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第3章　函数的概念与性质
3.1　函　数
3.1.1　对函数概念的再认识
核心知识目标 核心素养目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的要素,会判断两个函数是否相等.
3.能正确使用区间表示数集.
4.会求一些简单函数的定义域与值域. 1.通过对函数有关概念的理解与应用,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.通过对区间概念的理解及判断两个函数相等,发展数学抽象、逻辑推理的核心素养.
3.通过求一些简单函数的定义域与值域,增强逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.函数的概念
一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的 一个数x,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称这样的对应f:A→B为定义于A取值于B的函数,也记作y=f(x)(x∈A,y∈B).其中,
x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;与x∈A对应的数y叫作
,记作f(x),所有 组成的集合 {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域.值域是集合B的子集.
知识探究
任何
唯一
函数值
函数值
2.相等
两个函数f(x)和g(x),当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时,叫作相等,也就是说,即使两个函数的对应关系形式上相同,但定义域不同,那么它们不是同一个函数.
小试身手
1.下列关于函数与区间的说法正确的是(　 　)
A.函数的定义域必不是空集,但值域可以是空集
B.函数的定义域和值域确定后,其对应关系也就确定了
C.数集都能用区间表示
D.函数的一个函数值可以有多个自变量值与之对应
D
解析:函数的定义域和值域均不能是空集,故A错误;函数的定义域和值域确定后,其对应关系不一定是确定的如y=2x,y=3x,故B错误;连续的实数数集能用区间表示,但不连续的数集,如整数集不能用区间表示,故C错误;函数的一个函数值可以有多个自变量值与之对应,故D正确.故选D.
B
C
4.已知f(x)=x2+5,则f(-1)等于　　　　.
解析:因为f(x)=x2+5,
所以f(-1)=(-1)2+5=6.
答案:6
课堂探究·素养培育
探究点一
函数概念的理解
解析:①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去x≤-5或x≥5的数外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数,⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的概念,y是x的函数.故选D.
解析:对于A,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是集合A到集合B的函数;对于B,集合A中有一个元素0,在集合B中没有对应元素,不是集合A到集合B的函数;对于C,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是集合A到集合B的函数;对于D,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是集合A到集合B的函数.故选CD.
[即时训练1-1] (多选题)下列对应关系f是集合A到集合B的函数的是(　　)
A.A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根
B.A=R,B=R,f:x→x的倒数
C.A=R,B=R,f:x→x2-2
D.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2
方法总结
判断某一对应关系是否为函数的步骤
(1)A,B为非空数集.
(2)A中任一元素在B中有元素与之对应.
(3)B中与A中元素对应的元素唯一.
探究点二
函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
[例2] 求下列函数的定义域.
[例2] 求下列函数的定义域.
方法总结
根据函数解析式求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)中含x0,要注意x≠0.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义
(即求各个式子有意义的交集).
探究角度2　形如f(g(x))函数定义域问题
[例3] (1)若函数y=f(x)的定义域为[1,4],求函数y=f(x+2)的定义域;
解:(1)因为函数f(x)的定义域为[1,4],
所以使函数f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4,即-1≤x≤2.
所以函数y=f(x+2)的定义域为[-1,2].
(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[2,3],求函数y=f(x)的定义域;
解:(2)因为函数y=f(x+1)的定义域为[2,3],
则2≤x≤3.所以3≤x+1≤4.
所以函数y=f(x)的定义域为[3,4].
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[0,1),求函数y=f(1-3x)的定义域.
方法总结
已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.
已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.
探究点三
函数相等的判定
方法总结
判断两函数是否相等,关键是树立定义域优先的原则
(1)先看定义域,若定义域不同,则不相等.
(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.
探究点四
函数值、值域的求法
答案:1　0
方法总结
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
方法总结
求函数值域的方法
(1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过几种常见函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.
(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+
bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.解题过程中,要特别关注自变量的取值范围.
(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.
备用例题
[例1] 下列对应关系中是集合A到集合B的函数的个数为(　　)
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0;
(4)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如图所示;
(5)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图所示.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(1)集合A中的元素0在集合B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数;
(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数;
(3)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数;
(4)集合B不是确定的数集,故不是集合A到集合B的函数;
(5)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素,且集合A中元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应,故不是集合A到集合B的函数.故选B.
[例2] 设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},能表示集合A到集合B的函数关系的是(　　)
解析:对于A,一个自变量x(除0和2外)有两个y与其对应,不满足函数的定义,所以不正确;对于B,函数对应的值域为{y|0≤y≤2},不满足条件,所以不正确;对于C,当x=1时,有两个y与其对应,不满足函数的定义,所以不正确;对于D,每个自变量x都满足函数的定义,所以能表示集合A到集合B的函数关系.故选D.
[例3] 已知f(x)定义在(0,+∞)上,且f(x)∈R.若y=f(ax2-3x+4)的值域为R,则a的取值范围是　　　　.
[例4] 如图所示,用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架,若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数.
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
解:(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为1≤x≤5,由函数图象可知y∈[2,11].
课堂达标
1.已知函数f(x)=x2,x∈{-1,0,1},则函数的值域为(　 　)
A.{-1,0,1} B.[0,1]
C.{0,1}
解析:由x∈{-1,0,1},代入f(x)=x2,解得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,根据集合的互异性得函数的值域为{0,1}.故选C.
C
D.[0,+∞)
解析:因为f(x)=x2+1,
所以f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2.故选C.
2.已知函数f(x)=x2+1,那么f(a+1)的值为(　 　)
A.a2+a+2 B.a2+1
C.a2+2a+2 D.a2+2a+1
C
A
C3.1　函　数
3.1.1　对函数概念的再认识
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的概念 7,9
函数的定义域 1,5,13
相等函数 3,8
函数值(或值域) 2,4,6,10,11,12
基础巩固
1.(2022·辽宁沈阳月考)函数f(x)=-的定义域是(　A　)
A.[-1,0)∪(0,+∞) B.[-1,+∞)
C.R D.(-∞,0)∪(0,+∞)
解析:令解得x≥-1,且x≠0,
所以函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).故选A.
2.下列四个函数:①y=x;②y=x-1;③y=x2-1;④y=.其中定义域与值域相同的是(　C　)
A.①③ B.①②③
C.①②④ D.①②③④
解析:根据一次函数的性质可知,y=x,y=x-1的定义域和值域为R,符合题意;根据二次函数的性质可知,y=x2-1的定义域为R,值域为
[-1,+∞),不符合题意;y=的定义域和值域都为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意.故选C.
3.(2022·四川高一期中)中文“函数”一词,最早是由近代数学家李善兰翻译的,之所以这么翻译,他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列选项中是相等函数的是(　C　)
A.y=x0与y=1 B.y=x与y=
C.y=x与y= D.y=|x|与y=
解析:A中y=x0定义域为{x|x≠0},而y=1定义域为R,所以不相等;B中y=x与y==|x|对应关系不同,所以不相等;C中y==x与y=x定义域、对应关系相同,所以相等;D中y=|x| 定义域为R,而y=定义域为{x|x≠0},定义域不同,所以不相等.故选C.
4.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是(　A　)
A.1 B.0
C.-1 D.2
解析:因为f(x)=ax2-1,所以f(-1)=a-1,
f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1,
所以a(a-1)2=0.又因为a为正数,所以a=1.故选A.
5.已知f(x)=,则f(3x-2)的定义域为(　A　)
A.[,] B.[-1,]
C.[-3,1] D.[,1]
解析:对于函数f(x)=,-x2+2x+3≥0,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,3].对于函数y=f(3x-2),-1≤3x-2≤3,解得≤x≤.因此,函数f(3x-2)的定义域为[,].故选A.
6.已知f(x)=,则f(0)+f(-1)=　　 　　,函数的值域为　　　　.
解析:因为f(0)==1,f(-1)==,所以f(0)+f(-1)=.
因为x2≥0,所以1+x2≥1,所以0<≤1.
答案:　(0,1]
能力提升
7.(2021·安徽高一期中)下列关于x,y的关系中为函数的是(　D　)
A.y=+
B.x2+y2=1
C.y=
D.
x 1 2 3 4
y 0 5 -6 11
解析:根据函数的定义,自变量在其允许取值范围内任意取一个值,有唯一的函数值与其对应.
选项A中的表达式中,x的取值范围为,故它不是函数;
选项B中的表达式,当x在它允许取值范围取值时,y的值不唯一,故它不是函数;
选项C中,当x=1时,y的值不唯一,故它不是函数;只有选项D中的x,y满足函数的定义.故选D.
8.(多选题)下列各对函数中相等的是(　BD　)
A.f(x)=2x-1与g(x)=2x-x0
B.f(x)=与g(x)=|2x+1|
C.f(n)=2n+2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)
D.f(x)=3x+2与g(t)=3t+2
解析:选项A中函数g(x)=2x-x0=2x-1,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不相等;
选项B中函数f(x)==|2x+1|与函数g(x)=|2x+1|的定义域和对应关系相同,相等;
选项C中函数f(n)=2n+2(n∈Z)与函数g(n)=2n(n∈Z)的对应关系不相同,不相等;
选项D中函数f(x)=3x+2与函数g(t)=3t+2的定义域和对应关系相同,相等.故选BD.
9.已知集合A={1,2,3},B={4,5},则从A到B的函数f(x)有
　　　　个.
解析:抓住函数的“取元任意性,取值唯一性”,利用列表方法确定函数的个数.
f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5
f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5
f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5
由表可知,这样的函数有8个.
答案:8
10.若函数f(x)=,则f(x)的定义域为　　　　 　　,
f(-2)+f(2)的值为　 .
解析:由题意得8-2x-x2≥0,且|x|-1≠0,
解得-4≤x≤2,且x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为[-4,-1)∪(-1,1)∪(1,2].
由f(2)==0,f(-2)==2,
可知f(-2)+f(2)的值为2.
答案:[-4,-1)∪(-1,1)∪(1,2]　2
11.求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x-;
(3)y=2-.
解:(1)y===5+,且≠0,
所以y≠5,所以函数的值域是{y|y≠5}.
(2)令t=(t≥0),
所以x=-t2+,
所以y=-t2-t+=-(t+1)2+1,
当t≥0时,y≤,所以函数的值域为(-∞,].
(3)y=2-=2-,
因为0≤≤=2,
所以y=2-的值域为[0,2].
12.已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求证:f(x)+f()是定值;
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 020)+f()的值.
(1)解:因为f(x)=,
所以f(2)+f()=+=1.
f(3)+f()=+=1.
(2)证明:f(x)+f()=+=+==1(定值).
(3)解:由(2)知f(x)+f()=1,
所以f(2)+f()=1,f(3)+f()=1,
f(4)+f()=1,…,
f(2 020)+f()=1.
所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 020)+f()=2 019.
应用创新
13.(2021·上海月考)函数y=的值域为[-2,2],求实数a的值.
解:由y=,得yx2-yx+y=x2+ax-2,
整理成关于x方程的形式为(1-y)x2+(a+y)x-2-y=0,方程有解,
又由题意知,y∈[-2,2].
①若y=1,则(a+1)x-3=0,该方程有解,所以a≠-1;
②若y≠1,则Δ=(a+y)2+4(1-y)(2+y)≥0,
即3y2+(4-2a)y-a2-8≤0,且该不等式的解集为[-2,2],
所以-2,2是方程3y2+(4-2a)y-a2-8=0的两实根,
所以解得a=2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1　函　数
3.1.1　对函数概念的再认识
核心知识目标 核心素养目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素,会判断两个函数是否相等. 3.能正确使用区间表示数集. 4.会求一些简单函数的定义域与值域. 1.通过对函数有关概念的理解与应用,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 2.通过对区间概念的理解及判断两个函数相等,发展数学抽象、逻辑推理的核心素养. 3.通过求一些简单函数的定义域与值域,增强逻辑推理、数学运算的核心素养.
1.函数的概念
一般地,设A,B是两个非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数y和它对应,那么就称这样的对应f:A→B为定义于A取值于B的函数,也记作y=f(x)(x∈A,y∈B).其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;与x∈A对应的数y叫作函数值,记作f(x),所有函数值组成的集合 {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域.值域是集合B的子集.
2.相等
两个函数f(x)和g(x),当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时,叫作相等,也就是说,即使两个函数的对应关系形式上相同,但定义域不同,那么它们不是同一个函数.
1.下列关于函数与区间的说法正确的是(　D　)
A.函数的定义域必不是空集,但值域可以是空集
B.函数的定义域和值域确定后,其对应关系也就确定了
C.数集都能用区间表示
D.函数的一个函数值可以有多个自变量值与之对应
解析:函数的定义域和值域均不能是空集,故A错误;函数的定义域和值域确定后,其对应关系不一定是确定的如y=2x,y=3x,故B错误;连续的实数数集能用区间表示,但不连续的数集,如整数集不能用区间表示,故C错误;函数的一个函数值可以有多个自变量值与之对应,故D正确.故选D.
2.函数f(x)=的定义域是(　B　)
A.(-∞,3) B.(3,+∞)
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
解析:函数f(x)=,
所以x-3>0,得x>3,
所以可得函数f(x)的定义域为(3,+∞).故选B.
3.下列函数中,与函数f(x)=x相等的是(　C　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(t)=
解析:f(x)定义域为R,
A中定义域为[0,+∞),定义域不同,错误;
B中化简为f(x)=|x|,对应关系不同,错误;
C中定义域为R,化简为f(x)=x,正确;
D中定义域为{t|t≠0},定义域不同,错误.故选C.
4.已知f(x)=x2+5,则f(-1)等于　　　　.
解析:因为f(x)=x2+5,
所以f(-1)=(-1)2+5=6.
答案:6
　函数概念的理解
[例1] 在下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是(　　)
①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y=;
②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;
③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y:x2+y2=25;
④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2;
⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y;
⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0.
A.①⑤⑥ B.②④⑤⑥
C.②③④ D.①②③⑤
解析:①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去x≤-5或x≥5的数外)在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数,⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数.④⑥显然满足函数的概念,y是x的函数.故选D.
[即时训练1-1] (多选题)下列对应关系f是集合A到集合B的函数的是(　　)
A.A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根
B.A=R,B=R,f:x→x的倒数
C.A=R,B=R,f:x→x2-2
D.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2
解析:对于A,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是集合A到集合B的函数;对于B,集合A中有一个元素0,在集合B中没有对应元素,不是集合A到集合B的函数;对于C,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是集合A到集合B的函数;对于D,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是集合A到集合B的函数.故选CD.
判断某一对应关系是否为函数的步骤
(1)A,B为非空数集.
(2)A中任一元素在B中有元素与之对应.
(3)B中与A中元素对应的元素唯一.
　函数的定义域
探究角度1　根据函数解析式求定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
解:(1)要使函数有意义,则
解得1≤x≤3.
因此函数f(x)的定义域为[1,3].
(2)由于0的零次幂无意义,
所以x+1≠0,即x≠-1.
又x+2>0,即x>-2,
所以x>-2,且x≠-1.
所以函数f(x)=的定义域为
{x|x>-2,且x≠-1}.
(3)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足
解得x≤5,且x≠±3,
所以函数f(x)=的定义域为{x|x≤5,且x≠±3}.
(4)要使函数f(x)有意义,则
即
解得-1≤x<1.
因此函数f(x)的定义域为{x|-1≤x<1}.
[即时训练2-1] 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=;(2)y=;
(3)f(x)=;(4)f(x)=.
解:(1)要使函数有意义,则x2-x+3>0,
因为x2-x+3=(x-)2+>0恒成立,
所以原函数的定义域为R.
(2)要使函数有意义,则
所以-1即原函数的定义域为(-1,1)∪(1,2).
(3)要使函数有意义,则
解得x≥-2,且x≠±1.
所以原函数的定义域为{x|x≥-2,且x≠±1}.
(4)由解得x≠-1,且x≠0.
所以原函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞).
根据函数解析式求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)中含x0,要注意x≠0.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集).
探究角度2　形如f(g(x))函数定义域问题
[例3] (1)若函数y=f(x)的定义域为[1,4],求函数y=f(x+2)的定义域;
(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[2,3],求函数y=f(x)的定义域;
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[0,1),求函数y=f(1-3x)的定义域.
解:(1)因为函数f(x)的定义域为[1,4],
所以使函数f(x+2)有意义的条件是1≤x+2≤4,即-1≤x≤2.
所以函数y=f(x+2)的定义域为[-1,2].
(2)因为函数y=f(x+1)的定义域为[2,3],
则2≤x≤3.所以3≤x+1≤4.
所以函数y=f(x)的定义域为[3,4].
(3)因为y=f(2x-1)的定义域为[0,1),
即0≤x<1,所以-1≤2x-1<1.
所以f(x)的定义域为[-1,1).
所以-1≤1-3x<1.所以0所以y=f(1-3x)的定义域为(0,].
[即时训练3-1] 已知函数f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},则函数f(2x+1)的定义域为(　　)
A.{x|-1≤x≤9} B.{x|-3≤x≤7}
C.{x|-2≤x≤1} D.{x|-2≤x≤}
解析:因为函数y=f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},
所以-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,即函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.
所以对函数f(2x+1)有-3≤2x+1≤2,
解得-2≤x≤.
即函数f(2x+1)的定义域为{x|-2≤x≤}.故选D.
已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.
已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.
　函数相等的判定
[例4] (多选题)下列各组函数相等的是(　　)
A.f(x)=与g(x)=x
B.f(x)=x0与g(x)=
C.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
D.f(x)=·与g(x)=
解析:A中f(x)=-x,g(x)=x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不相等;B中f(x)=x0=1(x≠0),g(x)==1(x≠0),对应关系与定义域均相同,故相等;C中f(x)=x2-2x-1与 g(t)=t2-2t-1,对应关系和定义域均相同,故相等;D中f(x)=·的定义域为{x|x≥1},而g(x)=的定义域为{x|x≥1或x≤-1},定义域不同,所以不相等.故选BC.
[即时训练4-1] (2022·天津高一联考)下列各组函数中,相等的是(　　)
A.f(x)=x+1和g(x)=
B.f(x)=和g(x)=()2
C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
D.f(x)=和g(x)=
解析:A中,g(x)==x+1,由x-1≠0,
得x≠1,故两个函数的定义域不相同,不相等;B中,f(x)==|x|和g(x)=()2=x,x≥0,两个函数的定义域和对应关系都不相同,不相等;C中,f(x)=x2和g(x)=(x+1)2,两个函数的对应关系不相同,不相等;D中,f(x)===1(x>0),g(x)===1(x>0),两个函数的定义域和对应关系均相同,相等.故选D.
判断两函数是否相等,关键是树立定义域优先的原则
(1)先看定义域,若定义域不同,则不相等.
(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.
　函数值、值域的求法
探究角度1　函数值的求法
[例5] 已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2-1(x∈R).
(1)求f(2),g(3)的值;
(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).
解:(1)因为f(x)=,
所以f(2)==-.
因为g(x)=x2-1,
所以g(3)=32-1=8.
(2)依题意,知f(g(3))=f(8)==-,f(g(x))===(x≠0).
[即时训练5-1] 已知f(x)=,则f(0)+f(1)=　　　　,f(x)+f()=　　　　.
解析:因为f(x)=,
所以f(0)=1,f(1)=0,
所以f(0)+f(1)=1.
又f()==,
所以f(x)+f()=+=0.
答案:1　0
函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
探究角度2　函数值域的求法
[例6] 求下列函数的值域.
(1)y=+4;(2)y=;
(3)y=;(4)y=x+.
解:(1)因为≥0,
所以+4≥4.
所以函数y=+4的值域为[4,+∞).
(2)法一　y==
=
=-.
因为≠0,所以y≠.
所以函数的值域为{y|y∈R,且y≠}.
法二　由y=,得(4y-5)x=-2y-1.
要使上述关于x的方程有解,
必须4y-5≠0,可得到y≠.
所以原函数的值域为{y|y∈R,且y≠}.
(3)因为y==x+.
所以x>0时,y≥2=4(当且仅当x=2时,取等号).
x<0时,-y=(-x)+(-)≥2=4(当且仅当x=-2时,取等号).
所以y≤-4.
综上可知,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
(4)设u=(x≥),
则x=(u≥0),(换元法)
所以y=+u=(u≥0).
由u≥0知(u+1)2≥1,
所以y≥.
所以原函数的值域为{y|y≥}.
[即时训练6-1] 求下列函数的值域.
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=6-;
(4)y=x+4.
解:(1)y===3+.
因为≠0,所以3+≠3,
所以函数y=的值域为{y|y≠3}.
(2)y==-1,
因为x2≥0,所以0<≤2,
所以-1(3)因为5-4x-x2=-(x+2)2+9,
所以有0≤5-4x-x2≤9,
所以0≤≤3,所以3≤y≤6,
故函数y=6-的值域为[3,6].
(4)设t=≥0,则x=1-t2,
所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0),所以y≤5,
所以函数y=x+4的值域为(-∞,5].
求函数值域的方法
(1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过几种常见函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.
(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.解题过程中,要特别关注自变量的取值范围.
(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.
(4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域.
[例1] 下列对应关系中是集合A到集合B的函数的个数为(　　)
(1)A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|;
(2)A=Z,B=Z,f:x→y=x2;
(3)A=[-1,1],B={0},f:x→y=0;
(4)A={1,2,3},B={a,b},对应关系如图所示;
(5)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图所示.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:(1)集合A中的元素0在集合B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数;
(2)对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数;
(3)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数;
(4)集合B不是确定的数集,故不是集合A到集合B的函数;
(5)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素,且集合A中元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应,故不是集合A到集合B的函数.故选B.
[例2] 设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},能表示集合A到集合B的函数关系的是(　　)
解析:对于A,一个自变量x(除0和2外)有两个y与其对应,不满足函数的定义,所以不正确;对于B,函数对应的值域为{y|0≤y≤2},不满足条件,所以不正确;对于C,当x=1时,有两个y与其对应,不满足函数的定义,所以不正确;对于D,每个自变量x都满足函数的定义,所以能表示集合A到集合B的函数关系.故选D.
[例3] 已知f(x)定义在(0,+∞)上,且f(x)∈R.若y=f(ax2-3x+4)的值域为R,则a的取值范围是　　　　.
解析:因为f(x)定义在(0,+∞)上,且f(x)∈R,
y=f(ax2-3x+4)的值域为R,
所以ax2-3x+4能取遍所有的正实数,故对于函数t=ax2-3x+4,当a=0时,t=-3x+4,满足条件.
当a≠0时,应有解得0综上,可得0≤a≤.
答案:[0,]
[例4]
如图所示,用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架,若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数.
解:由题意知,AB=2x,的长为πx,
于是AD=,
所以y=2x·+,
即y=-x2+x.
由解得0所以所求函数的定义域为(0,).
故所求的函数为y=-x2+x(0[例5] 求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
(3)y=;
(4)y=2x+4.
解:(1)因为0≤16-x2≤16,所以0≤≤4,即函数y=的值域为[0,4].
(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为1≤x≤5,由函数图象可知y∈[2,11].
(3)(分离常数法)因为y==1-,
且定义域为{x|x≠-1},所以≠0,即y≠1.
所以函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠1}.
(4)(换元法)令t=(t≥0),则x=1-t2,
则y=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0),
结合图象可得函数的值域为(-∞,4].
1.已知函数f(x)=x2,x∈{-1,0,1},则函数的值域为(　C　)
A.{-1,0,1} B.[0,1]
C.{0,1} D.[0,+∞)
解析:由x∈{-1,0,1},代入f(x)=x2,解得f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1,根据集合的互异性得函数的值域为{0,1}.故选C.
2.已知函数f(x)=x2+1,那么f(a+1)的值为(　C　)
A.a2+a+2 B.a2+1
C.a2+2a+2 D.a2+2a+1
解析:因为f(x)=x2+1,
所以f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2.故选C.
3.(2022·河北石家庄高一期中)函数f(x)=的定义域为(　A　)
A.[1,2)∪(2,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,2) D.[1,+∞)
解析:解得x≥1,且x≠2,故函数的定义域是[1,2)∪(2,+∞).故选A.
4.若函数y=f(x)的定义域是[0,6],则函数g(x)=的定义域是(　C　)
A.[0,2] B.(0,2)
C.[0,2) D.(0,3)
解析:因为函数y=f(x)的定义域是[0,6],
所以由0≤3x≤6,得0≤x≤2,
即f(3x)的定义域为[0,2].
所以g(x)=的定义域是[0,2).故选C.
选题明细表
知识点、方法 题号
函数的概念 7,9
函数的定义域 1,5,13
相等函数 3,8
函数值(或值域) 2,4,6,10,11,12
基础巩固
1.(2022·辽宁沈阳月考)函数f(x)=-的定义域是(　A　)
A.[-1,0)∪(0,+∞) B.[-1,+∞)
C.R D.(-∞,0)∪(0,+∞)
解析:令解得x≥-1,且x≠0,
所以函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).故选A.
2.下列四个函数:①y=x;②y=x-1;③y=x2-1;④y=.其中定义域与值域相同的是(　C　)
A.①③ B.①②③
C.①②④ D.①②③④
解析:根据一次函数的性质可知,y=x,y=x-1的定义域和值域为R,符合题意;根据二次函数的性质可知,y=x2-1的定义域为R,值域为
[-1,+∞),不符合题意;y=的定义域和值域都为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意.故选C.
3.(2022·四川高一期中)中文“函数”一词,最早是由近代数学家李善兰翻译的,之所以这么翻译,他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列选项中是相等函数的是(　C　)
A.y=x0与y=1 B.y=x与y=
C.y=x与y= D.y=|x|与y=
解析:A中y=x0定义域为{x|x≠0},而y=1定义域为R,所以不相等;B中y=x与y==|x|对应关系不同,所以不相等;C中y==x与y=x定义域、对应关系相同,所以相等;D中y=|x| 定义域为R,而y=定义域为{x|x≠0},定义域不同,所以不相等.故选C.
4.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是(　A　)
A.1 B.0
C.-1 D.2
解析:因为f(x)=ax2-1,所以f(-1)=a-1,
f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1,
所以a(a-1)2=0.又因为a为正数,所以a=1.故选A.
5.已知f(x)=,则f(3x-2)的定义域为(　A　)
A.[,] B.[-1,]
C.[-3,1] D.[,1]
解析:对于函数f(x)=,-x2+2x+3≥0,即x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,3].对于函数y=f(3x-2),-1≤3x-2≤3,解得≤x≤.因此,函数f(3x-2)的定义域为[,].故选A.
6.已知f(x)=,则f(0)+f(-1)=　　 　　,函数的值域为　　　　.
解析:因为f(0)==1,f(-1)==,所以f(0)+f(-1)=.
因为x2≥0,所以1+x2≥1,所以0<≤1.
答案:　(0,1]
能力提升
7.(2021·安徽高一期中)下列关于x,y的关系中为函数的是(　D　)
A.y=+
B.x2+y2=1
C.y=
D.
x 1 2 3 4
y 0 5 -6 11
解析:根据函数的定义,自变量在其允许取值范围内任意取一个值,有唯一的函数值与其对应.
选项A中的表达式中,x的取值范围为,故它不是函数;
选项B中的表达式,当x在它允许取值范围取值时,y的值不唯一,故它不是函数;
选项C中,当x=1时,y的值不唯一,故它不是函数;只有选项D中的x,y满足函数的定义.故选D.
8.(多选题)下列各对函数中相等的是(　BD　)
A.f(x)=2x-1与g(x)=2x-x0
B.f(x)=与g(x)=|2x+1|
C.f(n)=2n+2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)
D.f(x)=3x+2与g(t)=3t+2
解析:选项A中函数g(x)=2x-x0=2x-1,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,不相等;
选项B中函数f(x)==|2x+1|与函数g(x)=|2x+1|的定义域和对应关系相同,相等;
选项C中函数f(n)=2n+2(n∈Z)与函数g(n)=2n(n∈Z)的对应关系不相同,不相等;
选项D中函数f(x)=3x+2与函数g(t)=3t+2的定义域和对应关系相同,相等.故选BD.
9.已知集合A={1,2,3},B={4,5},则从A到B的函数f(x)有
　　　　个.
解析:抓住函数的“取元任意性,取值唯一性”,利用列表方法确定函数的个数.
f(1) 4 4 4 4 5 5 5 5
f(2) 4 4 5 5 4 4 5 5
f(3) 4 5 4 5 4 5 4 5
由表可知,这样的函数有8个.
答案:8
10.若函数f(x)=,则f(x)的定义域为　　　　 　　,
f(-2)+f(2)的值为　 .
解析:由题意得8-2x-x2≥0,且|x|-1≠0,
解得-4≤x≤2,且x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为[-4,-1)∪(-1,1)∪(1,2].
由f(2)==0,f(-2)==2,
可知f(-2)+f(2)的值为2.
答案:[-4,-1)∪(-1,1)∪(1,2]　2
11.求下列函数的值域:
(1)y=;
(2)y=x-;
(3)y=2-.
解:(1)y===5+,且≠0,
所以y≠5,所以函数的值域是{y|y≠5}.
(2)令t=(t≥0),
所以x=-t2+,
所以y=-t2-t+=-(t+1)2+1,
当t≥0时,y≤,所以函数的值域为(-∞,].
(3)y=2-=2-,
因为0≤≤=2,
所以y=2-的值域为[0,2].
12.已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求证:f(x)+f()是定值;
(3)求f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 020)+f()的值.
(1)解:因为f(x)=,
所以f(2)+f()=+=1.
f(3)+f()=+=1.
(2)证明:f(x)+f()=+=+==1(定值).
(3)解:由(2)知f(x)+f()=1,
所以f(2)+f()=1,f(3)+f()=1,
f(4)+f()=1,…,
f(2 020)+f()=1.
所以f(2)+f()+f(3)+f()+…+f(2 020)+f()=2 019.
应用创新
13.(2021·上海月考)函数y=的值域为[-2,2],求实数a的值.
解:由y=,得yx2-yx+y=x2+ax-2,
整理成关于x方程的形式为(1-y)x2+(a+y)x-2-y=0,方程有解,
又由题意知,y∈[-2,2].
①若y=1,则(a+1)x-3=0,该方程有解,所以a≠-1;
②若y≠1,则Δ=(a+y)2+4(1-y)(2+y)≥0,
即3y2+(4-2a)y-a2-8≤0,且该不等式的解集为[-2,2],
所以-2,2是方程3y2+(4-2a)y-a2-8=0的两实根,
所以解得a=2.
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