资源简介

1.2.3　全称量词和存在量词
核心知识目标 核心素养目标
1.通过已知的数学实例,理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的意义. 2.掌握判断全称命题和特称命题真假的基本原则和方法. 3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定. 4.能正确使用全称量词对特称命题进行否定. 5.会判断全称命题和特称命题的否定的真假. 1.通过对全称量词与存在量词、全称命题和特称命题等概念的学习,发展数学抽象的核心素养. 2.通过判断全称命题和特称命题的真假,增强逻辑推理的核心素养. 3.通过全称命题与特称命题的否定的学习,发展数学抽象、逻辑推理的核心素养. 4.通过全称命题与特称命题的否定的应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.全称量词与全称命题
全称 量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词
符号表示
全称 命题 定义 含有全称量词的命题,叫作全称命题
一般形式 对M的任一个元素x,有p(x)成立
符号表示 x∈M,p(x)
2.存在量词与特称命题
存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词
符号表示
特称 命题 定义 含有存在量词的命题,叫作特称命题
一般形式 存在M的某个元素x,使p(x)成立
符号表示 x∈M,p(x)
3.全称命题的否定
全称 命题 全称命题的否定 结论
x∈I, p(x) x∈I, ﹁p(x) 全称命题的否定是特称命题
4.特称命题的否定
特称 命题 特称命题 的否定 结论
x∈I, p(x) x∈I, ﹁p(x) 特称命题的否定是全称命题
1.下列命题是特称命题的是(　B　)
A.任意给定实数x,x2≥0
B.存在有理数x,使得3x-2=0
C.每一个有理数都能写成分数的形式
D.所有的自然数都大于或等于零
2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　C　)
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b
D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立
解析:选项B,D是特称命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故应选C.
3.(2022·辽宁葫芦岛高一期中)命题“ x≥0,x2-1≥-1”的否定是(　C　)
A. x≥0,x2-1<-1 B. x<0,x2-1<-1
C. x≥0,x2-1<-1 D. x<0,x2-1<-1
解析:所给命题为全称命题,故其否定为特称命题,同时要否定结论,所以所给命题的否定为 x≥0,x2-1<-1.故选C.
4.(2022·山东潍坊高一期中)命题“ x>0,x+≥3”的否定是(　C　)
A. x>0,x+≤3
B. x>0,x+<3
C. x>0,x+<3
D. x>0,x+≤3
解析:原命题为特称命题,因此其否定为全称命题,选C.
　全称命题与特称命题的判定
[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)有一个实数a不能有平方根;
(2)所有不等式的解集A,都满足A R;
(3)不相交的两条直线是平行直线;
(4)锐角三角形的内角是锐角或钝角;
(5)负数的平方是正数.
解:(1)中因为含有存在量词“有一个”,所以命题(1)为特称命题.
(2)含有全称量词,所以(2)为全称命题.
(3)可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”,因此是全称命题.
(4)省略了“所有”,因此“锐角三角形的内角是锐角或钝角”是全称命题.
(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称命题.
[即时训练1-1] 判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)矩形的对角线不相等;
(3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
(4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(5)方程3x-2y=10有整数解.
解:(1)可以改为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,故为全称命题.
(2)可以改为“所有矩形的对角线不相等”,故为全称命题.
(3)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
(4)含存在量词“有些”,故为特称命题.
(5)可改写为“存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立”.故为特称命题.
(1)判断一个命题是否为全称命题或特称命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.
(2)要注意有些全称命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称命题或特称命题的表述方法可能不同.
全称命题可能省略全称量词,特称命题的存在量词一般不能省略.
　全称命题与特称命题真假的判断
[例2] 判断下列命题的真假:
(1) x∈R,x2+1>0;(2) x∈N,≥1;
(3) x∈Z,x3<1;(4) x∈Q,x2=3.
解:(1)由于 x∈R,都有x2≥0,因而有x2+1≥1>0.
因此命题“ x∈R,x2+1>0”是真命题.
(2)由于0∈N,而且当x=0时,≥1不成立.
因此命题“ x∈N,≥1”是假命题.
(3)由于-1∈Z,而且当x=-1时,有(-1)3<1.
因此命题“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(4)由于使x2=3成立的数只有和-,而它们都不是有理数,因而没有任何一个有理数的平方能等于3.
因此命题“ x∈Q,x2=3”是假命题.
[即时训练2-1] (多选题)下面的命题中是真命题的是(　　)
A. x∈R,|x|>0 B. x∈N,x≥1
C. x∈Z,x3<1 D. x∈Q,≤0
解析:对A,由于 x∈R,都有|x|≥0,所以命题“ x∈R,|x|>0”是假命题.
对B,由于0∈N,所以命题“ x∈N,x≥1”是假命题.
对C,由于-1∈Z,且当x=-1时,x3<1成立,所以命题“ x∈Z,x3<1”是真命题.
对D,由于0∈Q,且=0,所以命题“ x∈Q,≤0”是真命题.故选CD.
全称命题与特称命题的真假判定的技巧
(1)全称命题的真假判定
要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)特称命题的真假判定
要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
　全称命题的否定与真假判断
[例3] 写出下列全称命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1) x∈R,x不是5x-12=0的根;
(2)任意x∈R,x2-x+1≥0;
(3)等圆的面积相等,周长相等;
(4)对任意实数a,都不能使a2+1=0成立.
解:(1)原命题的否定是 x∈R,x是5x-12=0的根.它是真命题.
(2)原命题的否定是存在x∈R,x2-x+1<0.
因为Δ=1-4=-3<0,所以x2-x+1>0恒成立,故原命题为真命题,所以其否定为假命题.
(3)原命题的否定是存在一对等圆,它们的面积不相等,或周长不相等.
因为原命题是真命题,所以其否定是假命题.
(4)原命题的否定是存在一个实数a,能使a2+1=0成立.它是假命题.
[即时训练3-1] 写出下列全称命题的否定,并判断真假.
(1)所有矩形的对角线相等;
(2)不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根;
(3)p: x∈R,|x|+x2≥0.
解:(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等.假命题.
(2)该命题的否定:存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根.当Δ=1+4m<0,即m<-时,方程没有实数根,故为真命题.
(3)﹁p: x∈R,|x|+x2<0.因为p为真命题,所以﹁p是假命题.
(1)对全称命题否定的两个步骤
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
(2)全称命题否定后的真假判断方法
若全称命题为真命题,其否定就是假命题;若全称命题为假命题,其否定就是真命题.
对于全称命题中省略量词的要在其否定中添加相应的量词.
　特称命题的否定与真假判断
[例4] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p: a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点;
(2)q:至少有一个直角三角形不是等腰三角形;
(3)s:有些三角形是锐角三角形;
(4)t:存在一个最大的内角小于60°的三角形.
解:(1)﹁p: a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点.因为当a=0时,一次函数y=x+a的图象经过原点,所以﹁p是假命题.
(2)﹁q:所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形,所以﹁q是假命题.
(3)﹁s:所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形),假命题.
(4)﹁t:所有三角形的最大内角都大于或等于60°,真命题.
[即时训练4-1] 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.
(1)某些梯形的对角线互相平分;
(2) x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
(3)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.
解:(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2)真命题. x∈{x|x是无理数},x2不是无理数.
(3)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
(1)对特称命题否定的两个步骤
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词;
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.
(2)特称命题否定后的真假判断
特称命题的否定是全称命题,其真假性与特称命题相反;要说明一个特称命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
根据命题的否定求参数的取值范围
[例5] 已知命题p: x∈R,ax2+2x+1≠0,q: x∈R,ax2+ax+1≤0.
(1)若﹁p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若﹁q为真命题,求实数a的取值范围.
解:(1)因为命题p: x∈R,ax2+2x+1≠0,
所以﹁p: x∈R,ax2+2x+1=0.
因为﹁p为真命题,
所以a=0,或
所以a≤1,
即实数a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)因为命题q: x∈R,ax2+ax+1≤0.
所以﹁q: x∈R,ax2+ax+1>0.
因为﹁q为真命题,
所以a=0,或
解得a=0,或0所以0≤a<4,
即实数a的取值范围为{a|0≤a<4}.
[即时训练5-1] 已知命题p: x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q: x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.
解:命题p: x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,则Δ≤0,可得-1≤a≤3;
命题q: x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,
所以﹁q: x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,
当a=0时,-3<0成立;
当a<0时,Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,
所以-3≤a≤0,
因为p假q真,所以
所以-3≤a<-1,
所以a的取值范围为{a|-3≤a<-1}.
根据含参数的命题真假求参数范围问题,若全称命题为真命题,可以利用“任意性”直接求解,而涉及“特称命题”为假命题时,可利用其否定为真命题,转化为全称命题为真命题求解.
[例1] 命题“ x∈R,x2+ax+4>0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≥4 B.a≤-4
C.a≤-4或a≥4 D.-4≤a≤4
解析:由题意命题“ x∈R,x2+ax+4≤0”为真命题,所以Δ=a2-16≥0,所以a≥4或a≤-4.故选C.
[例2] 已知命题“ x∈R,2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是　.
解析:由题意可得“对 x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立”是真命题,
令Δ=(a-1)2-4<0得-1答案:{a|-1[例3] 判断下列命题的真假.
(1) x,y为正实数,使x2+y2=0;
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)存在两个无理数,它们的乘积是有理数.
解:(1)由于x2+y2=0时,x=y=0,因此不存在正实数x,y使x2+y2=0,故为假命题.
(2)真命题,如梯形.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)由于x=+1,y=-1时,xy=(+1)(-1)=2,因此是真命题.
[例4] 若“ x∈{x|x≥a},x2≥1”是真命题,求实数a的取值范围.
解:因为x2≥1,
所以x≥1或x≤-1.
又x∈{x|x≥a},
则{x|x≥a} {x|x≥1}.
故a≥1.即实数a的取值范围为{a|a≥1}.
[例5] 已知集合M={x|a≤x≤a+1},且“ x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围.
解: x∈M,x+1>0恒成立,
则只需{x|a+1≤x+1≤a+2}中的a+1>0即可,即a>-1.
所以实数a的取值范围为{a|a>-1}.
1.(多选题)下列语句是全称命题的是(　ABD　)
A.任何一个实数乘零都等于零
B.直角三角形三边长都满足勾股定理
C.高一(1)班绝大多数同学是团员
D.所有二次函数的图象都开口向上
解析: “高一(1)班绝大多数同学是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是特称命题.
2.下列命题是特称命题的是(　D　)
A.二次函数的图象关于y轴对称
B.正方形都是平行四边形
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
解析:“存在”是存在量词.故选D.
3.(2022·湖南长沙高一期中)命题“ x0∈R,+x0+1<0”的否定为(　C　)
A. x0∈R,+x0+1≥0
B. x0∈R,+x0+1≤0
C. x∈R,x2+x+1≥0
D. x R,x2+x+1≥0
解析:由题意得原命题的否定为 x∈R,x2+x+1≥0.故选C.
4.命题“ x>-3,x2>9”的否定是　　　　,是　　　　命题(填“真”或“假”).
解析:由于该命题是一个全称命题,因此其否定是特称命题,因为原命题中“ x>-3时,x2>9”是假命题,故其否定为真命题.
答案: x>-3,x2≤9　真
选题明细表
知识点、方法 题号
全称命题及其真假 2,5,11,12
特称命题及其真假 1,6,7,9,10,13
全称命题的否定 3,8
特称命题的否定 4
基础巩固
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　B　)
A.直角三角形的内角有一个是90°
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
解析:A中“直角三角形的内角有一个是90°”是全称命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题.故
选B.
2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　C　)
A. x∈R,2x+1>0
B.若2x为偶数,则x∈N
C.所有菱形的四条边都相等
D.π是无理数
解析:对A,是全称命题,但不是真命题,故A不正确;对B,是全称命题,但不是真命题.如2x=-2是偶数,但x=-1 N,故B不正确;对C,是全称命题,也是真命题,故C正确;对D,是真命题,但不是全称命题,故D不正确,故选C.
3.命题“ x∈R,x2-2x+4<0”的否定为(　B　)
A. x∈R,x2-2x+4≥0
B. x0∈R,-2x0+4≥0
C. x R,x2-2x+4≥0
D. x0 R,-2x0+4≥0
解析:命题为全称命题,则命题的否定是特称命题,则命题的否定:
x0∈R,-2x0+4≥0,故选B.
4.命题“ x∈Q,|x|+x≥0”的否定是(　C　)
A. x∈Q,|x|+x<0
B. x∈( RQ),|x|+x<0
C. x∈Q,|x|+x<0
D. x∈Q,|x|+x≥0
解析:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“ x∈Q,|x|+x≥0”的否定是 x∈Q,|x|+x<0.故选C.
5.命题“ x>1,x>a”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.　
解析:“若x>1,则x>a”是真命题,
则{x|x>1} {x|x>a},所以a≤1.
答案:{a|a≤1}
6.若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　.
解析:因为命题 x∈R,x2-4x+a=0为假命题,所以方程x2-4x+a=0没有实数根,
则Δ=(-4)2-4a<0,
解得a>4.
答案:{a|a>4}
能力提升
7.已知命题“存在x∈{x|-1≤x≤1},-x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是(　D　)
A.{a|a>-} B.{a|a>4}
C.{a|-2-2}
解析:命题“存在-1≤x≤1,-x2+3x+a>0”为真命题,等价于a>x2-3x在{x|-1≤x≤1}上有解,令y=x2-3x(-1≤x≤1),则等价于a>ymin=-2,所以a>-2.故选D.
8.(多选题)下列命题的否定中,是全称命题且为真命题的是(　AC　)
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
解析:命题的否定是全称命题,即该命题为特称命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即该命题为假命题.又D为真命题,故选AC.
9.若“存在x∈R,使x2+2x+a<0”是假命题,则实数a的取值范围是(　C　)
A.{a|a<1} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|-1解析:由题意知函数y=x2+2x+a的图象有在x轴下方的部分,即Δ=
4-4a>0,解得a<1,由原命题是假命题知,实数a的范围是a≥1.故
选C.
10.已知命题p:“ x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是　　　　　　.
解析:因为“ x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,所以关于x的方程(a-5)x+1=0有实数解,
所以a-5≠0,即a≠5,所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠5}.
答案:{a∈R|a≠5}
11.已知命题p: x∈R,x2-2x+a≥0,命题q: x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
解析:因为x2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命题,则a-1≥0,即a≥1.
若q为假命题,则Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,即a>.故实数a的取值范围为a≥1.
答案:{a|a≥1}
12.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,并判断其真假.
(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在实数x,使得=2.
解:(1)特称命题,是假命题.
(2)当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数解,
当a=0,b≠0时,方程ax+b=0无解,
所以该命题是全称命题,是假命题.
(3)因为=2,
所以2x2-2x+1=0,Δ=4-4×2×1=-4<0,
所以不存在实数x,使得=2,
所以该命题是特称命题,是假命题.
应用创新
13.“ x∈{x|1≤x≤2},ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是(　B　)
A.a≤-1 B.a≤-
C.a≤-2 D.a≤0
解析:“ x∈{x|1≤x≤2},使ax2+1≤0”为真命题,等价于当x∈
{x|1≤x≤2}时,a≤(-)max,x∈{x|1≤x≤2}时,-1≤-≤-,所以(-)max=-.所以“ x∈{x|1≤x≤2},ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是a≤-.故选B.
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1.2.3　全称量词和存在量词
核心知识目标 核心素养目标
1.通过已知的数学实例,理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的意义.
2.掌握判断全称命题和特称命题真假的基本原则和方法.
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定.
4.能正确使用全称量词对特称命题进行否定.
5.会判断全称命题和特称命题的否定的真假. 1.通过对全称量词与存在量词、全称命题和特称命题等概念的学习,发展数学抽象的核心素养.
2.通过判断全称命题和特称命题的真假,增强逻辑推理的核心素养.
3.通过全称命题与特称命题的否定的学习,发展数学抽象、逻辑推理的核心素养.
4.通过全称命题与特称命题的否定的应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.全称量词与全称命题
知识探究
全称
量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词
符号表示 .
全称
命题 定义 含有 量词的命题,叫作全称命题
一般形式 对M的 ,有p(x)成立
符号表示 ,p(x)

全称
任一个元素x
x∈M
2.存在量词与特称命题
存在
量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词
符号表示 .
特称
命题 定义 含有 量词的命题,叫作特称命题
一般形式 M的某个元素x,使p(x)成立
符号表示 ,p(x)

存在
存在
x∈M
3.全称命题的否定
全称
命题 全称命题的否定 结论
x∈I,p(x) . 全称命题的否定是 .
命题
4.特称命题的否定
特称
命题 特称命题
的否定 结论
x∈I,p(x) . 特称命题的否定是 .
命题
x∈I,﹁p(x)
特称
x∈I,﹁p(x)
全称
小试身手
1.下列命题是特称命题的是(　　)
A.任意给定实数x,x2≥0
B.存在有理数x,使得3x-2=0
C.每一个有理数都能写成分数的形式
D.所有的自然数都大于或等于零
B
2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　 　)
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与已知直线不平行
C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b
D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立
解析:选项B,D是特称命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故应选C.
C
3.(2022·辽宁葫芦岛高一期中)命题“ x≥0,x2-1≥-1”的否定是(　 　)
A. x≥0,x2-1<-1 B. x<0,x2-1<-1
C. x≥0,x2-1<-1 D. x<0,x2-1<-1
解析:所给命题为全称命题,故其否定为特称命题,同时要否定结论,所以所给命题的否定为 x≥0,x2-1<-1.故选C.
C
解析:原命题为特称命题,因此其否定为全称命题,选C.
C
课堂探究·素养培育
[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)有一个实数a不能有平方根;
探究点一
全称命题与特称命题的判定
解:(1)中因为含有存在量词“有一个”,所以命题(1)为特称命题.
解:(2)含有全称量词,所以(2)为全称命题.
(3)不相交的两条直线是平行直线;
解:(3)可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”,因此是全称
命题.
[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(2)所有不等式的解集A,都满足A R;
解:(4)省略了“所有”,因此“锐角三角形的内角是锐角或钝角”是全称命题.
(5)负数的平方是正数.
解:(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称命题.
[例1] 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(4)锐角三角形的内角是锐角或钝角;
解:(1)可以改为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,故为全称命题.
(2)矩形的对角线不相等;
解:(2)可以改为“所有矩形的对角线不相等”,故为全称命题.
[即时训练1-1] 判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
解:(3)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
(4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
解:(4)含存在量词“有些”,故为特称命题.
[即时训练1-1] 判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
(5)方程3x-2y=10有整数解.
解:(5)可改写为“存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立”.故为特称命题.
方法总结
(1)判断一个命题是否为全称命题或特称命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.
(2)要注意有些全称命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称命题或特称命题的表述方法可能不同.
易错警示
全称命题可能省略全称量词,特称命题的存在量词一般不能省略.
探究点二
全称命题与特称命题真假的判断
解:(1)由于 x∈R,都有x2≥0,因而有x2+1≥1>0.
因此命题“ x∈R,x2+1>0”是真命题.
[例2] 判断下列命题的真假:
(3) x∈Z,x3<1;
解:(3)由于-1∈Z,而且当x=-1时,有(-1)3<1.
因此命题“ x∈Z,x3<1”是真命题.
(4) x∈Q,x2=3.
方法总结
全称命题与特称命题的真假判定的技巧
(1)全称命题的真假判定
要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)特称命题的真假判定
要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
探究点三
全称命题的否定与真假判断
[例3] 写出下列全称命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1) x∈R,x不是5x-12=0的根;
解:(1)原命题的否定是 x∈R,x是5x-12=0的根.它是真命题.
(2)任意x∈R,x2-x+1≥0;
解:(2)原命题的否定是存在x∈R,x2-x+1<0.
因为Δ=1-4=-3<0,所以x2-x+1>0恒成立,故原命题为真命题,所以其否定为假命题.
[例3] 写出下列全称命题的否定,并判断所得命题的真假.
(3)等圆的面积相等,周长相等;
解:(3)原命题的否定是存在一对等圆,它们的面积不相等,或周长不相等.
因为原命题是真命题,所以其否定是假命题.
(4)对任意实数a,都不能使a2+1=0成立.
解:(4)原命题的否定是存在一个实数a,能使a2+1=0成立.它是假命题.
[即时训练3-1] 写出下列全称命题的否定,并判断真假.
(1)所有矩形的对角线相等;
解:(1)该命题的否定:有的矩形对角线不相等.假命题.
(2)不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实数根;
[即时训练3-1] 写出下列全称命题的否定,并判断真假.
(3)p: x∈R,|x|+x2≥0.
解:(3)﹁p: x∈R,|x|+x2<0.因为p为真命题,所以﹁p是假命题.
方法总结
(1)对全称命题否定的两个步骤
①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;
②否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
(2)全称命题否定后的真假判断方法
若全称命题为真命题,其否定就是假命题;若全称命题为假命题,其否定就是真命题.
易错警示
对于全称命题中省略量词的要在其否定中添加相应的量词.
探究点四
特称命题的否定与真假判断
[例4] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(1)p: a∈R,一次函数y=x+a的图象经过原点;
解:(1)﹁p: a∈R,一次函数y=x+a的图象不经过原点.因为当a=0时,一次函数y=x+a的图象经过原点,所以﹁p是假命题.
(2)q:至少有一个直角三角形不是等腰三角形;
解:(2)﹁q:所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形,所以﹁q是假命题.
[例4] 写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
(3)s:有些三角形是锐角三角形;
解:(3)﹁s:所有三角形都不是锐角三角形(或任意三角形都不是锐角三角形),假命题.
(4)t:存在一个最大的内角小于60°的三角形.
解:(4)﹁t:所有三角形的最大内角都大于或等于60°,真命题.
[即时训练4-1] 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.
(1)某些梯形的对角线互相平分;
解:(1)假命题.任意一个梯形的对角线都不互相平分.
(2) x∈{x|x是无理数},x2是无理数;
解:(2)真命题. x∈{x|x是无理数},x2不是无理数.
(3)存在k∈R,函数y=kx+b随x值的增大而减小.
解:(3)真命题.任意k∈R,函数y=kx+b不随x值的增大而减小.
方法总结
(1)对特称命题否定的两个步骤
①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词;
②否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.
(2)特称命题否定后的真假判断
特称命题的否定是全称命题,其真假性与特称命题相反;要说明一个特称命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
探究点五
根据命题的否定求参数的取值范围
[例5] 已知命题p: x∈R,ax2+2x+1≠0,q: x∈R,ax2+ax+1≤0.
(1)若﹁p为真命题,求实数a的取值范围;
[例5] 已知命题p: x∈R,ax2+2x+1≠0,q: x∈R,ax2+ax+1≤0.
(2)若﹁q为真命题,求实数a的取值范围.
[即时训练5-1] 已知命题p: x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q: x∈R,ax2-2ax-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.
方法总结
根据含参数的命题真假求参数范围问题,若全称命题为真命题,可以利用“任意性”直接求解,而涉及“特称命题”为假命题时,可利用其否定为真命题,转化为全称命题为真命题求解.
备用例题
[例1] 命题“ x∈R,x2+ax+4>0”为假命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.a≥4 B.a≤-4
C.a≤-4或a≥4 D.-4≤a≤4
解析:由题意命题“ x∈R,x2+ax+4≤0”为真命题,所以Δ=a2-16≥0,所以a≥4或a≤-4.故选C.
答案:{a|-1[例3] 判断下列命题的真假.
(1) x,y为正实数,使x2+y2=0;
解:(1)由于x2+y2=0时,x=y=0,因此不存在正实数x,y使x2+y2=0,故为假命题.
(2)存在一个四边形不是平行四边形;
解:(2)真命题,如梯形.
[例3] 判断下列命题的真假.
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
解:(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)存在两个无理数,它们的乘积是有理数.
[例4] 若“ x∈{x|x≥a},x2≥1”是真命题,求实数a的取值范围.
解:因为x2≥1,
所以x≥1或x≤-1.
又x∈{x|x≥a},
则{x|x≥a} {x|x≥1}.
故a≥1.即实数a的取值范围为{a|a≥1}.
[例5] 已知集合M={x|a≤x≤a+1},且“ x∈M,x+1>0”是真命题,求实数a的取值范围.
解: x∈M,x+1>0恒成立,
则只需{x|a+1≤x+1≤a+2}中的a+1>0即可,即a>-1.
所以实数a的取值范围为{a|a>-1}.
课堂达标
解析:高一(1)班绝大多数同学是团员”,即“高一(1)班有的同学不是团员”,是特称命题.
1.(多选题)下列语句是全称命题的是(　 　)
A.任何一个实数乘零都等于零
B.直角三角形三边长都满足勾股定理
C.高一(1)班绝大多数同学是团员
D.所有二次函数的图象都开口向上
ABD
解析:“存在”是存在量词.故选D.
2.下列命题是特称命题的是(　 　)
A.二次函数的图象关于y轴对称
B.正方形都是平行四边形
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
D
解析:由题意得原命题的否定为 x∈R,x2+x+1≥0.故选C.
C
解析:由于该命题是一个全称命题,因此其否定是特称命题,因为原命题中“ x>-3时,x2>9”是假命题,故其否定为真命题.
4.命题“ x>-3,x2>9”的否定是　　　 　,是　　　　命题(填“真”或“假”).
答案: x>-3,x2≤9　真1.2.3　全称量词和存在量词
选题明细表
知识点、方法 题号
全称命题及其真假 2,5,11,12
特称命题及其真假 1,6,7,9,10,13
全称命题的否定 3,8
特称命题的否定 4
基础巩固
1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　B　)
A.直角三角形的内角有一个是90°
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
解析:A中“直角三角形的内角有一个是90°”是全称命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题.故
选B.
2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是(　C　)
A. x∈R,2x+1>0
B.若2x为偶数,则x∈N
C.所有菱形的四条边都相等
D.π是无理数
解析:对A,是全称命题,但不是真命题,故A不正确;对B,是全称命题,但不是真命题.如2x=-2是偶数,但x=-1 N,故B不正确;对C,是全称命题,也是真命题,故C正确;对D,是真命题,但不是全称命题,故D不正确,故选C.
3.命题“ x∈R,x2-2x+4<0”的否定为(　B　)
A. x∈R,x2-2x+4≥0
B. x0∈R,-2x0+4≥0
C. x R,x2-2x+4≥0
D. x0 R,-2x0+4≥0
解析:命题为全称命题,则命题的否定是特称命题,则命题的否定:
x0∈R,-2x0+4≥0,故选B.
4.命题“ x∈Q,|x|+x≥0”的否定是(　C　)
A. x∈Q,|x|+x<0
B. x∈( RQ),|x|+x<0
C. x∈Q,|x|+x<0
D. x∈Q,|x|+x≥0
解析:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“ x∈Q,|x|+x≥0”的否定是 x∈Q,|x|+x<0.故选C.
5.命题“ x>1,x>a”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.　
解析:“若x>1,则x>a”是真命题,
则{x|x>1} {x|x>a},所以a≤1.
答案:{a|a≤1}
6.若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　.
解析:因为命题 x∈R,x2-4x+a=0为假命题,所以方程x2-4x+a=0没有实数根,
则Δ=(-4)2-4a<0,
解得a>4.
答案:{a|a>4}
能力提升
7.已知命题“存在x∈{x|-1≤x≤1},-x2+3x+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是(　D　)
A.{a|a>-} B.{a|a>4}
C.{a|-2-2}
解析:命题“存在-1≤x≤1,-x2+3x+a>0”为真命题,等价于a>x2-3x在{x|-1≤x≤1}上有解,令y=x2-3x(-1≤x≤1),则等价于a>ymin=-2,所以a>-2.故选D.
8.(多选题)下列命题的否定中,是全称命题且为真命题的是(　AC　)
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
解析:命题的否定是全称命题,即该命题为特称命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即该命题为假命题.又D为真命题,故选AC.
9.若“存在x∈R,使x2+2x+a<0”是假命题,则实数a的取值范围是(　C　)
A.{a|a<1} B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1} D.{a|-1解析:由题意知函数y=x2+2x+a的图象有在x轴下方的部分,即Δ=
4-4a>0,解得a<1,由原命题是假命题知,实数a的范围是a≥1.故
选C.
10.已知命题p:“ x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,则实数a的取值集合是　　　　　　.
解析:因为“ x∈R,(a-5)x+1=0”是真命题,所以关于x的方程(a-5)x+1=0有实数解,
所以a-5≠0,即a≠5,所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠5}.
答案:{a∈R|a≠5}
11.已知命题p: x∈R,x2-2x+a≥0,命题q: x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题,q为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
解析:因为x2-2x+a=(x-1)2+a-1,若p是真命题,则a-1≥0,即a≥1.
若q为假命题,则Δ=1-4×(2a-1)=5-8a<0,即a>.故实数a的取值范围为a≥1.
答案:{a|a≥1}
12.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,并判断其真假.
(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°;
(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;
(3)存在实数x,使得=2.
解:(1)特称命题,是假命题.
(2)当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数解,
当a=0,b≠0时,方程ax+b=0无解,
所以该命题是全称命题,是假命题.
(3)因为=2,
所以2x2-2x+1=0,Δ=4-4×2×1=-4<0,
所以不存在实数x,使得=2,
所以该命题是特称命题,是假命题.
应用创新
13.“ x∈{x|1≤x≤2},ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是(　B　)
A.a≤-1 B.a≤-
C.a≤-2 D.a≤0
解析:“ x∈{x|1≤x≤2},使ax2+1≤0”为真命题,等价于当x∈
{x|1≤x≤2}时,a≤(-)max,x∈{x|1≤x≤2}时,-1≤-≤-,所以(-)max=-.所以“ x∈{x|1≤x≤2},ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是a≤-.故选B.
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