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(共30张PPT)
2.2　从函数观点看一元二次方程
核心知识目标 核心素养目标
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.借助二次函数的图象,了解一元二次方程与相应函数的联系. 借助二次函数图象,求解一元二次方程,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.二次函数的零点
一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的 .
知识探究
零点
2.二次函数与一元二次方程的关系如表
小试身手
1.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则一次函数y=ax-b的图象不经过(　 　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
2.在二次函数y=ax2+bx+c中,若a与c异号,则其图象与x轴的交点个数为
(　 　)
A.2个 B.1个
C.0个 D.不能确定
3.函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是(　 　)
A.有两个同号的不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
A
A
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为　　　　.
解析:由图象可知,抛物线的对称轴为x=1,与x轴的交点是(3,0),根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),所以一元二次方程-x2+
2x+m=0的解为x1=-1,x2=3.
答案:x1=-1,x2=3
课堂探究·素养培育
[例1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(1)2(x-1)2-6=0;
探究点一
一元二次方程的解法
[例1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(2)x2+2x-399=0;
[例1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(3)3x2+1=4x;
[例1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(4)(x-3)2+2x(x-3)=0.
解:(4)(x-3)(x-3+2x)=0,
3(x-3)(x-1)=0,
所以x1=1,x2=3.
[即时训练1-1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(1)(x+2)2=9;
解:(1)x+2=±3,得x1=1,x2=-5.
(2)x2-4x+1=0;
[即时训练1-1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(3)x2-3x+1=0;
(4)(2x+1)2=3(2x+1).
方法总结
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、求根公式法、分解因式法等.
探究点二
二次函数的图象
[例2] 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是
(　　)
A.a>0 B.c<0
C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0
[即时训练2-1] 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>0,bc>0,Δ<0
B.a<0,bc>0,Δ<0
C.a>0,bc<0,Δ<0
D.a<0,bc<0,Δ>0
D
方法总结
二次函数y=ax2+bx+c中,a决定抛物线的开口方向,c决定抛物线与y轴的交点情况,抛物线的对称轴由a,b共同决定.
探究点三
二次函数图象与一元二次方程的关系
[例3] 画出函数y=x2-3x-4的图象,根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么
解:函数y=x2-3x-4的图象如图所示.
(1)图象与x轴的交点为(-1,0),(4,0),与y轴的交点为(0,-4).
[例3] 画出函数y=x2-3x-4的图象,根据图象回答下列问题.
(2)当x取何值时,y=0 这里x的取值与方程x2-3x-4=0有什么关系
解:函数y=x2-3x-4的图象如图所示.
(2)当x=-1或4时,y=0.这里x的取值是方程x2-3x-4=0的两个根.
[例3] 画出函数y=x2-3x-4的图象,根据图象回答下列问题.
(3)x取什么值时,函数值y大于0 x取什么值时,函数值y小于0
解:函数y=x2-3x-4的图象如图所示.
(3)当x<-1或x>4时,函数值y大于0,当-1[即时训练3-1] 已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).
(1)证明4c=3b2;
(1)证明:依题意,m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根.
根据一元二次方程根与系数的关系,得m+(-3m)=-b,m×(-3m)=-c.
所以b=2m,c=3m2,
所以4c=3b2=12m2.
[即时训练3-1] 已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值.
方法总结
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来说,当y=0时,就得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图象与x轴的交点坐标.
备用例题
[例1] 若抛物线y=kx2-2x+1与x轴有两个交点,则k的取值范围是　　　.
解析:若抛物线与x轴有两个交点,
则k≠0且(-2)2-4k>0.
答案:k<1,且k≠0
[例2] 设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y=x2+px+(k+1)p-4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.
课堂达标
C
2.不论m为何实数,抛物线y=x2-mx+m-2(　 　)
A.在x轴上方
B.与x轴只有一个交点
C.与x轴有两个交点
D.在x轴下方
C
3.如图所示为二次函数y=x2-4x+3图象,从图象可知
当x=　　　　时,y有最小值,最小值是　　　　,
当x　　　　时,y随x增大而增大,
当x　　　　时,y随x增大而减小.
2
-1
>2
<2
4.二次函数y=x2-x-6的图象与x轴有　个交点,交点坐标是　 　　,也就是说一元二次方程x2-x-6=0的根是　 　 　　.
2
(-2,0),(3,0)
x1=-2,x2=32.2　从函数观点看一元二次方程
选题明细表
知识点、方法 题号
二次函数的图象 3,4,6,7,9,10,11
二次函数图象与 一元二次方程的关系 1,2,5,8
基础巩固
1.函数y=ax2-bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2-bx+c=0的根的情况是(　C　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
2.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论错误的是(　D　)
A.a>0
B.b2-4ac>0
C.ax2+bx+c=0的两根之和为负
D.ax2+bx+c=0的两根之积为正
3.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点,则这个交点的坐标是　　　　.
答案:(-,0)
4.已知函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是　　　　.
解析:令y=0.当k=0时,即-7x-7=0,
得x=-1,即此时与x轴有交点(-1,0).
当k≠0时,二次函数与x轴有交点,则(-7)2-4×(-7)×k≥0,得k≥-,且k≠0.
综上,k≥-.
答案:[-,+∞)
5.直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点的个数是　　　　.
答案:1
能力提升
6.平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2 009)(x-2 008)+4的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位长度,则平移方式为(　B　)
A.向上平移4个单位长度
B.向下平移4个单位长度
C.向左平移4个单位长度
D.向右平移4个单位长度
解析:因为二次函数y=(x-2 009)(x-2 008)的图象与x轴交于点
(2 008,0)和(2 009,0),这两点间的距离为1,而二次函数y=
(x-2 009)(x-2 008)的图象可由二次函数y=(x-2 009)(x-2 008)+4的图象向下平移4个单位长度得到.故选B.
7.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A,C两点.求△ABC的周长和面积.
解:令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A,C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB==,BC==3,OB=|-3|=3.
C△ABC=AB+BC+AC=2++3.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
8.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为B(6,5).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)该男生把铅球推出去多远 (精确到0.01米).
解:(1)设y=a(x-6)2+5,
则由A(0,2),
得2=a(0-6)2+5,
得a=-.
故y=-(x-6)2+5.
(2)由-(x-6)2+5=0,
得x1=6+2,x2=6-2.
结合图象可知,C点坐标为(6+2,0),
故OC=6+2≈13.75(米).
即该男生把铅球推出约13.75米.
9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0),
B(x2,0),且x1+x2=4,=.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线与y轴交于C点,求直线BC的表达式;
(3)求△ABC的面积.
解:(1)解方程组得x1=1,x2=3.
故
解方程组,得b=4,c=-3.
所以该抛物线的函数表达式为y=-x2+4x-3.
(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.
由(1)得,当x=0时,y=-3,
故C点坐标为(0,-3).
所以解得
所以直线BC的函数表达式为y=x-3.
(3)由于AB=3-1=2,OC=|-3|=3.
故S△ABC=AB·OC=×2×3=3.
10.如果一个二次函数的图象经过点A(6,10),与x轴 交于B,C两点,点B,C的横坐标分别为x1,x2,且x1+x2=6,x1x2=5,求这个二次函数的解析式.
解:设函数为y=ax2+bx+c(a≠0),
将A(6,10)代入,得10=36a+6b+c,①
当y=0时,ax2+bx+c=0,
又x1+x2=-=6,②
x1x2==5,③
由①②③解得a=2,b=-12,c=10.
所以解析式为y=2x2-12x+10.
应用创新
11.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论:①当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(,);②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于;③当m<0时,函数在x>时,y随x的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过同一个点.其中正确的结论有(　B　)
A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②④
解析:把m=-3代入[2m,1-m,-1-m],得a=-6,b=4,c=2,函数解析式为y=-6x2+4x+2,易求出其图象顶点为(,),故①正确;当a=2m,
b=1-m,c=-1-m时,Δ=b2-4ac=(1-m)2-4×2m×(-1-m)=(3m+1)2,函数图象截x轴所得的线段长度为|x1-x2|===,当m>0时,
|x1-x2|==+>,故②正确;因为m<0,所以抛物线开口向下.
因为抛物线对称轴为x=-=-=-,所以在对称轴左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小.
因为<-,所以当x>时,图象有可能一部分在对称轴左侧,一部分在对称轴右侧,故③不正确;
对于抛物线y=2mx2+(1-m)x-1-m时,
当x=1时,y=2m+1-m+(-1-m)=0,
所以当m≠0时,抛物线一定经过(1,0)这个点,故④正确.故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2　从函数观点看一元二次方程
核心知识目标 核心素养目标
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.借助二次函数的图象,了解一元二次方程与相应函数的联系. 借助二次函数图象,求解一元二次方程,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
1.二次函数的零点
一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.
2.二次函数与一元二次方程的关系如表
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x11.如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则一次函数y=ax-b的图象不经过(　B　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:因为由题意得a>0,-<0,
所以b>0.故一次函数y=ax-b的图象不经过第二象限.故选B.
2.在二次函数y=ax2+bx+c中,若a与c异号,则其图象与x轴的交点个数为(　A　)
A.2个 B.1个
C.0个 D.不能确定
3.函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是(　A　)
A.有两个同号的不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为　　　　.
解析:由图象可知,抛物线的对称轴为x=1,与x轴的交点是(3,0),根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),所以一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1,x2=3.
答案:x1=-1,x2=3
　一元二次方程的解法
[例1] 用适当方法解下列一元二次方程.
(1)2(x-1)2-6=0;
(2)x2+2x-399=0;
(3)3x2+1=4x;
(4)(x-3)2+2x(x-3)=0.
解:(1)直接开平方法:
2(x-1)2=6,
(x-1)2=3,
x-1=±,
所以x1=+1,x2=-+1.
(2)配方法:
x2+2x+1=400,
(x+1)2=400,
x+1=±20,
x1=19,x2=-21.
(3)求根公式法:
3x2-4x+1=0,
所以x=,
所以x1=1,x2=.
(4)(x-3)(x-3+2x)=0,
3(x-3)(x-1)=0,
所以x1=1,x2=3.
[即时训练11] 用适当方法解下列一元二次方程.
(1)(x+2)2=9;
(2)x2-4x+1=0;
(3)x2-3x+1=0;
(4)(2x+1)2=3(2x+1).
解:(1)x+2=±3,
得x1=1,x2=-5.
(2)x2-4x+4=3,
(x-2)2=3,
x-2=±,
得x1=+2,x2=-+2.
(3)x=,x1=,x2=.
(4)(2x+1)2-3(2x+1)=0,
(2x+1)(2x+1-3)=0,
2(2x+1)(x-1)=0,
得x1=-,x2=1.
解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、求根公式法、分解因式法等.
　二次函数的图象
[例2]
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.a>0 B.c<0
C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0
解析:a决定抛物线的开口方向,c决定抛物线与y轴的交点情况,抛物线的对称轴由a,b共同决定,b2-4ac决定抛物线与x轴的交点情况.由于抛物线开口方向向下,因此a<0;抛物线与y轴的交点(0,c)在x轴上方,因此c>0;由于抛物线对称轴在y轴右侧,所以x=->0,又a<0,所以b>0;由于抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,a+b+c是x=1时的函数值,而图象上点(1,a+b+c)在x轴上方,所以a+b+c>0.故选D.
[即时训练2-1] 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>0,bc>0,Δ<0
B.a<0,bc>0,Δ<0
C.a>0,bc<0,Δ<0
D.a<0,bc<0,Δ>0
答案:D
二次函数y=ax2+bx+c中,a决定抛物线的开口方向,c决定抛物线与y轴的交点情况,抛物线的对称轴由a,b共同决定.
　二次函数图象与一元二次方程的关系
[例3] 画出函数y=x2-3x-4的图象,根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么
(2)当x取何值时,y=0 这里x的取值与方程x2-3x-4=0有什么关系
(3)x取什么值时,函数值y大于0 x取什么值时,函数值y小于0
解:
函数y=x2-3x-4的图象如图所示.
(1)图象与x轴的交点为(-1,0),(4,0),与y轴的交点为(0,-4).
(2)当x=-1或4时,y=0.这里x的取值是方程x2-3x-4=0的两个根.
(3)当x<-1或x>4时,函数值y大于0,当-1[即时训练3-1] 已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).
(1)证明4c=3b2;
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值.
(1)证明:依题意,m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根.
根据一元二次方程根与系数的关系,得
m+(-3m)=-b,m×(-3m)=-c.
所以b=2m,c=3m2,
所以4c=3b2=12m2.
(2)解:依题意,-=1,
所以b=-2.
由(1)得c=b2=×(-2)2=3.
所以y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
所以二次函数的最小值为-4.
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来说,当y=0时,就得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图象与x轴的交点坐标.
[例1] 若抛物线y=kx2-2x+1与x轴有两个交点,则k的取值范围是　　　　.
解析:若抛物线与x轴有两个交点,
则k≠0且(-2)2-4k>0.
答案:k<1,且k≠0
[例2] 设p是大于2的质数,k为正整数.若函数y=x2+px+(k+1)p-4的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值.
解:由题意知,方程x2+px+(k+1)p-4=0的两根x1,x2中至少有一个为整数.
由根与系数的关系可得x1+x2=-p,x1x2=(k+1)p-4,从而有
(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=(k-1)p,①
若k=1,则方程为x2+px+2(p-2)=0,它有两个整数根-2和2-p.
若k>1,则k-1>0.
因为x1+x2=-p为整数,如果x1,x2中至少有一个为整数,则x1,x2都是整数.
又因为p为质数,由①式知p=x1+2或p=x2+2.
不妨设p=x1+2,则可设x1+2=mp(其中m为非零整数),则由①式可得x2+2=,
故(x1+2)+(x2+2)=mp+,
即x1+x2+4=mp+.
又x1+x2=-p,
所以-p+4=mp+,
即(m+1)p+=4.②
如果m为正整数,则(m+1)p≥(1+1)×3=6,>0,从而(m+1)p+>6,与②式矛盾.
如果m为负整数,则(m+1)p<0,<0,从而(m+1)p+<0,与②式矛盾.
因此,k>1时,方程x2+px+(k+1)p-4=0不可能有整数根.
综上所述,k=1.
1.根据下列表格的对应值,
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是(　C　)
A.3C.3.242.不论m为何实数,抛物线y=x2-mx+m-2(　C　)
A.在x轴上方
B.与x轴只有一个交点
C.与x轴有两个交点
D.在x轴下方
3.如图所示为二次函数y=x2-4x+3图象,从图象可知
当x=　　　　时,y有最小值,最小值是　　　　,
当x　　　　时,y随x增大而增大,
当x　　　　时,y随x增大而减小.
答案:2　-1　>2　<2
4.二次函数y=x2-x-6的图象与x轴有　　　　个交点,交点坐标是　　　　,也就是说一元二次方程x2-x-6=0的根是　　　　.
答案:2　(-2,0),(3,0)　x1=-2,x2=3
选题明细表
知识点、方法 题号
二次函数的图象 3,4,6,7,9,10,11
二次函数图象与 一元二次方程的关系 1,2,5,8
基础巩固
1.函数y=ax2-bx+c的图象如图,那么关于x的方程ax2-bx+c=0的根的情况是(　C　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
2.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论错误的是(　D　)
A.a>0
B.b2-4ac>0
C.ax2+bx+c=0的两根之和为负
D.ax2+bx+c=0的两根之积为正
3.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴只有一个交点,则这个交点的坐标是　　　　.
答案:(-,0)
4.已知函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是　　　　.
解析:令y=0.当k=0时,即-7x-7=0,
得x=-1,即此时与x轴有交点(-1,0).
当k≠0时,二次函数与x轴有交点,则(-7)2-4×(-7)×k≥0,得k≥-,且k≠0.
综上,k≥-.
答案:[-,+∞)
5.直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点的个数是　　　　.
答案:1
能力提升
6.平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2 009)(x-2 008)+4的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位长度,则平移方式为(　B　)
A.向上平移4个单位长度
B.向下平移4个单位长度
C.向左平移4个单位长度
D.向右平移4个单位长度
解析:因为二次函数y=(x-2 009)(x-2 008)的图象与x轴交于点
(2 008,0)和(2 009,0),这两点间的距离为1,而二次函数y=
(x-2 009)(x-2 008)的图象可由二次函数y=(x-2 009)(x-2 008)+4的图象向下平移4个单位长度得到.故选B.
7.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A,C两点.求△ABC的周长和面积.
解:令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A,C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB==,BC==3,OB=|-3|=3.
C△ABC=AB+BC+AC=2++3.
S△ABC=AC·OB=×2×3=3.
8.在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为B(6,5).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)该男生把铅球推出去多远 (精确到0.01米).
解:(1)设y=a(x-6)2+5,
则由A(0,2),
得2=a(0-6)2+5,
得a=-.
故y=-(x-6)2+5.
(2)由-(x-6)2+5=0,
得x1=6+2,x2=6-2.
结合图象可知,C点坐标为(6+2,0),
故OC=6+2≈13.75(米).
即该男生把铅球推出约13.75米.
9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0),
B(x2,0),且x1+x2=4,=.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线与y轴交于C点,求直线BC的表达式;
(3)求△ABC的面积.
解:(1)解方程组得x1=1,x2=3.
故
解方程组,得b=4,c=-3.
所以该抛物线的函数表达式为y=-x2+4x-3.
(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.
由(1)得,当x=0时,y=-3,
故C点坐标为(0,-3).
所以解得
所以直线BC的函数表达式为y=x-3.
(3)由于AB=3-1=2,OC=|-3|=3.
故S△ABC=AB·OC=×2×3=3.
10.如果一个二次函数的图象经过点A(6,10),与x轴 交于B,C两点,点B,C的横坐标分别为x1,x2,且x1+x2=6,x1x2=5,求这个二次函数的解析式.
解:设函数为y=ax2+bx+c(a≠0),
将A(6,10)代入,得10=36a+6b+c,①
当y=0时,ax2+bx+c=0,
又x1+x2=-=6,②
x1x2==5,③
由①②③解得a=2,b=-12,c=10.
所以解析式为y=2x2-12x+10.
应用创新
11.定义[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数的一些结论:①当m=-3时,函数图象的顶点坐标是(,);②当m>0时,函数图象截x轴所得的线段长度大于;③当m<0时,函数在x>时,y随x的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过同一个点.其中正确的结论有(　B　)
A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②④
解析:把m=-3代入[2m,1-m,-1-m],得a=-6,b=4,c=2,函数解析式为y=-6x2+4x+2,易求出其图象顶点为(,),故①正确;当a=2m,
b=1-m,c=-1-m时,Δ=b2-4ac=(1-m)2-4×2m×(-1-m)=(3m+1)2,函数图象截x轴所得的线段长度为|x1-x2|===,当m>0时,
|x1-x2|==+>,故②正确;因为m<0,所以抛物线开口向下.
因为抛物线对称轴为x=-=-=-,所以在对称轴左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小.
因为<-,所以当x>时,图象有可能一部分在对称轴左侧,一部分在对称轴右侧,故③不正确;
对于抛物线y=2mx2+(1-m)x-1-m时,
当x=1时,y=2m+1-m+(-1-m)=0,
所以当m≠0时,抛物线一定经过(1,0)这个点,故④正确.故选B.
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