资源简介

2.1.3　基本不等式的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握基本不等式在实际问题中的应用. 2.掌握利用基本不等式求参数取值范围的方法. 1.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模与数学运算的核心素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值、条件最值和参数的取值范围,发展逻辑推理与数学运算素养.
基本不等式与最值
已知x,y都是正数,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值2.
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值.
1.(多选题)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项中正确的是(　AC　)
A.ab有最大值
B.+有最小值
C.+有最小值4
D.a2+b2有最小值
解析:因为a>0,b>0,且a+b=1,所以a+b≥2,所以ab≤.
所以ab有最大值,当且仅当a==b时取得.故选项A正确.
当a=,b=时,+=<.故选项B错误.
+==≥4,当且仅当a=b=时取得等号.
所以+有最小值4.故选项C正确.
当a==b时,a2+b2=<.故选项D错误.故选AC.
2.已知a>0,b>0,且a+=1,则ab的最大值为　　　　.
解析:因为1=a+≥2,
所以≤,
所以ab≤,当a=,即a=,b=1时取等号.
答案:
3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为　　　　.
解析:x2+2y2≥2=2=2,当且仅当x2=2y2,xy=1时等号成立.
答案:2
4.长为2L的铁丝,围成一个矩形,该矩形的最大面积为　　　　.
解析:设矩形一边长为x,则另一边为=L-x(0答案:
　利用基本不等式求解实际问题中的最值
[例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型),地面面积为48 m2,房屋正面每平方米的造价为1 200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低 最低总造价是多少
解:设房屋地面相邻两边的边长分别为x m,y m,靠墙的边长为x m,则xy=48.
房屋正面面积为3x m2;
房屋侧面(两个)面积为2×3y=6y(m2).
房屋总造价z=5 800+3x×1 200+6y×800
=5 800+1 200(3x+4y)
≥5 800+1 200×2
=5 800+4 800
=5 800+4 800×12
=63 400,
当且仅当即时,取等号.
综上,房屋地面相邻两边的边长分别为8 m,6 m,靠墙的边长为8 m,此时房屋总造价最低.最低总造价是63 400元.
[即时训练1-1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m.
(1)若设休闲区的长A1B1=x m,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计
解:(1)由休闲区的长A1B1=x,知休闲区的宽B1C1=,
故ABCD的长与宽分别是x+20,+8,故公园ABCD所占面积S=(x+20)(+8)=4 160+8x+(x>0).
(2)整理(1)中解析式得,S=4 160+8x+≥4 160+2=5 760,
当且仅当8x=,即x=100时取等号,此时宽B1C1==40,
答:要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长为100 m、宽为40 m.
利用基本不等式求条件最值
探究角度1　“1”代换型
[例2] 已知x>0,y>0且+=1,求x+2y的最小值.
解:因为x>0,y>0且+=1.
所以x+2y=(+)(x+2y)=10++≥10+2=18,
当且仅当
即时,等号成立,
故当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18.
[变式探究21] (1)本例中,若把“+=1”改成“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值;
(2)将本例中的“+=1”改为“+=1”,求x+2y的最小值;
(3)将本例中的“+=1”改为“8y+x=2xy”,求x+2y的最小值.
解:(1)因为x>0,y>0,x+2y=1,
所以+=(x+2y)(+)=8+++2=10++≥10+2=18.
当且仅当=时取等号,
结合x+2y=1,得x=,y=,
所以当x=,y=时,+取到最小值18.
(2)x+2y=(x+1)+2y-1=[(x+1)+2y](+)-1=(8+++2)-1≥(10+2)-1=18-1=17,当且仅当=,即x+1=4y且+=1,也就是y=3,x=11时取等号.
(3)因为8y+x=2xy,
所以+=2,
所以+=2,
所以+=1,
所以x+2y=(x+2y)(+)=4+++1≥5+2=9,当且仅当x=4y且8y+x=2xy,即x=6,y=时取等号.
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
探究角度2　整体代换型
[例3] 已知正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值和2x+y的最小值.
解:xy=2x+y+6≥2+6=2·+6,令t=>0,
可得t2≥2t+6,解得t≤-(舍去)或t≥3,所以xy≥18,
当且仅当y=2x,即x=3,y=6时,取“=”,
所以xy的最小值是18.
又2x+y=xy-6,所以2x+y最小值为12.
[即时训练31] 已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.
解:因为x+2y+2xy=8,2xy=x·2y≤,
由上面两式得2xy=8-(x+2y)≤,
令x+2y=t>0,
得8-t≤,解得t≥4,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时,取“=”,
即x+2y的最小值为4.
形如:已知axy+bx+cy+d=0,求xy或bx+cy的最值问题,当d=0时,可以通过同时除以xy化为“1”代换型,当d≠0时,可以利用整体代换,即先构建bx+cy的不等式,然后联立axy+bx+cy+d=0,可得关于bx+cy或的一元二次不等式.
提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值,可以先求出一个最值,然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值.
　利用基本不等式求解含参数的恒成立问题
[例4] 若x>0时,x2-(k+1)x+2>0恒成立,求k的取值范围.
解:因为x2-(k+1)x+2>0恒成立,
所以(k+1)x0时恒成立,
所以k+10时恒成立,
又x+≥2,当x=时等号成立,
所以k+1<2,
所以k<2-1,
所以k的取值范围是{k|k<2-1}.
[即时训练41] 若x>0时,不等式x2+mx+4≥0恒成立,求实数m的取值范围.
解:因为x2+mx+4≥0恒成立,
所以mx≥-x2-4,
所以-m≤x+.
又x+≥2=4,
当且仅当x=即x=2时取等号.
所以-m≤4,
所以m≥-4,
所以实数m的取值范围是{m|m≥-4}.
含参数的不等式恒成立问题,若能分离参数,常分离参数后求解.一般地,若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式),a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解,则a≥f(x)的最小值,a≤f(x)有解,则a≤f(x)的最大值.
[例1] (多选题)已知正数a,b满足a2+b2=2a+2b,若a+b∈Z,则a+b的值可以是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为≤,
所以a2+b2≥,
故a2+b2=2a+2b≥,
则(a+b)2-4(a+b)≤0,又a>0,b>0,
所以0当a+b=1时,a2+b2=2,ab=-,不符合题意;
当a+b=2时,a2+b2=4,此时ab=0,不符合题意;
若a+b∈Z,则a+b的值可以是3,4.故选BC.
[例2]
设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24,如图所示,把它沿对角线AC对折后,AB交DC于点P.设AB=x,求△ADP的最大面积.
解:易证△ADP≌△CBP,
所以BP=DP.
因为AD=12-x,从而AP2=(x-DP)2=
DP2+AD2=DP2+(12-x)2,
即DP=12-,
所以△ADP的面积为
AD·DP=(12-x)(12-)=6(18--x),
其中6又因为+x≥12,所以△ADP的面积小于等于108-72,当且仅当x=6时,等号成立.即△ADP的最大面积为108-72.
[例3] 设x>0,y>0,不等式++a≥0有解,求实数a的最值.
解:因为x>0,y>0,
所以++a≥0有解,
等价于-a≤有解.
则-a应小于或等于的最大值.
因为()2==1+≤2,
当x=y时取等号.
所以-a≤2,
所以a≥-2,
所以实数a有最小值-2.
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.若a>0,b>0,且ab=9,则+的最小值是　　　　.
解析:因为a>0,b>0,
所以+≥2=,当a=b时取等号.
答案:
2.若a>0,b>0,且+=4,则ab的最小值是　　　　.
解析:因为4=+≥2,所以≥,所以ab≥,当且仅当a=b=时取等号.
答案:
3.已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值为　　　　.
解析:因为x-y=1,所以y=x-1,
所以x+=x+=(x-1)++1≥3,
当x-1=即x=2时取等号.
答案:3
4.若x<0且不等式x2-ax+1≥0恒成立,则a的最小值是　　　　.
解析:因为x<0且x2-ax+1≥0恒成立,
所以ax≤x2+1,所以a≥x+,
又x<0时,(-x)+(-)≥2,
所以x+≤-2,所以a≥-2.
答案:-2
选题明细表
知识点、方法 题号
基本不等式的实际应用 5
基本不等式在求条件最值中的应用 1,2,3,4,6,8, 11,12,13
基本不等式在恒成立问题中的应用 7,9,10
基础巩固
1.已知x>0,y>0,xy=9,则x+3y的最小值为(　D　)
A.8 B.6
C.8 D.6
解析:x+3y≥2=6,当且仅当x=3y=3时,等号成立,故选D.
2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0,则+的最小值为(　A　)
A.4 B.6 C.8 D.12
解析:由题意,实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0,
则+=×(+)(2m+n)=×(4++)≥×(4+2)=4,
当且仅当=时,即m=,n=1时,等号成立,
所以+的最小值为4.故选A.
3.(2022·广东深圳高三月考)设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k等于(　D　)
A.3 B.
C. D.
解析:因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),
所以a·kb≤=1,则a·b≤,所以=3,所以k=,故选D.
4.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为(　D　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为x+3y=5xy,x>0,y>0,所以+=1,
所以3x+4y=(3x+4y)(+)=+++≥+2=5,
当且仅当=,即x=2y=1时,取等号.故选D.
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　C　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由题意可知,=-(x+)+12≤-2+12=2,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.故选C.
6.周长为+1的直角三角形面积的最大值为　　　　.
解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则+1=
a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.
答案:
能力提升
7.(多选题)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式中对一切满足条件的a,b恒成立的是(　ACD　)
A.ab≤1 B.+≤
C.a2+b2≥2 D.+≥2
解析:因为a>0,b>0,a+b=2,所以a+b=2≥2,即≤1,即ab≤1,故A正确;(+)2=a+b+2≤2(a+b)=4,故+≤2,故B错误;
a2+b2=(a+b)2-2ab≥4-2=2,故C正确;+=(+)(a+b)=1+(+)≥1+×2=2,故D正确.故选ACD.
8.(2022·辽宁沈阳高一期中)若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是(　A　)
A.4 B.2
C.2 D.4
解析:因为x2+xy-2=0,所以y==-x,所以3x+y=3x+-x=2x+≥4,当且仅当x=1时等号成立,故选A.
9.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　B　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:因为a>0,
所以(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2,由条件知a+2+1≥9,
所以a≥4.故选B.
10.(2022·长春高一月考)若命题“ x>-2,a>”为真命题,则a的取值范围是(　B　)
A.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
解析:因为x>-2,所以x+2>0
所以==≤=1,
当且仅当x+2=,即x=-1时,等号成立,
所以由 x>-2,a>成立,可得a>1,故选B.
11.(2021·天津高三期中)已知a,b均为正实数,且a+b=1,则的最小值为　　　　,此时a的值为　　　　.
解析:因为a,b均为正实数,且a+b=1,所以(a+b)2=1,
所以===+2=++2≥2+2=8,
当且仅当=,
即a=,b=时取等号,
所以的最小值为8.
答案:8　
应用创新
12.已知x,y为正实数,且满足x2+4y2+xy=5,则x+2y的最大值是(　B　)
A. B.2
C. D.2
解析:因为x2+4y2+xy=5,
所以(x+2y)2=5+3xy,
所以x+2y=,
又5-xy=x2+4y2≥4xy,xy≤1,
所以x+2y=≤=2,
当且仅当x=2y=时取等号.
则x+2y的最大值是 2.故选B.
13.当0范围.
解:因为0所以+=(2x+1-2x)(+)=5++≥5+2=
5+4=9.
当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值为9.
又关于x的不等式+≥m2恒成立,
所以9≥m2,解得-3≤m≤3.
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2.1.3　基本不等式的应用
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握基本不等式在实际问题中的应用.
2.掌握利用基本不等式求参数取值范围的方法. 1.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模与数学运算的核心素养.
2.通过利用基本不等式求最大值或最小值、条件最值和参数的取值范围,发展逻辑推理与数学运算素养.
知识探究·素养启迪
基本不等式与最值
知识探究
小
大
小试身手
AC
4.长为2L的铁丝,围成一个矩形,该矩形的最大面积为　　　　.
课堂探究·素养培育
[例1] 某公司建造一间背面靠墙的房屋(长方体型),地面面积为48 m2,房屋正面每平方米的造价为1 200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5 800元.如果墙高为3 m,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低 最低总造价是多少
探究点一
利用基本不等式求解实际问题中的最值
[即时训练1-1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m.
(1)若设休闲区的长A1B1=x m,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;
[即时训练1-1] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2,人行道的宽分别为4 m和10 m.
(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计
探究点二
利用基本不等式求条件最值
方法总结
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
(4)利用基本不等式求解最值.
[即时训练3-1] 已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.
方法总结
提醒:若题目要求同时求出xy和bx+cy的最值,可以先求出一个最值,然后直接利用axy+bx+cy+d=0求出另一个的最值.
探究点三
利用基本不等式求解含参数的恒成立问题
[例4] 若x>0时,x2-(k+1)x+2>0恒成立,求k的取值范围.
[即时训练4-1] 若x>0时,不等式x2+mx+4≥0恒成立,求实数m的取值范围.
方法总结
含参数的不等式恒成立问题,若能分离参数,常分离参数后求解.一般地,若a≥f(x)恒成立,则a≥f(x)的最大值(其中f(x)是关于变量x的关系式),
a≤f(x)恒成立,则a≤f(x)的最小值.若a≥f(x)有解,则a≥f(x)的最小
值,a≤f(x)有解,则a≤f(x)的最大值.
备用例题
[例1] (多选题)已知正数a,b满足a2+b2=2a+2b,若a+b∈Z,则a+b的值可以是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
[例2] 设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24,如图所示,把它沿对角线AC对折后,AB交DC于点P.设AB=x,求△ADP的最大面积.
课堂达标
答案:3
4.若x<0且不等式x2-ax+1≥0恒成立,则a的最小值是　　　　.
答案:-22.1.3　基本不等式的应用
选题明细表
知识点、方法 题号
基本不等式的实际应用 5
基本不等式在求条件最值中的应用 1,2,3,4,6,8, 11,12,13
基本不等式在恒成立问题中的应用 7,9,10
基础巩固
1.已知x>0,y>0,xy=9,则x+3y的最小值为(　D　)
A.8 B.6
C.8 D.6
解析:x+3y≥2=6,当且仅当x=3y=3时,等号成立,故选D.
2.已知实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0,则+的最小值为(　A　)
A.4 B.6 C.8 D.12
解析:由题意,实数m,n满足2m+n=2,其中m>0,n>0,
则+=×(+)(2m+n)=×(4++)≥×(4+2)=4,
当且仅当=时,即m=,n=1时,等号成立,
所以+的最小值为4.故选A.
3.(2022·广东深圳高三月考)设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k等于(　D　)
A.3 B.
C. D.
解析:因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),
所以a·kb≤=1,则a·b≤,所以=3,所以k=,故选D.
4.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为(　D　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因为x+3y=5xy,x>0,y>0,所以+=1,
所以3x+4y=(3x+4y)(+)=+++≥+2=5,
当且仅当=,即x=2y=1时,取等号.故选D.
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　C　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:由题意可知,=-(x+)+12≤-2+12=2,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.故选C.
6.周长为+1的直角三角形面积的最大值为　　　　.
解析:设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则+1=
a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取“=”,所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.
答案:
能力提升
7.(多选题)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式中对一切满足条件的a,b恒成立的是(　ACD　)
A.ab≤1 B.+≤
C.a2+b2≥2 D.+≥2
解析:因为a>0,b>0,a+b=2,所以a+b=2≥2,即≤1,即ab≤1,故A正确;(+)2=a+b+2≤2(a+b)=4,故+≤2,故B错误;
a2+b2=(a+b)2-2ab≥4-2=2,故C正确;+=(+)(a+b)=1+(+)≥1+×2=2,故D正确.故选ACD.
8.(2022·辽宁沈阳高一期中)若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是(　A　)
A.4 B.2
C.2 D.4
解析:因为x2+xy-2=0,所以y==-x,所以3x+y=3x+-x=2x+≥4,当且仅当x=1时等号成立,故选A.
9.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为(　B　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:因为a>0,
所以(x+y)(+)=1+a++≥1+a+2,由条件知a+2+1≥9,
所以a≥4.故选B.
10.(2022·长春高一月考)若命题“ x>-2,a>”为真命题,则a的取值范围是(　B　)
A.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
解析:因为x>-2,所以x+2>0
所以==≤=1,
当且仅当x+2=,即x=-1时,等号成立,
所以由 x>-2,a>成立,可得a>1,故选B.
11.(2021·天津高三期中)已知a,b均为正实数,且a+b=1,则的最小值为　　　　,此时a的值为　　　　.
解析:因为a,b均为正实数,且a+b=1,所以(a+b)2=1,
所以===+2=++2≥2+2=8,
当且仅当=,
即a=,b=时取等号,
所以的最小值为8.
答案:8　
应用创新
12.已知x,y为正实数,且满足x2+4y2+xy=5,则x+2y的最大值是(　B　)
A. B.2
C. D.2
解析:因为x2+4y2+xy=5,
所以(x+2y)2=5+3xy,
所以x+2y=,
又5-xy=x2+4y2≥4xy,xy≤1,
所以x+2y=≤=2,
当且仅当x=2y=时取等号.
则x+2y的最大值是 2.故选B.
13.当0范围.
解:因为0所以+=(2x+1-2x)(+)=5++≥5+2=
5+4=9.
当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值为9.
又关于x的不等式+≥m2恒成立,
所以9≥m2,解得-3≤m≤3.
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