-1] (1)已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N等于
(　　)
A.{0} B.{0,3}
C.{1,3,9} D.{0,1,3,9}
解析:(1)易知N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.故选D.
(2)已知集合A={x|0≤x<7},B={x|x<5},则A∪B等于(　　)
A.{x|x<7} B.{x|x<0}
C.{x|5解析:(2)用数轴表示A∪B,如图所示的阴影部分.
则A∪B={x|x<7}.故选A.
[即时训练2-2] 设集合A={x|-1解析:在数轴上表示A∪B如图所示,
A∪B={x|-1因此a=3.
答案:3
方法总结
两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一次.求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合,而对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.
[例3] (1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求:( UA)∩( UB),
A∩( UB),( UA)∪B;
探究点三
集合并、交、补的综合运算
解:(1)法一　因为 UA={1,2,6,7,8}, UB={1,2,3,5,6},
所以( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二　画出Venn图,如图所示,可得( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},
( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2解:(2)把集合A,B在数轴上表示如图.
由图知 RB={x|x≤2或x≥10},
A∪B={x|2所以 R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
因为 RA={x|x<3或x≥7},
所以( RA)∩B={x|2[变式训练3-1] 在本例(1)中,分别求出 U(A∩B), U(A∪B),( UA)∪( UB),并寻找其中的规律.
解:因为A={3,4,5},B={4,7,8},
所以A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},
所以 U(A∩B)={1,2,3,5,6,7,8},
U(A∪B)={1,2,6},
又( UA)∪( UB)={1,2,6,7,8}∪{1,2,3,5,6}={1,2,3,5,6,7,8},
由例题(1)及本题结论知 U(A∪B)=( UA)∩( UB), U(A∩B)=( UA)∪( UB).
[即时训练3-1] (1)设集合U={不大于10的自然数},A,B是U的两个子集,若A∩B={5,7},( UA)∩( UB)={0,2,4,9}, UA∩B={1,8},则集合A=　　　　,
B=　　　　　　　.
(1)解析:Venn图如图,则集合A={3,6,10,5,7},B={5,7,1,8}.
答案:{3,6,10,5,7}　{5,7,1,8}
(2)设全集U={x|x≤4},集合A={x|-2( UA)∪B,A∩( UB).
(2)解:如图所示,
因为A={x|-2所以 UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
UB={x|x<-3或2A∩B={x|-2所以( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩( UB)={x|2方法总结
集合交、并、补综合运算的方法
注意:涉及补集的有关运算应先求集合的补集.
[例4] 已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
探究点四
根据集合的运算求参数
答案:(1)ABC
答案:(2){m|m≤-5或4(2)已知集合A={x|-2方法总结
备用例题
解析:解方程x2-(a+2)x+2a=0,
得x=2或x=a,则A={2,a}或A={2},
解方程x2-5x+4=0,
得x=1或x=4,则B={1,4}.
①当a=0时,A={0,2},B={1,4},A∪B={0,1,2,4},其元素之和为0+1+2+4=7.
②当a=1时,A={1,2},B={1,4},A∪B={1,2,4},其元素之和为1+2+4=7.
③当a=2时,A={2},B={1,4},A∪B={1,2,4},其元素之和为1+2+4=7.
④当a=4时,A={2,4},B={1,4},A∪B={1,2,4},其元素之和为1+2+4=7,
则实数a的取值集合为{0,1,2,4}.
故选ABD.
[例2] 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的有　　　人.
解析:设只爱好音乐的人数为x人,两者都爱好的人数为y人,只爱好体育的人数为z人,作Venn图如图,则x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.故答案为26.
答案:26
[例3] 已知M={x|x2-2x-3=0},N={x|x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求实数a的取值范围.
课堂达标
解析:因为A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A∩B={2}.故选B.
B
D
解析:把集合A和集合B中的解集表示在数轴上,如图所示,则A∪B={x|-2<
x<3}.故选D.
3.已知A={a,b,c},则满足A∪B=A的集合B有　　　个,满足A∩C=C的集合C有　 个.
解析:因为A∪B=A,所以B A,
所以集合B是集合A的子集,有23=8(个),
又因为A∩C=C,所以C A,
所以集合C是集合A的子集,有23=8(个).
答案:8　8
4.已知集合A={x|23　
{a|2≤a<4}1.1.3　集合的交与并
核心知识目标 核心素养目标
理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 1.通过对并集、交集、补集的学习,学会运用自然语言、图形语言、符号语言进行表达和转换,培养数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 2.通过Venn图和数轴的使用,体会图形对理解抽象概念的作用,增强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.两个集合的交
(1)定义:一般地,把所有既属于A又属于B的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.
(2)符号语言表示为A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(3)图形语言表示为
2.两个集合的并
(1)定义:把集合A,B中的元素放在一起组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.
(2)符号语言表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)图形语言表示为
3.交集、并集的运算性质
交集的运算性质 并集的运算性质
A∩B=B∩A A∪B=B∪A
A∩A=A A∪A=A
A∩= A∪=A
A B A∩B=A A B A∪B=B
1.已知集合A={-1,0,1},B={0,2},则A∩B等于(　B　)
A. B.{0}
C.{-1,0} D.{-1,0,1}
解析:由集合A={-1,0,1},B={0,2},
可知A∩B={0}.故选B.
2.已知A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},则A∪B=　　　　　　.
答案:{a,b,c,d,e,f}
3.已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},则A∩B=　　　　.
答案:{x|x是正方形}
4.已知A={x|-3解析:如图可知,
A∩B={x|-2≤x<1},A∪B={x|-3答案:{x|-2≤x<1}　{x|-3　交集运算
[例1] (1)(2022·浙江杭州高一期中)已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于(　　)
A.{2,1} B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)} D.(2,1)
(2)若集合A={x|-1解析:(1)A∩B=
={(x,y)|={(2,1)}.故选C.
(2)借助数轴可知,
A∩B={x|-1答案:(1)C　(2){x|-1[即时训练1-1]
(1)A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(　　)
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
解析:(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},
又题图中阴影表示的集合是A∩B,所以为{2}.
故选A.
(2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示,由交集的定义知,A∩B={x|0≤x≤2}.故选A.
[即时训练1-2] 设集合A={a,a2,0},B={2,4},若A∩B={2},则实数a的值为(　　)
A.2 B.±2
C. D.±
解析:因为A∩B={2},所以a=2或a2=2.
当a=2时,A={2,4,0},A∩B={2,4},不合题意,舍去;当a=时,A={,2,0},A∩B={2},满足题意;当a=-时,A={-,2,0},A∩B={2},满足题意.综上,a=±.故选D.
用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,根据交集的定义写出结果.
求解集合交集问题,必须先明确集合中元素的性质,明确是数集还是点集等,然后准确写出集合的交集.
　并集运算
[例2] (1)若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B等于(　　)
A.{1} B.{1,2}
C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2}
(2)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于(　　)
A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2}
C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3}
解析:(1)集合A={-1,1},集合B={1,2},则集合A∪B={-1,1,2}.故选C.
(2)解不等式3x-7≥8-2x,可得x≥3,因此集合B={x|x≥3}.又集合A={x|2≤x<4},如图,由图可得A∪B={x|x≥2}.故选B.
[即时训练2-1] (1)已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N等于(　　)
A.{0} B.{0,3}
C.{1,3,9} D.{0,1,3,9}
(2)已知集合A={x|0≤x<7},B={x|x<5},则A∪B等于(　　)
A.{x|x<7} B.{x|x<0}
C.{x|5解析:(1)易知N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}.故选D.
(2)
用数轴表示A∪B,如图所示的阴影部分.
则A∪B={x|x<7}.故选A.
[即时训练2-2] 设集合A={x|-1解析:
在数轴上表示A∪B如图所示,A∪B={x|-1因此a=3.
答案:3
两个集合的并集仍是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的,它们的公共元素在并集中只能出现一次.求集合的并集时,若集合不是最简形式,需要先化简集合,而对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题.
　集合并、交、补的综合运算
[例3] (1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求:( UA)∩( UB),A∩( UB),( UA)∪B;
(2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2解:(1)法一　因为 UA={1,2,6,7,8},
UB={1,2,3,5,6},
所以( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二　
画出Venn图,如图所示,可得( UA)∩( UB)={1,2,6},
A∩( UB)={3,5},
( UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
(2)把集合A,B在数轴上表示如图.
由图知 RB={x|x≤2或x≥10},
A∪B={x|2所以 R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
因为 RA={x|x<3或x≥7},
所以( RA)∩B={x|2[变式训练3-1] 在本例(1)中,分别求出 U(A∩B), U(A∪B),( UA)∪( UB),并寻找其中的规律.
解:因为A={3,4,5},B={4,7,8},
所以A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},
所以 U(A∩B)={1,2,3,5,6,7,8},
U(A∪B)={1,2,6},
又( UA)∪( UB)={1,2,6,7,8}∪{1,2,3,5,6}={1,2,3,5,6,7,8},
由例题(1)及本题结论知 U(A∪B)=( UA)∩( UB), U(A∩B)=( UA)∪( UB).
[即时训练3-1] (1)设集合U={不大于10的自然数},A,B是U的两个子集,若A∩B={5,7},( UA)∩( UB)={0,2,4,9}, UA∩B={1,8},则集合A=　　　　　　,B=　　　　　　　.
(2)设全集U={x|x≤4},集合A={x|-2(1)解析:Venn图如图,则集合A={3,6,10,5,7},B={5,7,1,8}.
答案:{3,6,10,5,7}　{5,7,1,8}
(2)解:如图所示,
因为A={x|-2所以 UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
UB={x|x<-3或2A∩B={x|-2所以( UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩( UB)={x|2集合交、并、补综合运算的方法
注意:涉及补集的有关运算应先求集合的补集.
根据集合的运算求参数
[例4] 已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求实数m的取值范围.
解:因为A∪B=A,所以B A.
因为A={x|0≤x≤4}≠,
所以B=或B≠.
当B=时,有m+1>1-m,解得m>0.
当B≠时,用数轴表示集合A和B,如图所示,
因为B A,
所以
解得-1≤m≤0,
检验知m=-1,m=0符合题意.
综上所得,m>0或-1≤m≤0,即实数m的取值范围是{m|m≥-1}.
[即时训练4-1] (1)(多选题)设A={x|x2-x-2=0},B={x|ax-1=0},A∩B=B,则实数a的值可以为(　　)
A. B.0 C.-1 D.-
(2)已知集合A={x|-2解析:(1)因为A={x|x2-x-2=0}={-1,2},
当a=0时,B=,满足A∩B=B,
当a≠0时,B={x|ax-1=0}={},A∩B=B,所以B A,
所以B={-1}或B={2},
所以=-1,或=2,
解得a=-1或a=,
所以实数a的值可以为0,-1,.
故选ABC.
(2)由A∪B=A得B A,
当B=时,有m-6≥2m-1,则m≤-5;
当B≠时,有解得4综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤-5或 4答案:(1)ABC　(2){m|m≤-5或4在利用集合的交集、并集性质解题时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=的情况,切不可漏掉.
[例1] (多选题)设集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0},B={x|x2-5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为7,则实数a的值为(　　)
A.0 B.1或2 C.3 D.4
解析:解方程x2-(a+2)x+2a=0,
得x=2或x=a,则A={2,a}或A={2},
解方程x2-5x+4=0,
得x=1或x=4,则B={1,4}.
①当a=0时,A={0,2},B={1,4},A∪B={0,1,2,4},其元素之和为0+1+2+4=7.
②当a=1时,A={1,2},B={1,4},A∪B={1,2,4},其元素之和为1+2+4=7.
③当a=2时,A={2},B={1,4},A∪B={1,2,4},其元素之和为1+2+4=7.
④当a=4时,A={2,4},B={1,4},A∪B={1,2,4},其元素之和为1+2+4=7,
则实数a的取值集合为{0,1,2,4}.
故选ABD.
[例2] 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中既爱好体育又爱好音乐的有　　　　人.
解析:
设只爱好音乐的人数为x人,两者都爱好的人数为y人,只爱好体育的人数为z人,作Venn图如图,则x+y+z=55-4=51,x+y=34,y+z=43,故y=(34+43)-51=26.故答案为26.
答案:26
[例3] 已知M={x|x2-2x-3=0},N={x|x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求实数a的取值范围.
解:M={x|x2-2x-3=0}={3,-1}.
(1)当N=时,N M成立,
所以Δ=a2-4<0,所以-2(2)当N≠时,
因为N M,所以3∈N或-1∈N.
当3∈N时,32+3a+1=0,
即a=-,N={3,},不满足N M;
当-1∈N时,(-1)2-a+1=0,
即a=2,N={-1},满足N M.
综上所述,实数a的取值范围是{a|-21.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B等于(　B　)
A. B.{2} C.{0} D.{-2}
解析:因为A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A∩B={2}.故选B.
2.集合A={x|-2A.{x|-2C.{x|-2解析:把集合A和集合B中的解集表示在数轴上,如图所示,则A∪B={x|-23.已知A={a,b,c},则满足A∪B=A的集合B有　　　个,满足A∩C=C的集合C有　个.
解析:因为A∪B=A,所以B A,
所以集合B是集合A的子集,有23=8(个),
又因为A∩C=C,所以C A,
所以集合C是集合A的子集,有23=8(个).
答案:8　8
4.已知集合A={x|2答案:3　{a|2≤a<4}
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的交集、并集运算 1,4,6
含参数的集合交、并集运算 2,3,5,9,10
集合交、并集运算的 性质及综合应用 7,8,11,12,13
基础巩固
1.已知集合A={x|x2-5x-14=0},B={-2,0,2},则A∩B等于(　A　)
A.{-2} B.{2}
C.{-2,0,2,7} D.
解析:因为A={-2,7},B={-2,0,2},所以A∩B={-2}.故选A.
2.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于(　A　)
A.-1 B.1
C.0 D.2
解析:因为A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},所以-1∈B,所以m=-1,故选A.
3.(多选题)已知集合A={3,1,2},B={1,a},若A∩B=B,则实数a的取值可以是(　AB　)
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:因为A∩B=B,所以B A,所以a=2或3,即实数a的取值可以是2或3.故选AB.
4.(2021·安徽高一联考)已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},
B={(x,y)|y=4x-4},则A∩B等于(　D　)
A.x=2,y=4 B.(2,4)
C.{2,4} D.{(2,4)}
解析: x2=4x-4,得x=2,y=4,所以A∩B={(2,4)}.故选D.
5.若集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},
由A∩B≠,得a≥-1.
答案:{a|a≥-1}
6.已知集合A={0,2,4,6,8},集合B={0,1,2,3,4,5},集合C={4,5,6},则(A∩B)∪C=　　　　,(A∪B)∩C=　　　　.
解析:因为A∩B={0,2,4},
所以(A∩B)∪C={0,2,4,5,6},
又因为A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},
所以(A∪B)∩C={4,5,6}.
答案:{0,2,4,5,6}　{4,5,6}
能力提升
7.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x A∩B},已知
A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于(　C　)
A.{x|1≤x<3} B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3} D.{x|0≤x≤1或x≥3}
解析:由题意知A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},所以A*B={x|0≤x<1或x>3}.故选C.
8.(多选题)设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩
( UB)={1,5},则下列结论正确的是(　AD　)
A.3∈A B.3∈B
C.3 A D.3 B
解析:因为U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩
( UB)={1,5},
画出满足题意的Venn图如图所示.
所以A={2,3},B={2,4},则3∈A且3 B,故选AD.
9.(多选题)设集合A={1,4,x},B={1,x2}且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的值可以是(　ABD　)
A.0 B.2
C.3 D.-2
解析:因为A={1,4,x},所以x≠1,x≠4且x2≠1,
得x≠±1且x≠4,因为A∪B={1,4,x},所以x2=x或x2=4,解得x=0或x=±2,满足条件的实数x有0,2,-2,共3个.选ABD.
10.(2021·湖北宜昌期中)已知集合A={1,3},B={a,a2+3},若A∩B=
{3},则实数a的值为　　　　.
解析:由集合A={1,3},B={a,a2+3},
又A∩B={3},则有或
解得a=3或a=0.
答案:3或0
11.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且 U(A∪B)={4},
B={1,2},则A∩( UB)=　　　　.
解析:因为U={1,2,3,4}, U(A∪B)={4},
所以A∪B={1,2,3},又因为B={1,2},
所以{3} A {1,2,3}.又 UB={3,4},
所以A∩( UB)={3}.
答案:{3}
12.已知集合A={x|20)}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B=,求a的取值范围.
解:(1)因为A∪B=B,所以A B,
观察数轴可知,所以≤a≤2.
(2)A∩B=有两类情况:B在A的左边和B在A的右边,如图.观察数轴可知,a≥4或3a≤2,又a>0,
所以0应用创新
13.(多选题)我们把含有限个元素的集合A叫作有限集,用card(A)表示有限集A中元素的个数.例如,A={x,y,z},则card(A)=3.若非空集合M,N满足card(M)=card(N),且M N,则下列说法正确的是(　ABC　)
A.M∪N=M B.M∩N=N
C.M∪N=N D.M∩N=
解析:根据card(M)=card(N),且M N得,M=N;所以M∪N=M,M∪N=N,
M∩N=N正确,显然M∩N=不正确,因为M,N不是空集.故选ABC.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.3　集合的交与并
选题明细表
知识点、方法 题号
集合的交集、并集运算 1,4,6
含参数的集合交、并集运算 2,3,5,9,10
集合交、并集运算的 性质及综合应用 7,8,11,12,13
基础巩固
1.已知集合A={x|x2-5x-14=0},B={-2,0,2},则A∩B等于(　A　)
A.{-2} B.{2}
C.{-2,0,2,7} D.
解析:因为A={-2,7},B={-2,0,2},所以A∩B={-2}.故选A.
2.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于(　A　)
A.-1 B.1
C.0 D.2
解析:因为A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},所以-1∈B,所以m=-1,故选A.
3.(多选题)已知集合A={3,1,2},B={1,a},若A∩B=B,则实数a的取值可以是(　AB　)
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:因为A∩B=B,所以B A,所以a=2或3,即实数a的取值可以是2或3.故选AB.
4.(2021·安徽高一联考)已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},
B={(x,y)|y=4x-4},则A∩B等于(　D　)
A.x=2,y=4 B.(2,4)
C.{2,4} D.{(2,4)}
解析: x2=4x-4,得x=2,y=4,所以A∩B={(2,4)}.故选D.
5.若集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},
由A∩B≠,得a≥-1.
答案:{a|a≥-1}
6.已知集合A={0,2,4,6,8},集合B={0,1,2,3,4,5},集合C={4,5,6},则(A∩B)∪C=　　　　,(A∪B)∩C=　　　　.
解析:因为A∩B={0,2,4},
所以(A∩B)∪C={0,2,4,5,6},
又因为A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},
所以(A∪B)∩C={4,5,6}.
答案:{0,2,4,5,6}　{4,5,6}
能力提升
7.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x A∩B},已知
A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于(　C　)
A.{x|1≤x<3} B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3} D.{x|0≤x≤1或x≥3}
解析:由题意知A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},所以A*B={x|0≤x<1或x>3}.故选C.
8.(多选题)设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩
( UB)={1,5},则下列结论正确的是(　AD　)
A.3∈A B.3∈B
C.3 A D.3 B
解析:因为U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩
( UB)={1,5},
画出满足题意的Venn图如图所示.
所以A={2,3},B={2,4},则3∈A且3 B,故选AD.
9.(多选题)设集合A={1,4,x},B={1,x2}且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的值可以是(　ABD　)
A.0 B.2
C.3 D.-2
解析:因为A={1,4,x},所以x≠1,x≠4且x2≠1,
得x≠±1且x≠4,因为A∪B={1,4,x},所以x2=x或x2=4,解得x=0或x=±2,满足条件的实数x有0,2,-2,共3个.选ABD.
10.(2021·湖北宜昌期中)已知集合A={1,3},B={a,a2+3},若A∩B=
{3},则实数a的值为　　　　.
解析:由集合A={1,3},B={a,a2+3},
又A∩B={3},则有或
解得a=3或a=0.
答案:3或0
11.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且 U(A∪B)={4},
B={1,2},则A∩( UB)=　　　　.
解析:因为U={1,2,3,4}, U(A∪B)={4},
所以A∪B={1,2,3},又因为B={1,2},
所以{3} A {1,2,3}.又 UB={3,4},
所以A∩( UB)={3}.
答案:{3}
12.已知集合A={x|20)}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B=,求a的取值范围.
解:(1)因为A∪B=B,所以A B,
观察数轴可知,所以≤a≤2.
(2)A∩B=有两类情况:B在A的左边和B在A的右边,如图.观察数轴可知,a≥4或3a≤2,又a>0,
所以0应用创新
13.(多选题)我们把含有限个元素的集合A叫作有限集,用card(A)表示有限集A中元素的个数.例如,A={x,y,z},则card(A)=3.若非空集合M,N满足card(M)=card(N),且M N,则下列说法正确的是(　ABC　)
A.M∪N=M B.M∩N=N
C.M∪N=N D.M∩N=
解析:根据card(M)=card(N),且M N得,M=N;所以M∪N=M,M∪N=N,
M∩N=N正确,显然M∩N=不正确,因为M,N不是空集.故选ABC.
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