资源简介

(共54张PPT)
2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法
核心知识目标 核心素养目标
1.了解一元二次不等式的实际意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,达成数学抽象和数学建模的核心素养.
2.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.一元二次不等式
(1)我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
知识探究
一个
2
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
{x|x13.分式不等式的解法
小试身手
1.不等式x2-5x+6<0的解集是(　 　)
A.{x|x>1或x<-6}
B.{x|x>6或x<-1}
C.{x|x>3或x<2}
D.{x|2解析:不等式x2-5x+6<0化为(x-2)(x-3)<0,解得2所以不等式的解集是{x|2D
2.不等式-3x2+5x-4>0的解集为　　　　.
3.若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为{x|x<1 或x>m},则a+m等于　　 .
答案:3
4.已知一元二次不等式ax2+2x-1<0的解集为R,则a的取值范围是　　　　.
答案:{a|a<-1}
课堂探究·素养培育
[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
探究点一
解不含参数的一元二次不等式
[例1] 解不等式:
(2)-3x2+6x-2>0;
[例1] 解不等式:
(3)4x2-4x+1≤0;
[例1] 解不等式:
(4)x2-2x+2>0.
[即时训练1-1] 解下列不等式:
(1)3x2+2x>2-3x;
[即时训练1-1] 解下列不等式:
(2)9x2-6x+1>0;
[即时训练1-1] 解下列不等式:
(3)-2x2+x+1<0;
[即时训练1-1] 解下列不等式:
(4)x2-4x+5<0.
方法总结
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
探究点二
一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
方法总结
(1)一元二次不等式解集的端点是一元二次不等式对应的一元二次方程的根.
(2)给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两个实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.
探究点三
含参数的一元二次不等式
探究角度1　二次项系数不含参数且能因式分解型
[例3] 解关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0(a∈R).
②当2a>a+1 a>1时,原不等式解集为{x|a+1[即时训练3-1] 解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a∈R).
解:原不等式等价于(x+1+a)(x+1-a)≤0.
(1)当-1-a<-1+a,即a>0时,-1-a≤x≤-1+a.
(2)当-1-a=-1+a,即a=0时,不等式即为(x+1)2≤0,所以x=-1.
(3)当-1-a>-1+a,即a<0时,-1+a≤x≤-1-a.
综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1-a≤x≤-1+a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x=-1};
当a<0时,原不等式的解集为{x|-1+a≤x≤-1-a}.
方法总结
含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论.
探究角度2　二次项系数含参数且能因式分解型
[例4] 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
(1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0,
解得x≤-1.
[即时训练4-1] 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
解:(1)当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.
方法总结
当二次项系数含参数且能因式分解时,先求解二次项系数为0的情况,此时不等式一般是化为一元一次不等式,比较简单;当二次项系数不为0时,先分解因式,然后再分二次项系数大于0和小于0两种情况讨论,一般地,有一种情况能判断两根的大小关系,比较简单,而另一种情况,两根的大小不确定,还需分三种情况讨论,最后的结论一般会达到五种情况.
探究角度3　含参数且不能因式分解型
[例5] 解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0.
[即时训练5-1] 解不等式ax2+2ax+4≤0.
方法总结
若含参数的一元二次不等式对应的方程不能直接求根,则需要考虑一元二次方程对应的判别式,这里需要对判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0分类讨论,当Δ>0如不能确定根的大小,还需要讨论根的大小.若二次项系数含参数,还需要讨论参数的符号.
探究点四
分式不等式的解法
备用例题
[例1] 解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;
[例1] 解下列不等式:
(2)-3x2+6x≤2;
[例1] 解下列不等式:
(3)4x2-4x+1>0;
[例1] 解下列不等式:
(4)-x2+6x-10>0.
[例2] 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
[例3] 求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
[例4] 解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:Δ=a2-16,下面分情况讨论:
(1)当Δ<0,即-4(2)当Δ=0,即a=±4时,若a=-4,则原不等式等价于(x-1)2>0,故x≠1;若a=4,则原不等式等价于(x+1)2>0,故x≠-1.
课堂达标
B
解析:因为2x+3-x2>0,
所以(x-3)(x+1)<0,
所以-1所以不等式的解集为{x|-1C
解析:原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,
解得-2C2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法
核心知识目标 核心素养目标
1.了解一元二次不等式的实际意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,达成数学抽象和数学建模的核心素养. 2.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
1.一元二次不等式
(1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x∈R且x≠-} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x13.分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0(<0) (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: (ax+b)(cx+d)>0(<0)
≥0(≤0) 法一: 或 法二:
>k(1.不等式x2-5x+6<0的解集是(　D　)
A.{x|x>1或x<-6}
B.{x|x>6或x<-1}
C.{x|x>3或x<2}
D.{x|2解析:不等式x2-5x+6<0化为(x-2)(x-3)<0,解得2所以不等式的解集是{x|22.不等式-3x2+5x-4>0的解集为　　　　.
解析:原不等式变形为3x2-5x+4<0.
因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以3x2-5x+4=0无解.由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为,即原不等式的解集为.
答案:
3.若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为{x|x<1 或x>m},则a+m等于　　　　.
解析:由题意知,1和m是方程x2-3ax+2=0的两个根,
则由根与系数的关系,得解得
所以a+m=3.
答案:3
4.已知一元二次不等式ax2+2x-1<0的解集为R,则a的取值范围是　　　　.
解析:由题意知
所以
所以a<-1.
答案:{a|a<-1}
　解不含参数的一元二次不等式
[例1] 解不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2.
画出二次函数y=2x2-3x-2的图象(如图(1)),结合图象得不等式2x2-3x-2>0的解集是{x|x<-,或x>2}.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0,
对应方程3x2-6x+2=0.
因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程有两个实数根.解得x1=1-,x2=1+.
画出二次函数y=3x2-6x+2的图象(如图(2)),结合图象得不等式3x2-6x+2<0的解集是
{x|1-所以不等式-3x2+6x-2>0的解集是
{x|1-(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,
画出二次函数y=4x2-4x+1的图象(如图(3)),结合图象得不等式4x2-4x+1≤0的解集是{x|x=}.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,
所以方程x2-2x+2=0无解.
画出二次函数y=x2-2x+2的图象(如图(4)),结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R.
[即时训练1-1] 解下列不等式:
(1)3x2+2x>2-3x;(2)9x2-6x+1>0;
(3)-2x2+x+1<0;(4)x2-4x+5<0.
解:(1)原不等式移项整理,
得3x2+5x-2>0.
因为Δ=49>0,方程3x2+5x-2=0有两个实数解,即x1=-2,x2=.
然后,画出函数y=3x2+5x-2的图象如图(1),由图象得不等式的解集为{x|x<-2或x>}.
(2)因为Δ=0,方程9x2-6x+1=0有两个相等实数根,即x1=x2=.
函数y=9x2-6x+1的图象是开口向上的抛物线(如图(2)),与x轴仅有一个交点(,0).
由图象可得不等式的解集为{x|x∈R,且x≠}.
(3)法一　
因为Δ=9>0,方程-2x2+x+1=0的解为x1=-,x2=1.
函数y=-2x2+x+1的图象是开口向下的抛物线(如图(3))与x轴交于点(-,0)和(1,0).
由图象得不等式的解集是{x|x<-或x>1}.
法二　不等式两边同乘-1,可得2x2-x-1>0.
方程2x2-x-1=0的解为x1=-,x2=1,函数y=2x2-x-1的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集为{x|x<-,或x>1}.
(4)
因为Δ=-4<0,方程x2-4x+5=0无实数解,函数y=x2-4x+5的图象是开口向上的抛物线如图(4),与x轴无交点,所以不等式的解集为.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
　一元二次不等式、一元二次方程与二次函数间的关系
[例2] 已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-解:因为ax2+bx+2>0的解集为{x|-所以-,是方程ax2+bx+2=0的两实根.
由根与系数的关系得
解得
所以2x2+bx+a<0可化为2x2-2x-12<0,
即x2-x-6<0,
所以(x-3)(x+2)<0,解得-2所以2x2+bx+a<0的解集为{x|-2[变式训练2-1] 将本例条件改为“不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-0的解集.
解:因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-所以a<0且-,3是方程ax2+bx+c=0的根,
所以
所以
则不等式cx2+bx+a>0可化为-ax2-x+a>0,即3x2+5x-2>0,
所以x>或x<-2,
所以不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|x<-2或x>}.
(1)一元二次不等式解集的端点是一元二次不等式对应的一元二次方程的根.
(2)给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+c=0的两个实根,由根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.
①如果不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|de},则说明a>0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.
②如果不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|d0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=;若解集为{x|xe},则说明a<0,x1=d,x2=e分别为方程ax2+bx+c=0的两根,即d+e=-,d·e=.
含参数的一元二次不等式
探究角度1　二次项系数不含参数且能因式分解型
[例3] 解关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0(a∈R).
解:关于x的不等式x2-(3a+1)x+2a(a+1)<0,
即(x-2a)(x-a-1)<0,对应方程两根为2a,a+1,以下分类讨论:
①当2a=a+1 a=1时,原不等式即为(x-2)2<0,解集为;
②当2a>a+1 a>1时,原不等式解集为{x|a+1③当2a综上所述,当a=1时,原不等式解集为;
当a>1时,原不等式解集为{x|a+1当a<1时,原不等式解集为{x|2a[即时训练3-1] 解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a∈R).
解:原不等式等价于(x+1+a)(x+1-a)≤0.
(1)当-1-a<-1+a,
即a>0时,-1-a≤x≤-1+a.
(2)当-1-a=-1+a,
即a=0时,不等式即为(x+1)2≤0,
所以x=-1.
(3)当-1-a>-1+a,即a<0时,-1+a≤x≤-1-a.
综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1-a≤x≤-1+a};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x=-1};
当a<0时,原不等式的解集为{x|-1+a≤x≤-1-a}.
含参数的一元二次不等式,若二次项系数不含参数,且不等式对应的方程能够因式分解(或方程根可求),应按不等式对应方程根的大小分类讨论.
探究角度2　二次项系数含参数且能因式分解型
[例4] 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
(1)当a=0时,原不等式化为x+1≤0,
解得x≤-1.
(2)当a≠0时,(ax-2)(x+1)≥0,
①当a>0时,原不等式化为(x-)(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.
②当a<0时,原不等式化为(x-)(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当<-1,即-2综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为{x|x≥或x≤-1};
当-2当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤}.
[即时训练4-1] 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
解:(1)当a=0时,原不等式即为-x+1<0,
解得x>1.
(2)当a<0时,原不等式化为(x-)(x-1)>0,解得x<或x>1.
(3)当a>0时,原不等式化为(x-)(x-1)<0.
①若a=1,即=1时,不等式无解;
②若a>1,即<1时,解得③若01时,解得1综上可知,当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,不等式的解集为;
当a>1时,不等式的解集为{x|当二次项系数含参数且能因式分解时,先求解二次项系数为0的情况,此时不等式一般是化为一元一次不等式,比较简单;当二次项系数不为0时,先分解因式,然后再分二次项系数大于0和小于0两种情况讨论,一般地,有一种情况能判断两根的大小关系,比较简单,而另一种情况,两根的大小不确定,还需分三种情况讨论,最后的结论一般会达到五种情况.
探究角度3　含参数且不能因式分解型
[例5] 解关于x的不等式:x2-2ax+2≤0.
解:因为Δ=4a2-8,所以当Δ<0,即-当Δ=0,即a=±时,原不等式对应的方程有两个相等实根.
当a=时,原不等式的解集为{x|x=};
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-}.
当Δ>0,即a>或a<-时,原不等式对应的方程有两个不等实根,分别为x1=a-,x2=a+,且x1综上所述,
当-当a=时,原不等式的解集为{x|x=};
当a=-时,原不等式的解集为{x|x=-};
当a>或a<-时,原不等式的解集为{x|a-≤x≤a+}.
[即时训练5-1] 解不等式ax2+2ax+4≤0.
解:(1)当a=0时,原不等式即4≤0,解集为.
(2)当a≠0时,Δ=4a2-16a.
当a=4时,Δ=0,原不等式可化为(x+1)2≤0,
解得x=-1;
当Δ<0时,解得0当Δ>0时,解得a>4或a<0.
由ax2+2ax+4=0,
解得x==,
当a>4时,≤x≤;
当a<0时,x≥或x≤.
综上可得,
当a<0时,不等式的解集为{x|x≥或x≤};
当0≤a<4时,不等式的解集为;
当a=4时,不等式的解集为{-1};
当a>4时,不等式的解集为{x|≤x≤}.
若含参数的一元二次不等式对应的方程不能直接求根,则需要考虑一元二次方程对应的判别式,这里需要对判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0分类讨论,当Δ>0如不能确定根的大小,还需要讨论根的大小.若二次项系数含参数,还需要讨论参数的符号.
　分式不等式的解法
[例6] 解下列不等式:
(1)<0;(2)≥0;(3)>1.
解:(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,
所以-1故原不等式的解集为{x|-1(2)原不等式可化为≤0,
所以所以
即-(3)原不等式可化为-1>0,
所以>0,所以>0,则x<-2.
故原不等式的解集为{x|x<-2}.
[即时训练6-1] 解下列不等式:
(1)<0;(2)≤0;
(3)≥1;(4)>-1.
解:(1)由<0,得(x+2)(x-1)<0,
解得-2故原不等式的解集为{x|-2(2)由≤0可得,≥0,
所以(x-2)(x-3)≥0,且x-3≠0,
所以 x≤2或x>3,
故原不等式解集为{x|x≤2或x>3}.
(3)因为≥1,所以≥0,
所以解得x≤-3或x>2,
所以原不等式的解集是{x|x≤-3或x>2}.
(4)>-1可化为+1>0,
即>0,即 >0,
此式显然对x∈R都成立,
所以原不等式的解集为R.
[例1] 解下列不等式:
(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2-4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
解:(1)方程2x2+5x-3=0的两实根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,
如图①.由图可得原不等式的解集为{x|-3(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.
Δ=36-4×3×2=12>0,解方程3x2-6x+2=0,得x1=,x2=.作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②,由图可得原不等式的解集为{x|x≤或x≥}.
(3)
因为方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为{x|x≠}.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,
因为Δ=36-40=-4<0,
所以方程x2-6x+10=0无实根,
所以原不等式的解集为.
[例2] 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|10的解集.
解:由根与系数的关系,可得
即
所以不等式bx2+ax+1>0,
即2x2-3x+1>0.
由2x2-3x+1>0,
解得x<或x>1.
所以bx2+ax+1>0的解集为{x|x<或x>1}.
[例3] 求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
解:因为12x2-ax>a2,
所以12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0.
令(4x+a)(3x-a)=0,得x1=-,x2=.
当a>0时,-<,解集为{x|x<-或x>};
当a=0时,x2>0,解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,->,解集为{x|x<或x>-}.
综上所述,当a>0时,不等式的解集为
{x|x<-或x>};
当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};
当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>-}.
[例4] 解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:Δ=a2-16,下面分情况讨论:
(1)当Δ<0,即-4(2)当Δ=0,即a=±4时,若a=-4,则原不等式等价于(x-1)2>0,故x≠1;若a=4,则原不等式等价于(x+1)2>0,故x≠-1.
(3)当Δ>0,即a>4或a<-4时,
方程2x2+ax+2=0的两个根为x1=(-a-),x2=(-a+).
此时原不等式等价于(x-x1)(x-x2)>0,
所以xx2.
综上,当-4当a=-4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠1};
当a>4或a<-4时,原不等式的解集为{x|x<(-a-)或x>(-a+)};
当a=4时,原不等式的解集为{x|x∈R,且x≠-1}.
1.(2022·北京高二期中)不等式2x+3-x2>0的解集是(　B　)
A.{x|-3C.{x|1≤x<3} D.{x|-≤x<3}
解析:因为2x+3-x2>0,
所以(x-3)(x+1)<0,
所以-1所以不等式的解集为{x|-12.不等式ax2+bx+1>0的解集是{x|-A.5 B.-5 C.-7 D.7
解析:因为一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集是{x|-所以-和是一元二次方程ax2+bx+1=0的两根,所以
解得
所以a+b=-7.故选C.
3.不等式 <0的解集为(　C　)
A.{x|x>1} B.{x|x<-2}
C.{x|-21或x<-2}
解析:原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,
解得-24.若0解析:不等式可变为(x-a)·(x-)<0,
因为0所以>a,
所以不等式的解集为{x|a答案:{x|a选题明细表
知识点、方法 题号
二次不等式及其解法 1,2,3,5,7,8,10,11
一元二次不等式与二次方程的关系 9,13
含参数的一元二次不等式 4,6,12
基础巩固
1.不等式<1的解集是(　A　)
A.{x|x<-1或x>1} B.{x|x>1}
C.{x|x<-1} D.{x|-1解析:因为<1,所以-1<0,即<0,该不等式可化为(x+1)(x-1)>0,所以x<-1或x>1.故选A.
2.(多选题)下列四个不等式,其中解集为的是(　CD　)
A.x2+6x+10>0
B.x2-2x+>0
C.-2+3x-2x2>0
D.2x2-3x+4<1
解析:A中,Δ=62-4×10=-4<0,解集为R;
B中,Δ=(-2)2-4×>0,解集不为;
C中,不等式-2+3x-2x2>0可化为2x2-3x+2<0,
因为Δ=(-3)2-4×2×2=-7<0,所以不等式-2+3x-2x2>0的解集为;
故选D.
D中,原不等式等价为2x2-3x+3<0,因为Δ=(-3)2-4×2×3=-15<0,
所以不等式的解集为.故选CD.
3.(2022·天津高二联考)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2A.{x|-3C.{x|x<-2或x>3} D.{x|x<-3或x>2}
解析:不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2解得b=a,c=-6a,所以不等式bx2+ax+c<0可化为ax2+ax-6a<0,即x2+x-6>0,解得x<-3或x>2,所以所求不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.故选D.
4.若a<0,则关于x的不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为(　B　)
A.{x|2C.{x|x<或x>2} D.{x|x<2或x>}
解析:方程(ax-1)(x-2)=0的两个根为x=2和x=,因为a<0,所以<2,
故不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为{x|故选B.
5.写出一个使不等式2x2-5x-3≥0成立的充分不必要条件　　　.
解析:2x2-5x-3≥0的解集为{x|x≤-或x≥3},即2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3(答案不唯一).
答案:x≥3(答案不唯一)
能力提升
6.(2022·浙江台州期中)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-40的解集为(　A　)
A.{x|-}
C.{x|-11}
解析:因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-4所以可得c=-4a,b=3a,且a<0,
所以不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为3x2+x-4<0,解得-故选A.
7.不等式组的解集是(　B　)
A.{x|2B.{x|1C.{x|x<或x>3}
D.{x|x<1或x>2}
解析:因为x2-4x+3<0,
所以(x-1)(x-3)<0,所以1又因为2x2-7x+6>0,所以(x-2)(2x-3)>0,
所以x<或x>2,所以原不等式组的解集为{x|12}={x|18.不等式<2的解集为(　A　)
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
解析:原不等式 x2-2x-2<2x2+2x+2 x2+4x+4>0 (x+2)2>0,
所以x≠-2.
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.故选A.
9.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.x2-x1>4 D.-1解析:由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1所以a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两根.
所以x1+x2=2,x1x2==-3<-3.
x2-x1===2>4.
由x2-x1>4,可得-110.已知关于x的不等式(kx-k2-6)(x-4)>0,若k=-2,不等式的解集为　　　　　　;若k>0,不等式的解集为　　　　　　.
解析:k=-2时,
不等式为(-2x-10)(x-4)>0,
即(x+5)(x-4)<0,
所以-5当k>0时,
不等式可化为(x-)(x-4)>0,
又=k+≥2>4,
所以x<4或x>,
即解集为{x|x<4或x>}.
答案:{x|-5}
11.不等式|x2-x|<6的解集是　　 　　,不等式x2-3|x|<0的解集是　　　　　　　　.
解析:由|x2-x|<6,得-6即
解得-2因为x2-3|x|<0,
所以或
所以0所以不等式的解集为{x|-3答案:{x|-212.已知不等式x2+x-6<0的解集为A,不等式x2-2x-3<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+bx+3<0的解集.
解:(1)由x2+x-6<0得-3所以A={x|-3由x2-2x-3<0,得-1所以B={x|-1所以A∩B={x|-1(2)由已知得解得
所以-x2-2x+3<0,即x2+2x-3>0,
解得x<-3或x>1.
所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.
应用创新
13.(多选题)已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b(aA.当aB.当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
C.不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b=
D.不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b-a=4
解析:作出函数y=x2-3x+4=(x-2)2+1的图象,其顶点(2,1),开口向上,
对于A,由图象知y≥1,故当a对于B,作出y=a和y=b,如图所示,由图可知,当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式,故B错误;
对于C,若不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},可知
a≤ymin,即a≤1,
所以原题等价于不等式x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b},由图象知a≤2≤b.
由x=b时,函数值为b,得b2-3b+4=b,解得b=(舍)或b=4.故C错误.
对于D,当b=4时,由a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4,a=0满足a≤1,
故b=4,a=0,此时b-a=4,故D正确.
故选AD.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3　一元二次不等式
2.3.1　一元二次不等式及其解法
选题明细表
知识点、方法 题号
二次不等式及其解法 1,2,3,5,7,8,10,11
一元二次不等式与二次方程的关系 9,13
含参数的一元二次不等式 4,6,12
基础巩固
1.不等式<1的解集是(　A　)
A.{x|x<-1或x>1} B.{x|x>1}
C.{x|x<-1} D.{x|-1解析:因为<1,所以-1<0,即<0,该不等式可化为(x+1)(x-1)>0,所以x<-1或x>1.故选A.
2.(多选题)下列四个不等式,其中解集为的是(　CD　)
A.x2+6x+10>0
B.x2-2x+>0
C.-2+3x-2x2>0
D.2x2-3x+4<1
解析:A中,Δ=62-4×10=-4<0,解集为R;
B中,Δ=(-2)2-4×>0,解集不为;
C中,不等式-2+3x-2x2>0可化为2x2-3x+2<0,
因为Δ=(-3)2-4×2×2=-7<0,所以不等式-2+3x-2x2>0的解集为;
故选D.
D中,原不等式等价为2x2-3x+3<0,因为Δ=(-3)2-4×2×3=-15<0,
所以不等式的解集为.故选CD.
3.(2022·天津高二联考)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2A.{x|-3C.{x|x<-2或x>3} D.{x|x<-3或x>2}
解析:不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-2解得b=a,c=-6a,所以不等式bx2+ax+c<0可化为ax2+ax-6a<0,即x2+x-6>0,解得x<-3或x>2,所以所求不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.故选D.
4.若a<0,则关于x的不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为(　B　)
A.{x|2C.{x|x<或x>2} D.{x|x<2或x>}
解析:方程(ax-1)(x-2)=0的两个根为x=2和x=,因为a<0,所以<2,
故不等式(ax-1)(x-2)>0的解集为{x|故选B.
5.写出一个使不等式2x2-5x-3≥0成立的充分不必要条件　　　.
解析:2x2-5x-3≥0的解集为{x|x≤-或x≥3},即2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3(答案不唯一).
答案:x≥3(答案不唯一)
能力提升
6.(2022·浙江台州期中)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-40的解集为(　A　)
A.{x|-}
C.{x|-11}
解析:因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-4所以可得c=-4a,b=3a,且a<0,
所以不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0可化为3x2+x-4<0,解得-故选A.
7.不等式组的解集是(　B　)
A.{x|2B.{x|1C.{x|x<或x>3}
D.{x|x<1或x>2}
解析:因为x2-4x+3<0,所以(x-1)(x-3)<0,所以1又因为2x2-7x+6>0,所以(x-2)(2x-3)>0,所以x<或x>2,所以原不等式组的解集为{x|12}={x|18.不等式<2的解集为(　A　)
A.{x|x≠-2} B.R
C. D.{x|x<-2或x>2}
解析:原不等式 x2-2x-2<2x2+2x+2 x2+4x+4>0 (x+2)2>0,
所以x≠-2.
所以原不等式的解集为{x|x≠-2}.故选A.
9.(多选题)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1A.x1+x2=2 B.x1x2<-3
C.x2-x1>4 D.-1解析:由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是{x|x1所以a<0,x1,x2是一元二次方程ax2-2ax+1-3a=0的两根.
所以x1+x2=2,x1x2==-3<-3.
x2-x1===2>4.
由x2-x1>4,可得-110.已知关于x的不等式(kx-k2-6)(x-4)>0,若k=-2,不等式的解集为　　　　　　;若k>0,不等式的解集为　　　　　　.
解析:k=-2时,
不等式为(-2x-10)(x-4)>0,
即(x+5)(x-4)<0,
所以-5当k>0时,
不等式可化为(x-)(x-4)>0,
又=k+≥2>4,
所以x<4或x>,
即解集为{x|x<4或x>}.
答案:{x|-5}
11.不等式|x2-x|<6的解集是　　 　　,不等式x2-3|x|<0的解集是　　　　　　　　.
解析:由|x2-x|<6,得-6即
解得-2因为x2-3|x|<0,
所以或
所以0所以不等式的解集为{x|-3答案:{x|-212.已知不等式x2+x-6<0的解集为A,不等式x2-2x-3<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+bx+3<0的解集.
解:(1)由x2+x-6<0得-3所以A={x|-3由x2-2x-3<0,得-1所以B={x|-1所以A∩B={x|-1(2)由已知得解得
所以-x2-2x+3<0,即x2+2x-3>0,
解得x<-3或x>1.
所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>1}.
应用创新
13.(多选题)已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b(aA.当aB.当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式
C.不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b=
D.不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},那么b-a=4
解析:作出函数y=x2-3x+4=(x-2)2+1的图象,其顶点(2,1),开口向上,
对于A,由图象知y≥1,故当a对于B,作出y=a和y=b,如图所示,由图可知,当a=2时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式,故B错误;
对于C,若不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b},可知
a≤ymin,即a≤1,
所以原题等价于不等式x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b},由图象知a≤2≤b.
由x=b时,函数值为b,得b2-3b+4=b,解得b=(舍)或b=4.故C错误.
对于D,当b=4时,由a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4,a=0满足a≤1,
故b=4,a=0,此时b-a=4,故D正确.
故选AD.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑