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3.2.2　函数的奇偶性
核心知识目标 核心素养目标
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题. 3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用. 1.通过函数奇偶性的概念和几何意义的学习,让学生结合实例,利用图象抽象出函数性质,达成直观想象和数学抽象的核心素养. 2.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思想方法,发展逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
函数的奇偶性
(1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.
(2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称.
1.下列函数是偶函数的是(　D　)
A.y=x B.y=x2,x∈[0,1]
C.y= D.y=2x2-3
解析:所给函数中y=x是奇函数,y=x2,x∈[0,1]与y=的定义域关于原点不对称,因此不具有奇偶性,只有选项D正确.故选D.
2.f(x)为定义在R上的奇函数,若f(2)=3,则f(-2) 等于(　A　)
A.-3 B.-2 C.3 D.2
解析:函数f(x)是奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.故选A.
3.下列所给四个函数图象中,是偶函数的是　　　　,是奇函数的是　　　　(填序号).
解析:①的图象关于y轴对称,②③的图象关于原点对称,④的图象不具有对称性.
答案:①　②③
4.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=　　　　.
解析:设x<0,
则-x>0,f(-x)=+1.
又函数f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)=--1.
因此,当x<0时,
f(x)的解析式为f(x)=--1.
答案:--1
　函数奇偶性的判定
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=|x+3|+|x-3|.
解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
因此函数f(x)是奇函数.
(2)由得x2=1,即x=±1,
因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
[即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=
解:(1)函数f(x)的定义域为I={x|x≠0},
因为 x∈I,-x∈I,且f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)=|x+1|+|x-1|的定义域为R,因为 x∈R,-x∈R,且f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
(3)因为f(x)=+,
所以f(1)=0,f(-1)没有意义,所以f(x)是非奇非偶函数.
(4)f(x)=
因为f(x)的定义域为R, x∈R,-x∈R,
f(0)=0,
当x>0时,-x<0,
故f(-x)=-x2(-x+1)=x2(x-1)=f(x).
当x<0时,-x>0,
故f(-x)=x2(-x-1)=-x2(x+1)=f(x).
综上可得,对任意x∈R,有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.
根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤
(1)求出函数f(x)的定义域I.
(2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步.
(3) x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式.
(2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数.
　函数奇偶性的图象特征
[例2] 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.
解:法一　因为函数f(x)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称,补全图象如图.
由图象可知f(1)法二　由图象可知f(-1)又函数y=f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).
所以f(1)[变式训练2-1] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢
解:法一　因为函数f(x)是奇函数,
所以其图象关于原点对称,补全图象如图.
由图象可知f(1)>f(3).
法二　由图象可知f(-1)又函数y=f(x)是奇函数,
所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3).
所以-f(1)<-f(3).所以f(1)>f(3).
涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题.
　利用函数的奇偶性求解析式
[例3] 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)
=-2.
(2)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.
当x=0时,f(-0)=-f(0),
则f(0)=-f(0),
即f(0)=0.
所以f(x)的解析式为
f(x)=
[即时训练3-1] 已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x),求f(x)的解析式.
解:因为x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),
所以f(-x)=-x[1+(-x)]=x(x-1).
因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x(x-1),x∈(-∞,0).f(0)=0.
所以f(x)=
求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,此时-x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.
　函数奇偶性与单调性的综合应用
探究角度1　利用函数的单调性与奇偶性比较大小
[例4] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),f(2),f(3)的大小关系是(　　)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)D.f(-π)解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减,
因为f(-π)=f(π),f(π)即f(-π)[即时训练4-1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=f(2)=1,则下列不等式错误的是(　　)
A.f(-)>-1 B.f(-1)>f(1)
C.f(3)>1 D.f()>-1
解析:因为f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(-1)=f(2)=1,
所以f(1)=-1,f(-2)=-1,
则f(-)>f(-2)成立,即f(-)>-1成立,故A正确,
f(-1)>f(1)成立,故B正确,
f(3)>f(2),即f(3)>1,成立,故C正确,
f()>f(1)不成立,即f()>-1不成立,故D错误.故选D.
比较大小的方法
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
探究角度2　综合应用函数单调性与奇偶性解不等式
[例5] 已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且为减函数,若f(2x-1)+f(3x-2)>0成立,则实数x的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(,1)
C.(,) D.(0,)
解析:因为f(x)是奇函数,
所以不等式f(2x-1)+f(3x-2)>0,
变形为f(2x-1)>-f(3x-2),
即f(2x-1)>f(2-3x),
又因为f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
所以解得所以x的取值范围为(,).故选C.
[即时训练5-1] (1)设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且f(x)在[0,1)上单调递减,f(-)=1,则f(x)<1的解集为(　　)
A.(,1)
B.(-1,-)
C.(-1,-)∪(,1)
D.(-1,-]∪[,1)
(2)若R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(3,+∞)
D.(-3,3)
解析:(1)根据题意,f(|x|)(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-33.故选C.
利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)[例1] 已知定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,且f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f()的大小关系为(　　)
A.f(4)B.f(-1)C.f()D.f(-1)解析:函数y=f(x+2)为偶函数,则函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称,函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
则f()=f(-),f(4)=f(0),
因为f(x)在(-∞,2)上单调递减,
-<-1<0,
所以f(-)>f(-1)>f(0),
即f(4)[例2] (1)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(　　)
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
(2)已知函数f(x),g(x)的定义域都是R,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且2f(x)+3g(x)=9x2-4x+1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　,函数g(x)的解析式为　　　　　　　.
解析:(1)令g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,
因为f(x)=g(x)-8,
所以f(-2)=g(-2)-8=10,
得g(-2)=18,又因为g(x)是奇函数,
所以g(2)=-g(-2)=-18,
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.故选A.
(2)由2f(x)+3g(x)=9x2-4x+1,以及f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
得2f(-x)+3g(-x)=3g(x)-2f(x)=9x2+4x+1,
解得f(x)=-2x,
g(x)=3x2+.
答案:(1)A　(2)f(x)=-2x　g(x)=3x2+
[例3] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4+2x2;
(2)f(x)=x3+;
(3)f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R);
(4)f(x)=
(5)f(x)=.
解:(1)因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(3)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于坐标原点对称.
①当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数;
②当a=0时,函数f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0,此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
综上所述,当a≠0时,函数f(x)为奇函数;当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
①当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).
②当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).
由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(5)由题设得所以函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且x+2>0,所以|x+2|=x+2,
所以f(x)===,
所以f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
[例4] 已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=,求函数f(x)的解析式.
解:因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,
所以b=0,所以f(x)=.
又因为f()==a=,所以a=1,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=.
1.(2021·江西高一期中)函数f(x)=的图象一定关于(　C　)
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线x=1对称
解析:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
且f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,因此图象关于原点对称.故选C.
2.(多选题)下列函数不具有奇偶性的是(　CD　)
A.f(x)=x+x3
B.f(x)=-x2
C.f(x)=x3+1
D.f(x)=,x∈[-1,2]
解析:A中函数是奇函数,B中函数是偶函数,C中函数解析式不满足f(x)=f(-x),f(x)=-f(-x),D中函数定义域不关于原点对称,因此C,D中函数不具有奇偶性.故选CD.
3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为　　　　.
解析:由图象可知f(2)=,f(1)=,
又f(x)为奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-,
f(-1)=-f(1)=-,
所以f(-2)+f(-1)=-2.
答案:-2
4.已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x3-2x2,则当x>0时,f(x)=　　　　.
解析:根据题意,
设x>0,则-x<0,
则f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2,
又由f(x)为奇函数,
则f(x)=-f(-x)=x3+2x2.
答案:x3+2x2
选题明细表
知识点、方法 题号
函数奇偶性的判断 6,11
函数奇偶性的图象特征 4,7
利用函数奇偶性求解析式(值) 2,5,8,12
函数奇偶性与单调性综合 1,3,9,10,13
基础巩固
1.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增的是(　D　)
A.f(x)=2x4- B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-
解析:f(x)=2x4-和f(x)=都是偶函数,f(x)=为非奇非偶函数,所以选项A,B,C都错误;f(x)=x-是奇函数,y=x和y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确.故选D.
2.已知f(x)是R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x+1,则f(x2)的表达式为(　D　)
A.f(x2)=-(x+1)2+1
B.f(x2)=(x+1)2
C.f(x2)=x2-1
D.f(x2)=-x2+1
解析:设x>0,所以-x<0,
所以f(-x)=-x+1,
所以f(x)=-x+1,
所以f(x2)=-x2+1.故选D.
3.已知偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,设a=f(-),b=f(-1),c=f(2),则a,b,c的大小关系为(　A　)
A.bC.c解析:因为偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,
则a=f(-)=f(),b=f(-1)=f(1),
又1<<2,可得f(1)所以b4.(多选题)下列关于奇、偶函数说法正确的是(　CD　)
A.若函数y=f(x)是奇函数,且a∈R,则函数图象过点(-a,f(a))
B.如果函数f(0)≠0,则函数y=f(x)可以为奇函数
C.如果函数f(0)≠0,则函数y=f(x)可以为偶函数
D.存在既是奇函数又是偶函数的函数
解析:A中函数过点(-a,-f(a));B中若f(0)≠0,则函数f(x)一定不可能为奇函数,故B不正确;而C中如y=x2+1,故C正确;D中f(x)=0(x∈D,D关于原点对称)满足.故选CD.
5.已知y=f(x)是奇函数.若g(x)=f(x)+2,且g(3)=5,则g(-3)=　　　　.
解析:y=f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+2,
可得g(-x)+g(x)=f(-x)+2+f(x)+2=f(-x)+f(x)+4=0+4=4,
则g(-3)=4-g(3)=4-5=-1.
答案:-1
6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数:①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.中奇函数为　　　　(填序号).
解析:因为f(|-x|)=f(|x|),所以①为偶函数;因为f(-x)=-f(x),
令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x),所以②为奇函数;令F(x)=xf(x),则F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函数;令h(x)= f(x)+x,
则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-h(x),故④是奇函数.
答案:②④
能力提升
7.若函数g(x)=f(x)+|x|的图象如图所示,则函数f(x)的奇偶性是(　B　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法确定
解析:由图象可知函数g(x)是偶函数,
又g(x)=f(x)+|x|中y=|x|是偶函数,
因此f(x)=g(x)-|x|是偶函数.故选B.
8.奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有(　B　)
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
解析:法一　当x<0时,
f(x)=x2+x=(x+)2-,
所以f(x)有最小值-,
因为f(x)是奇函数,
所以当x>0时,f(x)有最大值.故选B.
法二　当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-(x-)2+,所以当x>0时,f(x)有最大值.故选B.
9.已知函数f(x)=3x3+2x,若f(a2-a-4)+f(-2a)≤0,则实数a的取值范围是　.
解析:函数f(x)=3x3+2x的定义域为R,为奇函数,且在R上单调递增,
所以不等式f(a2-a-4)+f(-2a)≤0等价于f(a2-a-4)≤-f(-2a)=f(2a),
所以a2-a-4≤2a,即a2-3a-4≤0,
即(a-4)(a+1)≤0,
解得-1≤a≤4,即实数a的取值范围为[-1,4].
答案:[-1,4]
10.函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为函数y=f(x)是R上的偶函数,
且在(-∞,0]上单调递增,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.
因为函数y=f(x)是R上的偶函数,f(a)≤f(3),
所以f(|a|)≤f(3),所以|a|≥3,
解得a≤-3或a≥3,
所以a的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).
答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)
11.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在[-3,-2]上的值域.
解:(1)由x-1≠0,得x≠1,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,
则f(x)为非奇非偶函数.
(2)f(x)==1+,
法一　x∈[-3,-2]时,f(x)单调递减,
所以当x=-3时,f(x)max=1+=,
当x=-2时,f(x)min=1+=,
即f(x)的值域为[,].
法二　因为x∈[-3,-2],
所以-4≤x-1≤-3,
从而可得-≤≤-,≤f(x)≤,
即f(x)的值域为[,].
12.设y=f(x)为R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=f(x)=x;当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间.
解:(1)当x>2时,设f(x)=a(x-3)2+4,
因为f(x)的图象过点A(2,2),
所以f(2)=a(2-3)2+4=2,
所以a=-2.
所以f(x)=-2(x-3)2+4.
设x∈(-∞,-2),则-x>2,
所以f(-x)=-2(-x-3)2+4,
又因为f(x)在R上为偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以f(x)=-2(-x-3)2+4,
即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2).
(2)图象如图所示.
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4},单调递增区间为(-∞,-3]和[0,3],单调递减区间为[-3,0]和[3,+∞).　
应用创新
13.(2022·浙江丽水四校高一期中)已知f(x)=且0<|m|<1,0<|n|<1,mn<0,则使不等式f(m)+f(n)>0成立的m,n还应满足的条件为(　D　)
A.m>n B.mC.m+n>0 D.m+n<0
解析:易知f(x)=为奇函数,且在区间(0,1],
[-1,0)上单调递减,
结合0<|m|<1,0<|n|<1,mn<0,
可知m,n异号,设m<0则f(m)+f(n)>0 f(m)>f(-n) m<-n m+n<0.故选D.
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3.2.2　函数的奇偶性
核心知识目标 核心素养目标
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何
意义.
2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用. 1.通过函数奇偶性的概念和几何意义的学习,让学生结合实例,利用图象抽象出函数性质,达成直观想象和数学抽象的核心素养.
2.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思想方法,发展逻辑推理和数学运算的核心素养.
3.通过函数奇偶性与单调性的综合应用,进一步提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
函数的奇偶性
(1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.
(2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称.
知识探究
小试身手
1.下列函数是偶函数的是(　 　)
D
2.f(x)为定义在R上的奇函数,若f(2)=3,则f(-2) 等于(　 　)
A.-3 B.-2 C.3 D.2
A
解析:函数f(x)是奇函数,则f(-2)=-f(2)=-3.故选A.
3.下列所给四个函数图象中,是偶函数的是　　 　　,是奇函数的是　 　　　(填序号).
解析:①的图象关于y轴对称,②③的图象关于原点对称,④的图象不具有对称性.
答案:①　②③
课堂探究·素养培育
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
探究点一
函数奇偶性的判定
(1)f(x)=x3+x;
解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
因此函数f(x)是奇函数.
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
解:(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)f(x)=|x+3|+|x-3|.
解:(4)函数定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
[即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
解:(2)函数f(x)=|x+1|+|x-1|的定义域为R,因为 x∈R,-x∈R,且f(-x)=
|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
[即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性.
[即时训练1-1] 判断下列函数的奇偶性.
方法总结
根据函数解析式判断函数y=f(x)奇偶性的步骤
(1)求出函数f(x)的定义域I.
(2)判断定义域I是否关于原点对称,若否,则函数f(x)不具有奇偶性,结束判断;若是,则进行下一步.
(3) x∈I,计算f(-x),若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
易错警示
(1)若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式.
(2)若函数f(x)=0或可化为f(x)=0,且定义域关于原点对称,则函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数.
[例2] 如图,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.
探究点二
函数奇偶性的图象特征
解:法一　因为函数f(x)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称,补全图象如图.
由图象可知f(1)法二　由图象可知f(-1)又函数y=f(x)是偶函数,
所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).
所以f(1)[变式训练2-1] 只将本例中的“偶”改为“奇”呢
解:法一　因为函数f(x)是奇函数,
所以其图象关于原点对称,补全图象如图.
由图象可知f(1)>f(3).
法二　由图象可知f(-1)又函数y=f(x)是奇函数,
所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3).
所以-f(1)<-f(3).所以f(1)>f(3).
方法总结
涉及奇偶函数图象问题,常利用奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于y轴对称解题.
[例3] 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
探究点三
利用函数的奇偶性求解析式
(1)求f(-1);
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
[例3] 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(2)求f(x)的解析式.
[即时训练3-1] 已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+x),求f(x)的解析式.
方法总结
求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x,然后把x转化为-x,此时-x成为了已知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式.
探究角度1　利用函数的单调性与奇偶性比较大小
[例4] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(　　)
A.f(-π)>f(2)>f(3) B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)探究点四
函数奇偶性与单调性的综合应用
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递减,
因为f(-π)=f(π),f(π)即f(-π)[即时训练4-1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=f(2)=1,则下列不等式错误的是(　　)
方法总结
比较大小的方法
(1)自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小.
(2)自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
探究角度2　综合应用函数单调性与奇偶性解不等式
[例5] 已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且为减函数,若f(2x-1)+f(3x-2)>0成立,则实数x的取值范围为(　　)
(2)若R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-3,3)
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-33.故选C.
方法总结
利用函数奇偶性和单调性解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)备用例题
[例2] (1)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(　　)
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
解析:(1)令g(x)=x5+ax3+bx,则g(x)为奇函数,
因为f(x)=g(x)-8,
所以f(-2)=g(-2)-8=10,
得g(-2)=18,又因为g(x)是奇函数,
所以g(2)=-g(-2)=-18,
所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.故选A.
答案:(1)A
(2)已知函数f(x),g(x)的定义域都是R,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且2f(x)+3g(x)=9x2-4x+1,则函数f(x)的解析式为　　　　　　,函数g(x)的解析式为　　　　　 　　.
[例3] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4+2x2;
解:(1)因为f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),
所以f(x)为偶函数.
[例3] 判断下列函数的奇偶性:
(3)f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R);
解:(3)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于坐标原点对称.
①当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=
-f(x),所以函数f(x)为奇函数;
②当a=0时,函数f(x)=|x+a|-|x-a|=|x|-|x|=0,此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
综上所述,当a≠0时,函数f(x)为奇函数;当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
[例3] 判断下列函数的奇偶性:
解:(4)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
①当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).
②当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).
由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
[例3] 判断下列函数的奇偶性:
课堂达标
C
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.直线x=1对称
CD
2.(多选题)下列函数不具有奇偶性的是(　 　)
A.f(x)=x+x3
B.f(x)=-x2
C.f(x)=x3+1
解析:A中函数是奇函数,B中函数是偶函数,C中函数解析式不满足f(x)=
f(-x),f(x)=-f(-x),D中函数定义域不关于原点对称,因此C,D中函数不具有奇偶性.故选CD.
3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为　　　　.
答案:-2
4.已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x3-2x2,则当x>0时,f(x)=　　 　　.
解析:根据题意,
设x>0,则-x<0,
则f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2,
又由f(x)为奇函数,
则f(x)=-f(-x)=x3+2x2.
答案:x3+2x23.2.2　函数的奇偶性
选题明细表
知识点、方法 题号
函数奇偶性的判断 6,11
函数奇偶性的图象特征 4,7
利用函数奇偶性求解析式(值) 2,5,8,12
函数奇偶性与单调性综合 1,3,9,10,13
基础巩固
1.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增的是(　D　)
A.f(x)=2x4- B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=x-
解析:f(x)=2x4-和f(x)=都是偶函数,f(x)=为非奇非偶函数,所以选项A,B,C都错误;f(x)=x-是奇函数,y=x和y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,所以选项D正确.故选D.
2.已知f(x)是R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x+1,则f(x2)的表达式为(　D　)
A.f(x2)=-(x+1)2+1
B.f(x2)=(x+1)2
C.f(x2)=x2-1
D.f(x2)=-x2+1
解析:设x>0,所以-x<0,
所以f(-x)=-x+1,
所以f(x)=-x+1,
所以f(x2)=-x2+1.故选D.
3.已知偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,设a=f(-),b=f(-1),
c=f(2),则a,b,c的大小关系为(　A　)
A.bC.c解析:因为偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,
则a=f(-)=f(),b=f(-1)=f(1),
又1<<2,可得f(1)所以b4.(多选题)下列关于奇、偶函数说法正确的是(　CD　)
A.若函数y=f(x)是奇函数,且a∈R,则函数图象过点(-a,f(a))
B.如果函数f(0)≠0,则函数y=f(x)可以为奇函数
C.如果函数f(0)≠0,则函数y=f(x)可以为偶函数
D.存在既是奇函数又是偶函数的函数
解析:A中函数过点(-a,-f(a));B中若f(0)≠0,则函数f(x)一定不可能为奇函数,故B不正确;而C中如y=x2+1,故C正确;D中f(x)=0
(x∈D,D关于原点对称)满足.故选CD.
5.已知y=f(x)是奇函数.若g(x)=f(x)+2,且g(3)=5,则g(-3)=
　　 　.
解析:y=f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+2,
可得g(-x)+g(x)=f(-x)+2+f(x)+2=f(-x)+f(x)+4=0+4=4,
则g(-3)=4-g(3)=4-5=-1.
答案:-1
6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数:①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.中奇函数为　　　 　(填序号).
解析:因为f(|-x|)=f(|x|),所以①为偶函数;因为f(-x)=-f(x),
令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x)=f(x)=-g(x),所以②为奇函数;令F(x)=xf(x),则F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函数;
令h(x)= f(x)+x,
则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-h(x),故④是奇函数.
答案:②④
能力提升
7.若函数g(x)=f(x)+|x|的图象如图所示,则函数f(x)的奇偶性是(　B　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.无法确定
解析:由图象可知函数g(x)是偶函数,
又g(x)=f(x)+|x|中y=|x|是偶函数,
因此f(x)=g(x)-|x|是偶函数.故选B.
8.奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在
(0,+∞)上有(　B　)
A.最大值- B.最大值
C.最小值- D.最小值
解析:法一　当x<0时,
f(x)=x2+x=(x+)2-,
所以f(x)有最小值-,
因为f(x)是奇函数,
所以当x>0时,f(x)有最大值.故选B.
法二　当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-(x-)2+,所以当x>0时,f(x)有最大值.故选B.
9.已知函数f(x)=3x3+2x,若f(a2-a-4)+f(-2a)≤0,则实数a的取值范围是　 .
解析:函数f(x)=3x3+2x的定义域为R,为奇函数,且在R上单调递增,
所以不等式f(a2-a-4)+f(-2a)≤0等价于f(a2-a-4)≤-f(-2a)=
f(2a),
所以a2-a-4≤2a,即a2-3a-4≤0,
即(a-4)(a+1)≤0,
解得-1≤a≤4,即实数a的取值范围为[-1,4].
答案:[-1,4]
10.函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是　　　　.
解析:因为函数y=f(x)是R上的偶函数,
且在(-∞,0]上单调递增,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递减.
因为函数y=f(x)是R上的偶函数,f(a)≤f(3),
所以f(|a|)≤f(3),所以|a|≥3,
解得a≤-3或a≥3,
所以a的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).
答案:(-∞,-3]∪[3,+∞)
11.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)在[-3,-2]上的值域.
解:(1)由x-1≠0,得x≠1,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,
则f(x)为非奇非偶函数.
(2)f(x)==1+,
法一　x∈[-3,-2]时,f(x)单调递减,
所以当x=-3时,f(x)max=1+=,
当x=-2时,f(x)min=1+=,
即f(x)的值域为[,].
法二　因为x∈[-3,-2],
所以-4≤x-1≤-3,
从而可得-≤≤-,≤f(x)≤,
即f(x)的值域为[,].
12.设y=f(x)为R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=f(x)=x;当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间.
解:(1)当x>2时,设f(x)=a(x-3)2+4,
因为f(x)的图象过点A(2,2),
所以f(2)=a(2-3)2+4=2,
所以a=-2.
所以f(x)=-2(x-3)2+4.
设x∈(-∞,-2),则-x>2,
所以f(-x)=-2(-x-3)2+4,
又因为f(x)在R上为偶函数,
所以f(-x)=f(x),
所以f(x)=-2(-x-3)2+4,
即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2).
(2)图象如图所示.
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4},单调递增区间为(-∞,-3]
和[0,3],单调递减区间为[-3,0]和[3,+∞).　
应用创新
13.(2022·浙江丽水四校高一期中)已知f(x)=
且0<|m|<1,0<|n|<1,mn<0,则使不等式f(m)+
f(n)>0成立的m,n还应满足的条件为(　D　)
A.m>n B.mC.m+n>0 D.m+n<0
解析:易知f(x)=为奇函数,且在区间(0,1],
[-1,0)上单调递减,
结合0<|m|<1,0<|n|<1,mn<0,
可知m,n异号,设m<0则f(m)+f(n)>0 f(m)>f(-n) m<-n m+n<0.故选D.
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