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一元二次方程单元测试（培优卷）
一．选择题（共10小题）
1．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0，配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝4 B．（x+2）2＝8 C．（x﹣2）2＝4 D．（x﹣2）2＝8
2．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，某养鸡户用一段14m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长7.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为28m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为（　　）
A．3.5m或4m B．7m或8m C．4m D．7m
5．实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
6．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
7．如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE＝AB＝3，AD＝4，则方程x2+6x﹣16＝0的正数解是（　　）
A．线段AE的长 B．线段BE的长
C．线段CE的长 D．线段AC的长
8．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
10．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（　　）
A．10 B．84 C．100 D．121
二．填空题（共5小题）
11．若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则代数式α2+αβ+α﹣β的值为 　 　 ．
12．已知a，b是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，若a2﹣2a﹣ab＝4，则k＝ 　 　 ．
13．某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价48.6元/盒，则该药品平均降价率是 　 　 ．
14．已知a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，且a≠b，则化简ba　 　 ．
15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x＝5；
（2）x（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）x2﹣5x﹣6＝0．
17．关于x的方程为x2+（m﹣3）x+m﹣7＝0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2．且满足2（x1+x2）+x1x2＞0，求m的取值范围．
18．某商场在春节期间将单价200元的某种商品经过两次降价后，以162元的价格出售．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）售货员向经理建议：先公布降价5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？
19．为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为12m的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90m2，求小道的宽度．
20．列方程解下列问题：
甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走A路线，全程1500千米，乙队走B路线，全程1600千米，但B路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天．
（1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天．
（2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了m人（m＞0），经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求m的值．
21．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示．
素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为a cm（a＜50cm）长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②
小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为 　 　 ．
目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
22．请阅读下列材料：
已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，
把x代入已知方程，得3＝0．
化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　 ；
（2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．
一元二次方程单元测试（培优卷）答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D D C C B B C
1．解：x2﹣4x﹣4＝0，
移项得x2﹣4x＝4，
配方得x2﹣4x+4＝4+4，
方程左边可写成完全平方形式：（x﹣2）2＝8，
故选：D．
2．解：设劳动基地中的道路宽为x米，
由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480，
整理得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去），
即劳动基地中的道路宽为2米，
故选：C．
3．解：由题知，
因为关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣3）2﹣4×1×k≥0，
解得k，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
4．解：设BC＝x m，则ABm，
根据题意得：x 28，
整理得：x2﹣15x+56＝0，
解得：x1＝7，x2＝8，
又∵墙长7.5m，
∴x＝7，
即BC的长为7m，
故选：D．
5．解：由题可得：方程2*x＝﹣2化为x2+2x＝﹣2，
即x2+2x+2＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
故选：D．
6．解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
7．解：x2+6x﹣16＝0，
（x﹣2）（x+8）＝0，
x﹣2＝0或x+8＝0，
解得x＝2或﹣8；
∵四边形ABCD是矩形，AE＝AB＝3，
∴BC＝AD＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
∴方程x2+6x﹣16＝0的正数解是线段CE的长．
故选：C．
8．解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
9．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0或x0，
∴2ax0+b或2ax0+b，
∴．
故④正确．
故选：B．
10．解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）] [（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：根据题意得：α2+2α﹣2025＝0，α+β＝﹣2，αβ＝﹣2025，
∴α2＝2025﹣2α，
∴α2+αβ+α﹣β
＝2025﹣2α+αβ+α﹣β
＝2025+αβ﹣（α+β）
＝2025﹣2025+2
＝2．
故答案为：2．
12．解：∵a，b是关于x的方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴a2﹣2a+k＝0，ab＝k，
∴a2﹣2a＝﹣k，
∵a2﹣2a﹣ab＝4，
∴﹣k﹣k＝4，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．解：设该药品平均每次降价率是x，
依题意，得：60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
14．解：∵a2+5a＝﹣2，b2+2＝﹣5b，即a2+5a+2＝0，b2+5b+2＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2+5x+2＝0的两不相等的实数根，
则a+b＝﹣5，ab＝2，
∴a＜0，b＜0，
则原式
，
故答案为：．
15．解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）∵x2﹣2x＝5，
∴x2﹣2x+1＝6，
∴（x﹣1）2＝6，
∴，
∴x11，x21；
（2）x（x﹣1）＝2﹣2x，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x+2＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝1；
（3）x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣1．
17．解：（1）∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣7）＝（m﹣5）2+12＞0，
∴无论m取何值方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据题意得x1+x2＝3﹣m，x1x2＝m﹣7，
∵2（x1+x2）+x1x2＞0，
∴2（3﹣m）+m﹣7＞0，
∴m＜﹣1，
∴m的取值范围为m＜﹣1．
18．解：（1）设平均每次降价的百分率是x，
根据题意列方程得，200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）200（1﹣5%）（1﹣15%）＝161.5＜162
∴售货员的方案对顾客更优惠．
19．解：设小道的宽度为x m，
根据题意得：（12﹣x）（12﹣1﹣x）＝90，
解得：x1＝2，x2＝21（不符合题意，舍去），
答：小道的宽度为2m．
20．解：（1）设甲原计划需要x天，
，
解得x＝5，
经检验，x＝5，是原分式方程的解，
∴x﹣1＝5﹣1＝4，
∴甲原计划需要5天，乙原计划需要4天；
（2）5×（500﹣20m）（20+m）＝400×20×4+18000，
∴m＝5或m＝0（不符合题意，舍去）．
∴m＝5．
21．解：目标1：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2＝5（cm），
则a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm），
故答案为：40cm；
目标2：（1）设边长为x cm，
∴（50﹣2x）（40﹣2x）＝936，
解得：x1＝7，x2＝38（舍去），
∴体积为v＝936×7＝6552（cm3），
答：储物盒的容积为6552立方厘米；
（2）设小长方形的宽为x cm，长为y cm，
根据题意得：，
解得：，
∴小长方形的宽为11cm，
当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高11＜18，
∴玩具机械狗不能完全放入该储物，
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．
22．解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0，
得y2﹣y﹣2＝0，
故答案为：y2﹣y﹣2＝0；
（2）设所求方程的根是y，则y，
所以x，
把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得
2（）2﹣7 3＝0，
化简，得3y2﹣7y+2＝0；
（3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0，
∵令y﹣1＝x，
∴y＝x+1，
则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1，
所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1．
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