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第2章　一元二次函数、方程和不等式
2.1　相等关系与不等关系
2.1.1　等式与不等式
核心知识目标 核心素养目标
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.
2.初步学会作差法比较两个实数的大小.
3.掌握等式的基本性质和不等式的基本性质.
4.运用不等式的基本性质解决有关问题. 1.通过用不等式(组)表示实际问题,培养数学抽象、数学建模的核心素养.
2.通过作差法比较两个实数的大小,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
3.通过等式的基本性质和不等式的基本性质的应用,增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.不等关系与不等式
我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题,常用的不等号有>,<,≤,
≥,≠.
2.两实数的大小关系的基本事实
对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
a>b ;
a=b ;
a知识探究
a-b>0
a-b=0
a-b<0
3.等式的基本性质
性质1:如果a=b,那么b=a;
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4:如果a=b,那么ac=bc;
4.不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a>b .
性质2 传递性 a>b,b>c .
性质3 可加性 a>b a+c b+c
ba>c
>
>
>
<
>
an>bn
小试身手
1.(多选题)下列命题中正确的是(　 　)
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a>b,则ac>bc
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则a2>b2
AC
解析:B中当c<0时不成立,D中当b解析:因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A.
2.若x∈R,y∈R,则(　 　)
A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1
C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1
A
课堂探究·素养培育
[例1] 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A
型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等
式(组).
探究点一
用不等式(组)表示不等关系
[即时训练1-1] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
方法总结
用不等式(组)表示不等关系的步骤:
(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等.
(2)适当地设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式.
易错警示
(1)用不等式(组)表示不等关系应正确找出题中的显性不等关系和隐性不等关系;
(2)当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,就选用几个字母分别表示这些变量即可.
[例2] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
探究点二
作差比较法比较代数式大小
方法总结
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.
(4)作出结论.
特别提醒
使用作差比较法比较大小时,若待比较的两式是无理式(数),这时可以先将待比较的式子变形为有理式后再用作差法比较大小,但是要注意变形的等价性.
探究点三
不等式基本性质及应用
方法总结
不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解.
方法总结
利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
方法总结
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变,同乘一个负数不等号变为相反的方向,因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
备用例题
解:(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b),
因为a>0,b>0且a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0.
所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
即a3+b3>a2b+ab2.
[例4] 已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
课堂达标
1.(2022·安徽六安月考)若x≠-2,且y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是(　 　)
A.M>-5 B.M<-5
C.M≥-5 D.M≤-5
解析:M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2.因为x≠-2,y≠1,
所以(x+2)2>0,(y-1)2>0,因此(x+2)2+(y-1)2>0.故M>-5.故选A.
A
A
解析:因为a所以|a|+b=-a+b=b-a>0.
故|a|>-b.故选A.
答案:①②④
4.若-1<α<β<1,m=α-β,则m的取值范围为　　　　.
解析:因为α<β,所以α-β<0,
又-1<α<1,-1<-β<1,所以-2<α-β<2,
综上,-2<α-β<0.
答案:{m|-22.1.1　等式与不等式
选题明细表
知识点、方法 题号
不等式及其性质 1,2,3,5,6,10
比较大小的方法 4,7,8,9,11
不等式性质的应用 12,13
基础巩固
1.(多选题)下列说法错误的是(　ABD　)
A.某人月收入x元,不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.变量x不小于a可表示为“x≥a”
D.变量y不超过a可表示为“y≥a”
解析:对于A,x应满足x≤2 000,故A错误;
对于B,x,y应满足xC正确;对于D,y和a的大小关系可表示为“y≤a”,故D错误.故选ABD.
2.(2022·北京高二期末)设aA.> B.>
C.|a|>-b D.>
解析:对于A,因为a0,所以<<0,即>,所以A成立;对于B,若a=-2,b=-1,则=-1,=-,此时>,
所以B不成立;对于C,因为a所以|a|>|b|=-b,所以C成立;对于D,
因为a-b>0,则>,所以D成立.故选B.
3.(多选题)若a>0>b>-a,cbc,(2)+<0,
(3)a-c>b-d,(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的是(　BCD　)
A.(1) B.(2)
C.(3) D.(4)
解析:因为a>0>b,c所以ad<0,bc>0,
所以ad因为a>0>b>-a,所以a>-b>0,
因为c-d>0,
所以a(-c)>(-b)(-d),
所以ac+bd<0,所以+=<0,
所以(2)正确.
因为c-d,
因为a>b,
所以a+(-c)>b+(-d),
即a-c>b-d,所以(3)正确.
因为a>b,d-c>0,
所以a(d-c)>b(d-c),所以(4)正确.故选BCD.
4.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析:因为xa2.
因为x2-ax=x(x-a)>0,
所以x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2.
所以x2>ax>a2.故选B.
5.若8解析:因为8由2所以12<2x-y<18,
由2因为8答案:12<2x-y<18　2<<5
6.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写出不等式为　　　　;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为　　　　.
解析:由题意知,汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过
2 200 km,则8(x+19)>2 200.
若每天行驶的路程比原来少12 km,则原来行驶8天的路程就要用
9天多,即>9.
答案:8(x+19)>2 200　>9
能力提升
7.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列四个命题正确的是(　ABC　)
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若|a-2|>|b-2|,则(a-2)2>(b-2)2
C.若a>b>c>0,则>
D.若a>0,b>0,a+b>4,ab>4,则a>2,b>2
解析:当ac2>bc2时,c2>0,两边同时除以c2,得到a>b,A正确;
如果|a-2|>|b-2|≥0,那么|a-2|2>|b-2|2,即(a-2)2>(b-2)2,B正确.
-==,
因为a>b>c>0,
所以a-b>0,b+c>0,
所以>,C正确;
令a=10,b=,a与b同样能满足a+b>4,ab>4,
但a>2,b>2不成立,D不正确.故选ABC.
8.(多选题)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　BC　)
A.若ab≠0且a
B.若0C.若a>b>0,则>
D.若c解析:由于a0必须ab>0,因此A不正确;当00,所以C正确;D中当b=0时不正确.故选BC.
9.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系是(　B　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
解析:b=-=,c=-=.
因为+>+,所以<,
所以b因为(+)=2+2>4,
所以<,即c综上,b10.若-1解析:因为2因为-1所以-答案:{b|-11.(2021·辽宁葫芦岛高一期中)设M=(x+2)(x+3),N=(x+1)(x+4)-a+2.
(1)当a=2时,比较M,N的大小;
(2)当a∈R时,比较M,N的大小.
解:(1)当a=2时,N=(x+1)(x+4),
则M-N=(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)
=2>0,
所以M>N.
(2)M-N
=(x+2)(x+3)-[(x+1)(x+4)-a+2]
=(x2+5x+6)-(x2+5x+6-a)
=a.
①当a>0时,M-N>0,则M>N;
②当a=0时,M-N=0,则M=N;
③当a<0时,M-N<0,则M12.(2021·山东寿光高一月考)有A,B两种型号台灯,若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元,若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元.
(1)求A,B两种型号台灯每台分别多少元;
(2)采购员小红想采购A,B两种型号台灯共30台,且总费用不超过
2 200元,则最多能采购B型台灯多少台
解:(1)设A,B两种型号台灯每台分别x,y元,
依题意可得
解得
答: A,B两种型号台灯每台分别为50,85元.
(2)设能采购B型台灯a台,依题意可得50(30-a)+85a≤2 200,
解得a≤20.
答:最多能采购B型台灯20台.
应用创新
13.两次购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.则第　　　　种购物方式比较经济.
解析:设第一次和第二次购物时价格分别为p1,p2,按第一种策略,每次购n kg,按这种策略购物时,两次的平均价格x==;若按第二种策略,第一次花m元钱,能购物 kg物品,第二次仍花m元钱,能购物 kg物品,两次购物的平均价格y==.
比较两次购物的平均价格x-y=-=-==
≥0.
因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格,所以用第二种购物方式比较经济.
答案:二
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1　相等关系与不等关系
2.1.1　等式与不等式
核心知识目标 核心素养目标
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法比较两个实数的大小. 3.掌握等式的基本性质和不等式的基本性质. 4.运用不等式的基本性质解决有关问题. 1.通过用不等式(组)表示实际问题,培养数学抽象、数学建模的核心素养. 2.通过作差法比较两个实数的大小,发展逻辑推理、数学运算的核心素养. 3.通过等式的基本性质和不等式的基本性质的应用,增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.不等关系与不等式
我们经常用不等式来研究含有不等关系的问题,常用的不等号有>,<,≤,≥,≠.
2.两实数的大小关系的基本事实
对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
a>b a-b>0;
a=b a-b=0;
a3.等式的基本性质
性质1:如果a=b,那么b=a;
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4:如果a=b,那么ac=bc;
性质5:如果a=b,c≠0,那么=.
4.不等式的基本性质
性质 别名 性质内容 注意
性质1 对称性 a>b b性质2 传递性 a>b,b>c a>c
性质3 可加性 a>b a+c>b+c
续　表
性质 别名 性质内容 注意
推论1 — a+b>c a>c-b
推论2 同向 可加性 a+c>b+d
性质4 可乘性 ac>bc c的 符号
ac推论3 同向同正 可乘性 ac>bd
推论4 可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N+) 同正
性质5 — a>b>0 > (n∈N+) 同正
性质6 — < —
>
1.(多选题)下列命题中正确的是(　AC　)
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a>b,则ac>bc
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则a2>b2
解析:B中当c<0时不成立,D中当b2.若x∈R,y∈R,则(　A　)
A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1
C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1
解析:因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A.
3.已知5解析:因为5所以<<,
所以<<,
即<<5.
又因为-8<-b<-2,
所以-3答案:<<5　-34.若x∈R,则与的大小关系为　　　　.
解析:-==≤0,
所以≤.
答案:≤
　用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆,
y辆,则
[即时训练1-1] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
解:设甲、乙两种产品的产量分别为x件,y件,
由题意可知,
用不等式(组)表示不等关系的步骤:
(1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等.
(2)适当地设未知数表示变量.
(3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式.
(1)用不等式(组)表示不等关系应正确找出题中的显性不等关系和隐性不等关系;
(2)当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,就选用几个字母分别表示这些变量即可.
　作差比较法比较代数式大小
[例2] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小.
解:x3-1-(2x2-2x)
=x3-2x2+2x-1
=(x3-x2)-(x2-2x+1)
=x2(x-1)-(x-1)2
=(x-1)(x2-x+1)
=(x-1)[(x-)2+].
因为x>1,所以x-1>0.
又(x-)2+>0,
所以(x-1)[(x-)2+]>0.
所以x3-1>2x2-2x.
[即时训练2-1] 已知a≠1且a∈R,试比较与 1+a的大小.
解:作差得-(1+a)=.
(1)当a=0时,因为=0,所以=1+a.
(2)当a<1,且a≠0时,因为>0,所以>1+a.
(3)当a>1时,因为<0,所以<1+a.
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.
(4)作出结论.
使用作差比较法比较大小时,若待比较的两式是无理式(数),这时可以先将待比较的式子变形为有理式后再用作差法比较大小,但是要注意变形的等价性.
　不等式基本性质及应用
探究角度1　利用不等式基本性质判断不等式的真假
[例3] 若a>b>0,m<0,则下列不等式成立的是(　　)
A.am21
C.< D.>
解析:选项A,a>b>0,m<0,则m2>0,
所以am2>bm2.故选项A不正确.
选项B,取a=3,b=2,m=-,
则==<1.故选项B不正确.
选项C,a>b>0,m<0,则a-m>0,b-m>0,
由-==<0,所以<.故选项C正确.
选项D,取a=2,b=1,m=-1,
则==,
==2,此时<.故选C.
[即时训练31] (多选题)已知a,b,c满足cA.> B.>0
C.> D.<0
解析:因为c所以c<0,a>0,
所以-=>0.
故>,所以选项A恒成立.
因为b-a<0,c<0,
所以>0,所以选项B恒成立.
因为c<0,c所以a-c>0,所以<0,所以选项D恒成立.
但b2与a2的关系不确定,
故>不一定成立,
即选项C不一定成立.
故应选ABD.
不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解.
探究角度2　利用不等式基本性质证明不等式
[例4] 已知a>b>0,c.
证明:法一　因为c-d>0.
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<<.
又因为e<0,所以>.
法二　-
=
=.
因为a>b>0,c所以-c>-d>0,
所以a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0,
又e<0,所以>0,
所以>.
[变式训练4-1] 题目中条件不变,求证改为>,请证明.
证明:因为c所以-c>-d>0.
又因为a>b>0,
所以a-c>b-d>0.
所以0<<,
所以<.
又因为e<0,
所以>.
[即时训练41] 已知c>a>b>0,求证:>.
证明:-=
=.
因为c>a>b>0,
所以a-b>0,c>0,c-a>0,c-b>0,
所以>0,
即>.
利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
探究角度3　利用不等式基本性质求取值范围
[例5] 已知30解:因为30所以30+16所以46因为16所以-72<-3y<-48.
所以-42所以-<<-.
又因为30所以-<<-.
所以-7<<-.
综上可知,46-42-7<<-.
[即时训练5-1] 设2解:因为2所以3<-b<4,-<<-,
所以-2因为<-<,所以<-<1,
即-1<<-.
因为6<-ab<12,所以-12因为9所以3<<8,
综上,-2(1)根据不等式性质求范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的范围,只能先求-b的范围,再与a的范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的范围,只能先求出的范围后再与a的范围相乘.
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变,同乘一个负数不等号变为相反的方向,因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
[例1] 已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.
解:(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
=(a-b)2(a+b),
因为a>0,b>0且a≠b,
所以(a-b)2>0,a+b>0.
所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,
即a3+b3>a2b+ab2.
[例2] 已知a>b>0,c证明:因为c-d>0,
所以0<-<-.
又因为a>b>0,所以->->0.
所以>,
即->-.
两边同乘以-1,得<.
[例3] (1)已知a(2)已知a>b,<,求证:ab>0.
证明:(1)由于-==,
因为a0,ab>0.
所以<0.故<.
(2)因为<,所以-<0,
即<0,而a>b,
所以b-a<0,所以ab>0.
[例4] 已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,求4a-2b的取值范围.
解:设4a-2b=x(a+b)+y(a-b)
=(x+y)a+(x-y)b,
所以
解得
所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).
因为1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,
所以-3≤3(a-b)≤6,
由不等式的性质可得
-2≤(a+b)+3(a-b)≤10,
即-2≤4a-2b≤10.
1.(2022·安徽六安月考)若x≠-2,且y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是(　A　)
A.M>-5 B.M<-5
C.M≥-5 D.M≤-5
解析:M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2.因为x≠-2,y≠1,所以(x+2)2>0,(y-1)2>0,因此(x+2)2+(y-1)2>0.故M>-5.故选A.
2.已知aA.|a|>-b B.<1
C.< D.<
解析:因为a所以|a|+b=-a+b=b-a>0.
故|a|>-b.故选A.
3.给出四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推得<成立的是　　　　　　(填序号).
解析:< <0,所以①②④能使它成立.
答案:①②④
4.若-1<α<β<1,m=α-β,则m的取值范围为　　　　.
解析:因为α<β,所以α-β<0,
又-1<α<1,-1<-β<1,所以-2<α-β<2,
综上,-2<α-β<0.
答案:{m|-2选题明细表
知识点、方法 题号
不等式及其性质 1,2,3,5,6,10
比较大小的方法 4,7,8,9,11
不等式性质的应用 12,13
基础巩固
1.(多选题)下列说法错误的是(　ABD　)
A.某人月收入x元,不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”
C.变量x不小于a可表示为“x≥a”
D.变量y不超过a可表示为“y≥a”
解析:对于A,x应满足x≤2 000,故A错误;
对于B,x,y应满足xC正确;对于D,y和a的大小关系可表示为“y≤a”,故D错误.故选ABD.
2.(2022·北京高二期末)设aA.> B.>
C.|a|>-b D.>
解析:对于A,因为a0,所以<<0,即>,所以A成立;对于B,若a=-2,b=-1,则=-1,=-,此时>,
所以B不成立;对于C,因为a所以|a|>|b|=-b,所以C成立;对于D,
因为a-b>0,则>,所以D成立.故选B.
3.(多选题)若a>0>b>-a,cbc,(2)+<0,
(3)a-c>b-d,(4)a·(d-c)>b(d-c)中能成立的是(　BCD　)
A.(1) B.(2)
C.(3) D.(4)
解析:因为a>0>b,c所以ad<0,bc>0,
所以ad因为a>0>b>-a,所以a>-b>0,
因为c-d>0,
所以a(-c)>(-b)(-d),
所以ac+bd<0,所以+=<0,
所以(2)正确.
因为c-d,
因为a>b,
所以a+(-c)>b+(-d),
即a-c>b-d,所以(3)正确.
因为a>b,d-c>0,
所以a(d-c)>b(d-c),所以(4)正确.故选BCD.
4.设xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析:因为xa2.
因为x2-ax=x(x-a)>0,
所以x2>ax.
又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2.
所以x2>ax>a2.故选B.
5.若8解析:因为8由2所以12<2x-y<18,
由2因为8答案:12<2x-y<18　2<<5
6.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写出不等式为　　　　;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为　　　　.
解析:由题意知,汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过
2 200 km,则8(x+19)>2 200.
若每天行驶的路程比原来少12 km,则原来行驶8天的路程就要用
9天多,即>9.
答案:8(x+19)>2 200　>9
能力提升
7.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列四个命题正确的是(　ABC　)
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若|a-2|>|b-2|,则(a-2)2>(b-2)2
C.若a>b>c>0,则>
D.若a>0,b>0,a+b>4,ab>4,则a>2,b>2
解析:当ac2>bc2时,c2>0,两边同时除以c2,得到a>b,A正确;
如果|a-2|>|b-2|≥0,那么|a-2|2>|b-2|2,即(a-2)2>(b-2)2,B正确.
-==,
因为a>b>c>0,
所以a-b>0,b+c>0,
所以>,C正确;
令a=10,b=,a与b同样能满足a+b>4,ab>4,
但a>2,b>2不成立,D不正确.故选ABC.
8.(多选题)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是(　BC　)
A.若ab≠0且a
B.若0C.若a>b>0,则>
D.若c解析:由于a0必须ab>0,因此A不正确;当00,所以C正确;D中当b=0时不正确.故选BC.
9.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系是(　B　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
解析:b=-=,c=-=.
因为+>+,所以<,
所以b因为(+)=2+2>4,
所以<,即c综上,b10.若-1解析:因为2因为-1所以-答案:{b|-11.(2021·辽宁葫芦岛高一期中)设M=(x+2)(x+3),N=(x+1)(x+4)-a+2.
(1)当a=2时,比较M,N的大小;
(2)当a∈R时,比较M,N的大小.
解:(1)当a=2时,N=(x+1)(x+4),
则M-N=(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)
=2>0,
所以M>N.
(2)M-N
=(x+2)(x+3)-[(x+1)(x+4)-a+2]
=(x2+5x+6)-(x2+5x+6-a)
=a.
①当a>0时,M-N>0,则M>N;
②当a=0时,M-N=0,则M=N;
③当a<0时,M-N<0,则M12.(2021·山东寿光高一月考)有A,B两种型号台灯,若购买2台A型台灯和6台B型台灯共需610元,若购买6台A型台灯和2台B型台灯共需470元.
(1)求A,B两种型号台灯每台分别多少元;
(2)采购员小红想采购A,B两种型号台灯共30台,且总费用不超过2 200元,则最多能采购B型台灯多少台
解:(1)设A,B两种型号台灯每台分别x,y元,
依题意可得
解得
答: A,B两种型号台灯每台分别为50,85元.
(2)设能采购B型台灯a台,依题意可得50(30-a)+85a≤2 200,
解得a≤20.
答:最多能采购B型台灯20台.
应用创新
13.两次购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.则第　　　　种购物方式比较经济.
解析:设第一次和第二次购物时价格分别为p1,p2,按第一种策略,每次购n kg,按这种策略购物时,两次的平均价格x==;若按第二种策略,第一次花m元钱,能购物 kg物品,第二次仍花m元钱,能购物 kg物品,两次购物的平均价格y==.
比较两次购物的平均价格x-y=-=-==
≥0.
因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格,所以用第二种购物方式比较经济.
答案:二
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