资源简介

3.1.2　表示函数的方法
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.会求函数的解析式. 结合实例,经历函数三种表示法的抽象过程,体会三种表示法的作用,发展学生的数学抽象的核心素养.
函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法就是用解析式来表示函数的方法.
列表法,就是列出表格来表示函数的方法.
图象法,就是用图象表示函数的方法.
1.下列图象中,表示函数关系y=f(x)的是(　D　)
解析:根据函数的定义,只有选项D的图象满足一个x有唯一的y对应.故选D.
2.y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为(　C　)
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
解析:由题意设y=(k≠0),
由题意知1=,
所以k=2,
所以y=.故选C.
3.已知函数f(x)由下表给出:
x -1 0 1 2
f(x) 4 2 0 1
则f(f(1))=　　　　.
解析:因为f(1)=0,所以f(f(1))=f(0)=2.
答案:2
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是　　　　　,值域是　　　　　.
答案:[-3,3)　[-2,2]
　列表法表示函数
[例1] 已知函数f(x)由下表给出,f(10f())的值为(　　)
x x≤1 1y 1 2 3
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为∈(-∞,1],
所以f()=1,10f()=10,
所以f(10f())=f(10).
又因为10∈[2,+∞),
所以f(10)=3,
即f(10f())=3.
故选D.
[即时训练1-1] 已知函数f(x)与g(x)分别由表给出,则f(g(3))等于(　　)
x 1 2 3
f(x) 4 3 9
x 2 3 4
g(x) 2 1 3
A.4 B.1 C.3 D.9
解析:由表格得g(3)=1,所以f(g(3))=f(1)=4.故选A.
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
　图象法表示函数
[例2] 下列选项中,不是函数的图象的是(　　)
解析:对于A选项,当-1[即时训练2-1] 下列各选项中,能表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
解析:根据函数的定义,对于定义域内的任何一个变量,都有唯一的一个函数值与其对应,所给选项中,选项A,B,C中均为一个变量对应多个值的情况.故选D.
判断一个图形是否是函数图象的方法:作一条与y轴平行的直线x=l,判断直线x=l与图象是否最多只有一个交点.若直线x=l与图形最多只有一个交点,则是,否则不是.
　求函数解析式的方法
探究角度1　利用待定系数法求函数解析式
[例3] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13.求函数f(x)的解析式.
解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
则f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c
=ax2+(4a+b)x+4a+2b+c,
f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c
=ax2-(2a-b)x+a-b+c.
所以2f(x+2)-f(x-1)=ax2+(10a+b)x+7a+5b+c.
所以ax2+(10a+b)x+7a+5b+c=x2+11x+13.
所以
所以
所以f(x)=x2+x+1.
[即时训练3-1] 已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求函数f(x)的解析式.
解:设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b
=16x-25,
所以
所以或
所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+.
(1)使用待定系数法求函数解析式的原理是a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2对x∈R恒成立,则a1=a2,b1=b2,c1=c2.
(2)当函数为二次函数时,应将函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0);若函数为一次函数,则设为f(x)=kx+b(k≠0).
探究角度2　求复合函数解析式的方法
[例4] 已知f(+1)=+2,求函数f(x)的解析式.
解:法一　因为+2=+-+2
=(++1)-2(+1)+2+1
=(++1)-2(+1)+3
=(+1)2-2(+1)+3,
所以f(1+)=(1+)2-2(1+)+3.
所以f(x)=x2-2x+3.
又1+≠1,
所以f(x)=x2-2x+3(x≠1).
法二　设t=+1,
则=t-1(t≠1).
所以f(t)=(t-1)2+2=t2-2t+3,
所以f(x)=x2-2x+3(x≠1).
[即时训练4-1] 已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式.
解:法一(换元法)　令t=+1,
则x=(t-1)2,t≥1,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
法二(配凑法)　f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1.
因为+1≥1,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
已知f(g(x))=h(x),求f(x),常用的方法有两种
(1)换元法:即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即函数f(x)的定义域.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
探究角度3　方程(组)法求函数解析式
[例5] 已知函数f(x)满足f(x)+2f()=x,求函数f(x)的解析式.
解:在已知等式中,将x换成,得
F()+2f(x)=.
联立已知等式,得
消去f(),得f(x)=-+(x≠0).
[即时训练5-1] 若f(x)满足3f(x)+2f(-x)=2x+2,求函数f(x)的解析式.
解:由3f(x)+2f(-x)=2x+2,①
知3f(-x)+2f(x)=2-2x,②
由①②消去f(-x),得f(x)=2x+.
(1)已知f(x)与f((x))满足的关系式,要求f(x)时,可用(x)代替关系式两边的所有的x,并与已知关系式联立,得到关于f(x)及f((x))的方程组,解之即可求出f(x).
(2)形如af(x)+bf()=h(x)或af()+bf(x)=h(x)(ab≠0,且x≠0)型的函数解析式常用方程组法.
[例题] 作出下列函数的图象,并指出其值域.
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
(2)y=(-2≤x≤1且x≠0).
解:(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为[-,2].
(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.
由图可知y=(-2≤x≤1 且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).
1.函数f(x)=3x-1,x∈[1,5]的图象是(　C　)
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析:因为f(x)=3x-1为一次函数,图象为一条直线,而x∈[1,5],则此时图象为线段.故选C.
2.已知函数f(x-1)=x2+2x-3,则f(x)等于(　A　)
A.x2+4x B.x2+4
C.x2+4x-6 D.x2-4x-1
解析:f(x-1)=(x-1)2+4(x-1),所以f(x)=x2+4x.故选A.
3.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于　　　　.
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
解析:由题中表格可知f(1)=4,所以f(f(1))=f(4)=2.
答案:2
4.已知函数f(x)满足f(3x+1)=2x-3且f(a)=1,则实数a的值为　　　　.
解析:令3x+1=t,则x=,
故f(t)=t-,
故f(x)=x-,
由f(a)=a-=1,
解得a=7.
答案:7
选题明细表
知识点、方法 题号
列表法表示函数 4,6,10
图象法表示函数 1,5,9,12,13
解析法表示函数 2,3,7,8,11
基础巩固
1.下列各图中,是函数的图象的选项是(　C　)
解析:根据函数定义,对于任意的x,最多有一个y与之对应,选项A,B,D均不满足,排除ABD.故选C.
2.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于(　B　)
A.3x+2 B.3x-2
C.2x+3 D.2x-3
解析:设f(x)=kx+b(k≠0),
因为2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
所以所以
所以f(x)=3x-2.
故选B.
3.已知f(x+1)=x2+5x,那么f(x)等于(　B　)
A.x2+3x+4 B.x2+3x-4
C.x2+3x D.x2+5x
解析:设t=x+1,则x=t-1,则f(t)=(t-1)2+5(t-1)=t2+3t-4,
即函数解析式为f(x)=x2+3x-4.故选B.
4.(2021·福建厦门高一期中)已知函数y=f(x),用列表法表示如下:
x -2 -1 0 1 2
y 1 0 -2 2 -1
则f(-2)+f(f(-2))等于(　D　)
A.-4 B.0 C.2 D.3
解析:由表格可得,f(-2)=1,
所以f(f(-2))=f(1)=2,
所以f(-2)+f(f(-2))=3.故选D.
5.已知函数f(x)的图象如图所示,其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则f()=　　 　,函数g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为　　　.
解析:由题得f(3)=1,所以f()=f(1)=2.
令g(x)=f(x)-=0,所以f(x)=.观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=有两个解,所以g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为2.
答案:2　2
6.下表表示函数y=f(x),则f(x)>x的整数解的集合是　　　　.
x 0y=f(x) 4 6 8 10
解析:当0x的整数解为{1,2,3}.
当5≤x<10时,f(x)>x的整数解为{5}.
当10≤x<15时,f(x)>x的整数解为.
当15≤x<20时,f(x)>x的整数解为.
综上所述,f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}.
答案:{1,2,3,5}
能力提升
7.(2021·贵州黔东南高一期中)若函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x,则f(2)等于(　A　)
A.-6 B.6
C.-9 D.9
解析:因为函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x,
令x=2,得f(2)+2f(-2)=6; ①
令x=-2,得f(-2)+2f(2)=-6. ②
联立①②,得f(2)=-6.故选A.
8.(多选题)设f(x)=,则下列结论正确的是(　BD　)
A.f(-x)=-f(x) B.f()=-f(x)
C.f(-)=f(x) D.f(-x)=f(x)
解析:因为f(x)=,
所以f(-x)==f(x),
f()===-f(x),
f(-)===-f(x).故选BD.
9.函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　D　)
解析:由函数y=ax2+a中一次项系数为0,易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称,可排除A;当a>0时,函数y=ax2+a的图象开口方向向上,顶点(0,a)在x轴上方,可排除C;当a<0时,函数y=ax2+a的图象开口方向向下,顶点(0,a)在x轴下方,函数y=(a≠0)的图象位于第二、第四象限,可排除B.故选D.
10.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=x的解集为　　　　.
解析:当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不符合题意;
当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不符合题意;
当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合题意,
综上,方程g(f(x))=x的解集为{3}.
答案:{3}
11.(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x);
(2)已知f()=,求f(x).
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c
=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以所以
所以f(x)=x2-2x-1.
(2)法一　换元法.
设t=,则x=(t≠0),
代入f()=,得f(t)==.
故f(x)=(x≠0,且x≠±1).
法二　因为f()==,
所以f(x)=(x≠0,且x≠±1).
12.画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题.
(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小;
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.
解:因为函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R,列表,
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -5 0 3 4 3 0 -5 …
描点,连线,得函数图象如图所示.
(1)根据图象,容易发现f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,
所以f(3)(2)根据图象,容易发现当x1(3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线,因此,函数的值域为(-∞,4].
应用创新
13.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为△ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A,O,P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为(　A　)
解析:由三角形的面积公式知,当0≤x≤a时,f(x)=·x··a=
ax,故在[0, a]上的图象为线段,故排除B;当af(x)=·(a-x)··a=a(a-x),故在(a,a]上的图象为线段,故排除C,D.故选A.
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3.1.2　表示函数的方法
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.会求函数的解析式. 结合实例,经历函数三种表示法的抽象过程,体会三种表示法的作用,发展学生的数学抽象的核心素养.
知识探究·素养启迪
函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法就是用 来表示函数的方法.
列表法,就是 来表示函数的方法.
图象法,就是用 表示函数的方法.
知识探究
解析式
列出表格
图象
小试身手
1.下列图象中,表示函数关系y=f(x)的是(　 　)
D
解析:根据函数的定义,只有选项D的图象满足一个x有唯一的y对应.故选D.
C
3.已知函数f(x)由下表给出:
x -1 0 1 2
f(x) 4 2 0 1
则f(f(1))=　　　　.
解析:因为f(1)=0,所以f(f(1))=f(0)=2.
答案:2
4.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是　　　　　,值域是
　　　　　.
[-3,3)
[-2,2]
课堂探究·素养培育
探究点一
列表法表示函数
解析:由表格得g(3)=1,所以f(g(3))=f(1)=4.故选A.
[即时训练1-1] 已知函数f(x)与g(x)分别由表给出,则f(g(3))等于(　　)
x 1 2 3
f(x) 4 3 9
x 2 3 4
g(x) 2 1 3
A.4 B.1 C.3 D.9
方法总结
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
探究点二
图象法表示函数
[例2] 下列选项中,不是函数的图象的是(　　)
解析:对于A选项,当-1[即时训练2-1] 下列各选项中,能表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
解析:根据函数的定义,对于定义域内的任何一个变量,都有唯一的一个函数值与其对应,所给选项中,选项A,B,C中均为一个变量对应多个值的情况.故选D.
方法总结
判断一个图形是否是函数图象的方法:作一条与y轴平行的直线x=l,判断直线x=l与图象是否最多只有一个交点.若直线x=l与图形最多只有一个交点,则是,否则不是.
探究点三
求函数解析式的方法
探究角度1　利用待定系数法求函数解析式
[例3] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13.求函数f(x)的解析式.
[即时训练3-1] 已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求函数f(x)的解析式.
方法总结
(1)使用待定系数法求函数解析式的原理是a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2对x∈R恒成立,则a1=a2,b1=b2,c1=c2.
(2)当函数为二次函数时,应将函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0);若函数为一次函数,则设为f(x)=kx+b(k≠0).
方法总结
已知f(g(x))=h(x),求f(x),常用的方法有两种
(1)换元法:即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,再用x替换t,便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时,换元后要确定新元t的取值范围,即函数f(x)的定义域.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”,用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
[即时训练5-1] 若f(x)满足3f(x)+2f(-x)=2x+2,求函数f(x)的解析式.
方法总结
备用例题
[例题] 作出下列函数的图象,并指出其值域.
(1)y=x2+x(-1≤x≤1);
课堂达标
1.函数f(x)=3x-1,x∈[1,5]的图象是(　 　)
A.直线 B.射线
C.线段 D.离散的点
解析:因为f(x)=3x-1为一次函数,图象为一条直线,而x∈[1,5],则此时图象为线段.故选C.
C
D.[0,+∞)
解析:f(x-1)=(x-1)2+4(x-1),所以f(x)=x2+4x.故选A.
2.已知函数f(x-1)=x2+2x-3,则f(x)等于(　 　)
A.x2+4x B.x2+4
C.x2+4x-6 D.x2-4x-1
A
3.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于　　　　.
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
解析:由题中表格可知f(1)=4,所以f(f(1))=f(4)=2.
答案:2
4.已知函数f(x)满足f(3x+1)=2x-3且f(a)=1,则实数a的值为　　　　.
答案:73.1.2　表示函数的方法
选题明细表
知识点、方法 题号
列表法表示函数 4,6,10
图象法表示函数 1,5,9,12,13
解析法表示函数 2,3,7,8,11
基础巩固
1.下列各图中,是函数的图象的选项是(　C　)
解析:根据函数定义,对于任意的x,最多有一个y与之对应,选项A,B,D均不满足,排除ABD.故选C.
2.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于(　B　)
A.3x+2 B.3x-2
C.2x+3 D.2x-3
解析:设f(x)=kx+b(k≠0),
因为2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
所以所以
所以f(x)=3x-2.
故选B.
3.已知f(x+1)=x2+5x,那么f(x)等于(　B　)
A.x2+3x+4 B.x2+3x-4
C.x2+3x D.x2+5x
解析:设t=x+1,则x=t-1,则f(t)=(t-1)2+5(t-1)=t2+3t-4,
即函数解析式为f(x)=x2+3x-4.故选B.
4.(2021·福建厦门高一期中)已知函数y=f(x),用列表法表示如下:
x -2 -1 0 1 2
y 1 0 -2 2 -1
则f(-2)+f(f(-2))等于(　D　)
A.-4 B.0 C.2 D.3
解析:由表格可得,f(-2)=1,
所以f(f(-2))=f(1)=2,
所以f(-2)+f(f(-2))=3.故选D.
5.已知函数f(x)的图象如图所示,其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则f()=　　 　,函数g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为　　　.
解析:由题得f(3)=1,所以f()=f(1)=2.
令g(x)=f(x)-=0,所以f(x)=.观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=有两个解,所以g(x)=f(x)-的图象与x轴交点的个数为2.
答案:2　2
6.下表表示函数y=f(x),则f(x)>x的整数解的集合是　　　　.
x 0y=f(x) 4 6 8 10
解析:当0x的整数解为{1,2,3}.
当5≤x<10时,f(x)>x的整数解为{5}.
当10≤x<15时,f(x)>x的整数解为.
当15≤x<20时,f(x)>x的整数解为.
综上所述,f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}.
答案:{1,2,3,5}
能力提升
7.(2021·贵州黔东南高一期中)若函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x,则f(2)等于(　A　)
A.-6 B.6
C.-9 D.9
解析:因为函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=3x,
令x=2,得f(2)+2f(-2)=6; ①
令x=-2,得f(-2)+2f(2)=-6. ②
联立①②,得f(2)=-6.故选A.
8.(多选题)设f(x)=,则下列结论正确的是(　BD　)
A.f(-x)=-f(x) B.f()=-f(x)
C.f(-)=f(x) D.f(-x)=f(x)
解析:因为f(x)=,
所以f(-x)==f(x),
f()===-f(x),
f(-)===-f(x).故选BD.
9.函数y=ax2+a与y=(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　D　)
解析:由函数y=ax2+a中一次项系数为0,易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称,可排除A;当a>0时,函数y=ax2+a的图象开口方向向上,顶点(0,a)在x轴上方,可排除C;当a<0时,函数y=ax2+a的图象开口方向向下,顶点(0,a)在x轴下方,函数y=(a≠0)的图象位于第二、第四象限,可排除B.故选D.
10.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=x的解集为　　　　.
解析:当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不符合题意;
当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不符合题意;
当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合题意,
综上,方程g(f(x))=x的解集为{3}.
答案:{3}
11.(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x);
(2)已知f()=,求f(x).
解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c
=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以所以
所以f(x)=x2-2x-1.
(2)法一　换元法.
设t=,则x=(t≠0),
代入f()=,得f(t)==.
故f(x)=(x≠0,且x≠±1).
法二　因为f()==,
所以f(x)=(x≠0,且x≠±1).
12.画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题.
(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小;
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.
解:因为函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R,列表,
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -5 0 3 4 3 0 -5 …
描点,连线,得函数图象如图所示.
(1)根据图象,容易发现f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,
所以f(3)(2)根据图象,容易发现当x1(3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线,因此,函数的值域为(-∞,4].
应用创新
13.如图所示,点P从点A处出发,按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周,O为△ABC的中心,设点P走过的路程为x,△OAP的面积为f(x)(当A,O,P三点共线时,记面积为0),则函数f(x)的图象大致为(　A　)
解析:由三角形的面积公式知,当0≤x≤a时,f(x)=·x··a=
ax,故在[0, a]上的图象为线段,故排除B;当af(x)=·(a-x)··a=a(a-x),故在(a,a]上的图象为线段,故排除C,D.故选A.
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