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3.2　函数的基本性质
3.2.1　函数的单调性与最值
核心知识目标 核心素养目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性. 2.利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义. 3.会根据函数的单调性定义,判断、证明单调性. 4.理解函数的最大(最小)值及几何意义. 5.利用单调性求最值、比较大小、解不等式. 1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程,体会用符号形式表达单调性定义的必要性,培养数学抽象和直观想象的核心素养. 2.通过图象经历函数最值的抽象过程,发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.利用单调性求最值、比较大小、解不等式,强化逻辑推理和数学运算的核心素养.
1.函数的最大(小)值
以下设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如不加说明,我们认为I是个区间.
如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.
如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b),称m为f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点.
最大值和最小值统称为最值.
2.函数的单调性
如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1f(x2),就称f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调递减,如图(2).
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间.
1.下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是(　D　)
A.f(x)=- B.f(x)=x
C.f(x)=-x2 D.f(x)=1-x
解析:由函数的图象知f(x)=1-x在(-∞,0)上单调递减.故选D.
2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　D　)
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析:因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0, 3],所以当x=1时,函数y取得最小值为-1,
当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1, 3].故选D.
3.已知函数f(x)=在区间[1,2]上的最大值为A,最小值为B,则A-B=　　　　.
解析:因为f(x)=在[1,2]上单调递减,
所以A=f(1)=1,B=f(2)=,
则A-B=.
答案:
4.已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出y=f(x)的单调区间,增区间为　　　　　　　　　,减区间为　　　　.
解析:由图象可知,f(x)在[-2,6]上的递增区间为[-2,-1]和[2,6],减区间为[-1,2].
答案:[-2,-1]和[2,6]　[-1,2]
　函数最值
[例1] 作出函数f(x)=|x-2|(x+1)的图象,并判断其是否存在最大值和最小值.
解:当x≥2,即x-2≥0时,
f(x)=(x-2)(x+1)
=x2-x-2
=(x-)2-;
当x<2,即x-2<0时,
f(x)=-(x-2)(x+1)
=-x2+x+2
=-(x-)2+.
所以f(x)=
画出该分段函数的图象,如图.
由图象可知,函数f(x)不存在最大值,也不存在最小值.
[变式训练1-1] 若本例函数f(x)在(a,2]上既有最小值又有最大值,则a的取值范围是　 .
解析:结合图象及所给区间(a,2]可知,函数f(x)不可能在a处取最值,可以在x=2处取最值,因此要使函数f(x)既有最大值又有最小值,需-1≤a<,即a∈[-1,).
答案:[-1,)
[变式训练1-2] 若将本例函数f(x)的定义域改为[-3,3],则函数f(x)是否存在最值.
解:由图象可知,当x∈[-3,]时,函数f(x)单调递增;当x∈[,2]时,函数f(x)单调递减;当x∈[2,3]时,函数f(x)单调递增,
又f(3)=4,且f(-3)=-10,
则f(3)>f(),f(-3)利用图象求函数最值的方法
(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象.
(2)根据图象找出最高点和最低点.
(3)图象最高点的纵坐标是函数最大值,最低点纵坐标是函数最小值.
　函数单调性的证明(定义法判断函数单调性)
[例2] 已知函数f(x)=的图象过点(1,2).
(1)求f(-2),f()的值;
(2)试判断函数在(-1,+∞)上的单调性,并给予证明.
解:(1)由函数f(x)=的图象过点(1,2),得
f(1)==2,
解得a=5,
所以f(x)=,
得f(-2)==11,
f()==1.
(2)函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下:
在(-1,+∞)上任取x1,x2且-1有f(x1)-f(x2)=-
=
=
=<0,
所以f(x1)故函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤
　函数单调性的应用
探究角度1　二次函数单调性的应用
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-6ax+1.
(1)若函数f(x)的单调区间是(-∞,6],则a的取值集合是　　　　;
(2)若函数f(x)在(-∞,6]上单调递减,则a的取值集合是　　　　.
解析:(1)因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],
又由已知条件知f(x)的单调区间是(-∞,6],
所以3a=6,所以a=2.
所以满足条件的a的取值集合是{2}.
(2)因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],
又由已知条件知f(x)在(-∞,6]上单调递减,
所以3a≥6,所以a≥2.
所以满足条件的a的取值集合是{a|a≥2}.
答案:(1){2}　(2){a|a≥2}
[变式训练3-1] 若函数f(x)=x2-6ax+1在(-∞,6]上不是单调函数,则a的取值范围是　.
解析:由于函数f(x)=x2-6ax+1的对称轴方程是x=3a,
因此当函数f(x)在(-∞,6]上不单调时,有3a<6.
即a<2.
答案:(-∞,2)
[即时训练3-1] (2022·吉林长春高一上期中)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1] B.[-1,3]
C.[3,+∞) D.[3,+∞)∪(-∞,-1]
解析:因为f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1图象的开口方向向上,对称轴方程为x=1-a,
又因为f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,
所以1-a≥2或1-a≤-2,
解得a≥3或a≤-1.
故选D.
(1)研究二次函数的单调性,首先应明确二次函数图象的开口方向(二次项系数的正负)与二次函数图象的对称轴方程.
(2)“函数在某一个区间I上单调”与“函数的单调区间是I”是两个不同的概念.前者是函数相应单调区间的子集(如本例(2)),而后者就是函数的单调区间(如本例(1)).
探究角度2　含参数分段函数单调性
[例4] 若函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,1] B.(,+∞)
C.[1,2] D.[1,+∞)
解析:因为函数f(x)=
满足对任意的实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,
所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
所以f(x)在(-∞,1]与(1,+∞)上均为增函数,
即
解得1≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[1,2].故选C.
[即时训练4-1] 已知函数f(x)=
是R上的减函数,那么a的取值范围是(　　)
A.(0,3) B.(0,3]
C.(0,2) D.(0,2]
解析:因为f(x)为R上的减函数,
所以当x≤1时,f(x)单调递减,
则a-3<0.①
当x>1时,f(x)单调递减,则a>0.②
又由题可知(a-3)·1+5≥,③
则由①②③式可得0(1)对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则左边函数值小于或等于右边函数值(若函数是减函数,则右边函数值小于或等于左边函数值),这样才能满足分段函数在实数集R上的单调递增(减),否则求出的参数范围会出现错误.
(2)函数单调性的等价形式
对于定义域内的区间D上任意的x1,x2,且x1≠x2,若>0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数是增函数;
若<0或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数是减函数.
探究角度3　复合函数的单调性
[例5] (2022·浙江杭州高一期中)函数y=的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,-3) B.(-∞,-1)
C.(-1,+∞) D.(1,+∞)
解析:由x2+2x-3≥0可得x≤-3或x≥1.
y=可看作由y=和u=x2+2x-3复合而成的.
又u=x2+2x-3=(x+1)2-4在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
又y=单调递增,
所以f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故y=的单调递增区间是(1,+∞).故选D.
[即时训练5-1] (2022·重庆高一月考)函数f(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,3] B.[3,4]
C.[2,3] D.[3,+∞)
解析:因为f(x)=,
所以-x2+6x-8≥0,
即x2-6x+8≤0,
所以(x-2)(x-4)≤0,解得2≤x≤4.
所以f(x)=的定义域为{x|2≤x≤4}.
t=-x2+6x-8的图象是开口方向向下的抛物线,对称轴为直线x=3,
单调递增区间为(-∞,3].则故得x∈[2,3],
所以函数f(x)=的单调递增区间为[2,3].故选C.
判断复合函数的单调性,首先应明确函数的“复合”形式,结合复合函数单调性判断方法.
判断复合函数单调性,首先求函数定义域.
探究角度4　利用单调性解不等式
[例6] 已知函数f(x)是定义在[2,+∞)上的增函数,若f(2a2-5a+4)A.(-∞,)∪(2,+∞)
B.[2,6)
C.(0,]∪[2,6)
D.(0,6)
解析:由题意得,2≤2a2-5a+4解得0所以实数a的取值范围为(0,]∪[2,6).故选C.
[即时训练6-1] 已知定义在[0,+∞)上的减函数f(x),若f(2a-1)>f(),则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,) B.(,)
C.(,+∞) D.[,)
解析:根据题意,0≤2a-1<,解得≤a<,即a的取值范围为[,).故选D.
在求解抽象函数不等式时,利用函数单调性将“f”去掉,使其转化为具体的不等式,此时应特别注意函数的定义域.
探究角度5　利用单调性求函数最值
[例7] 已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值.
解:(1)f(x)在(-1,+∞)上单调递增,证明如下:
任取-1则f(x1)-f(x2)=-=.
因为-10,x2+1>0,
x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0 f(x1)所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(2)==,
最大值f(4)==.
[即时训练7-1] 已知函数f(x)=+1.
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)求f(x)在[1, 3]上的最大(小)值.
解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1因为x2>x1>0,
所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,
所以当x=1时,函数f(x)取最大值,最大值为f(1)=2,
当x=3时,函数f(x)取最小值,最小值为f(3)=.
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b).
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
[例1] 若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析:因为f(x)=x2+a|x-2|,
所以f(x)=x2+a|x-2|=
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以
解得-4≤a≤0.
所以实数a的取值范围是[-4,0].
答案:[-4,0]
[例2] 已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)解析:
如图.因为f(x)在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
所以-=1,所以a=-2.
因为f(m+2)f(0)=f(2),
所以0所以-2即实数m的取值范围为(-2,0).
答案:(-2,0)
[例3] 已知函数f(x)=求函数f(x)的最大值、最小值.
解:
作出f(x)的图象如图.
由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;
当x=时,
f(x)取最小值为-.
所以f(x)的最大值为2,最小值为-.
1.(多选题)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的有(　ABD　)
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)≤f(x1)D.>0
解析:C中x1与x2的大小无法确定,故不能比较函数值的大小.故选ABD.
2.函数f(x)=在[-1,2]上的值域是(　C　)
A.(0,] B.[,]
C.[,3] D.(,3)
解析:函数f(x)=在[-1,2]上是减函数,由f(-1)=3,f(2)=.故选C.
3.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)解析:因为f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)所以 解得1≤x<.
答案:[1,)
4.已知函数f(x)=的图象为如图所示实线部分,则函数的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
解析:当-≤x≤1时,由f(x)=x2得f(x)最大值为f(1)=1,最小值为f(0)=0;
当x>1时,f(x)=在(1,+∞)上为减函数,无最小值.
答案:1　0
选题明细表
知识点、方法 题号
函数单调性的判断 1,2,5,13
函数单调性的应用 7,8,12
函数值域和最值 3,4,6,9,10,11,14
基础巩固
1.下列说法中,正确的有(　B　)
①若任意x1,x2∈I,当x10,则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-在定义域上是增函数;④函数y=的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:当x10知f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)2.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.单调性不能确定
解析:函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,仅凭区间内有限个函数值的关系,不能作为判断函数单调性的依据,A,B,C错误,D正确.故选D.
3.函数f(x)=的最小值是(　B　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:当x>-1时,f(x)=x2的最小值为f(0)=0;当x≤-1时,f(x)=-x单调递减,可得f(x)≥1,综上可得函数f(x)的最小值为0.故选B.
4.给定函数f(x)=x+2,g(x)=4-x2,对于 x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},则M(x)的最大值为(　C　)
A.0 B.1 C.3 D.4
解析:f(x)=x+2,g(x)=4-x2,
作出函数M(x)=min{f(x),g(x)}的图象如图中实线部分所示,
由图可知,M(x)的最大值为3.故选C.
5.下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)的是(　B　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1
解析:因为对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),所以函数f(x)单调递减.
因为f(x)=x2,f(x)=|x|,f(x)=2x+1在(0,+∞)上单调递增,f(x)=在(0,+∞)上单调递减.故选B.
6.函数f(x)=的最大值是　 .
解析:t=1-x(1-x)=(x-)2+≥.
所以0答案:
能力提升
7.若函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上单调递减,则下列不等式成立的是(　B　)
A.f()>f(a2-a+1)
B.f()≥f(a2-a+1)
C.f()D.f()≤f(a2-a+1)
解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
且a2-a+1=(a-)2+≥>0,
所以f(a2-a+1)≤f().
故选B.
8.(多选题)若函数f(x)=的值域是[0,+∞),则实数a的可能取值是(　CD　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:f(x)=的值域是[0,+∞),
可得f(x)的最小值为0,显然a≠0,
若a<0,由y=ax2+ax+2的图象为开口方向向下的抛物线,可得f(x)的值域不为[0,+∞),
所以a>0,且Δ≥0,即a2-8a≥0,解得a≥8.故选CD.
9.函数y=2x+,则(　A　 )
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.有最小值,最大值
D.既无最大值,也无最小值
解析:设=t(t≥0),则x=,
所以y=1-t2+t=-(t-)2+(t≥0),对称轴t=∈[0,+∞),所以y在[0,]上单调递增,
在[,+∞)上单调递减,所以y在t=处取得最大值,无最小值.
故选A.
10.已知函数f(x)=,且f(1)=3,则a=　　　　;函数f(x)在[2,4]上的最小值为　　　　.
解析:因为f(1)=3,
所以f(1)==3,
所以a=1,所以f(x)=.
设2≤x1则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-).
由2≤x10.
所以f(x1)所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
因此函数f(x)在区间[2,4]的最小值为f(2)=3.
答案:1　3
11.(2022·重庆高一联考)已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2-3x+1,其中x∈R.则f(x)-的最小值为　　　　.
解析:由2f(x)-f(-x)=x2-3x+1可知2f(-x)-f(x)=x2+3x+1,与已知联立可解得f(x)=x2-x+1=(x-)2+≥,
令t=f(x),则g(t)=t-,t≥.
易知函数g(t)在[,+∞)上单调递增,
所以g(t)min=g()=-,
即所求最小值为-.
答案:-
12.求函数f(x)=x+(x>0)的单调区间.
解:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1(x1+)-(x2+)=(x1-x2)-=.
因为00.
由于x1x2-9的符号不能确定,因此需要对x1,x2的取值进行讨论.
当x1,x2∈(0,3]时,有x1x2-9<0,
所以>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,3]上单调
递减;
当x1,x2∈[3,+∞)时,x1x2-9>0,
所以<0,即f(x1)综上可知,函数f(x)=x+(x>0)的单调递减区间是(0,3],单调递增区间是[3,+∞).
13.已知函数f(x)=ax+的图象经过点A(1,0),B(2,-).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[,1]上的值域.
解:(1)因为f(x)的图象过A(1,0),B(2,-),
所以解得
所以f(x)=-x+.
(2)函数f(x)=-x+在(0,+∞)上单调递减,证明如下:
设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(-x1+)-(-x2+)=(x2-x1)+=,
由x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,x1x2+1>0.
由x10,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=-x+在(0,+∞)上单调递减.
(3)由(2)知,函数f(x)=-x+在[,1]上单调递减,
所以f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f()=,
所以f(x)的值域是[0,].
应用创新
14.定义在R上的函数f(x)满足:
①对于任意的实数m,n等式f(m+n)=f(m)+f(n)恒成立;
②当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判断函数f(x)在R上的单调性;
(2)举出一个符合条件的函数f(x).
解:(1) x1,x2∈R,x1由已知f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]=
-f(x2-x1),
又当x>0时,f(x)<0,所以由x2-x1>0,得f(x2-x1)<0,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)因此,f(x)在R上是减函数.
(2)f(x)=-2x.(答案不唯一)
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3.2　函数的基本性质
3.2.1　函数的单调性与最值
核心知识目标 核心素养目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.
2.利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义.
3.会根据函数的单调性定义,判断、证明单调性.
4.理解函数的最大(最小)值及几何意义.
5.利用单调性求最值、比较大小、解不等式. 1.结合实例,经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程,体会用符号形式表达单调性定义的必要性,培养数学抽象和直观想象的核心素养.
2.通过图象经历函数最值的抽象过程,发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
3.利用单调性求最值、比较大小、解不等式,强化逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识探究·素养启迪
1.函数的最大(小)值
以下设D是函数f(x)的定义域,I是D的一个非空的子集.如不加说明,我们认为I是个区间.
如果有a∈D,使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a),称M为f(x)的最大值,a为f(x)的最大值点.
如果有b∈D,使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立,就说f(x)在x=b处取到最小值m=f(b),称m为f(x)的最小值,b为f(x)的最小值点.
最大值和最小值统称为最值.
知识探究
2.函数的单调性
如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1f(x2),就称f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调递减,如图(2).
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的单调区间.
小试身手
解析:由函数的图象知f(x)=1-x在(-∞,0)上单调递减.故选D.
D
2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为(　 　)
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
解析:因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0, 3],所以当x=1时,函数y取得最小值为-1,
当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1, 3].故选D.
D
4.已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出y=f(x)的单调区间,增区间为　　　　　　　　　,减区间为　　　　.
解析:由图象可知,f(x)在[-2,6]上的递增区间为[-2,-1]和[2,6],减区间为[-1,2].
答案:[-2,-1]和[2,6]　[-1,2]
课堂探究·素养培育
探究点一
函数最值
[例1] 作出函数f(x)=|x-2|(x+1)的图象,并判断其是否存在最大值和最
小值.
[变式训练1-1] 若本例函数f(x)在(a,2]上既有最小值又有最大值,则a的取值范围是　 .
[变式训练1-2] 若将本例函数f(x)的定义域改为[-3,3],则函数f(x)是否存在最值.
方法总结
利用图象求函数最值的方法
(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象.
(2)根据图象找出最高点和最低点.
(3)图象最高点的纵坐标是函数最大值,最低点纵坐标是函数最小值.
探究点二
函数单调性的证明(定义法判断函数单调性)
方法总结
利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤
探究角度1　二次函数单调性的应用
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-6ax+1.
(1)若函数f(x)的单调区间是(-∞,6],则a的取值集合是　　　　;
探究点三
函数单调性的应用
解析:(1)因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],
又由已知条件知f(x)的单调区间是(-∞,6],
所以3a=6,所以a=2.
所以满足条件的a的取值集合是{2}.
答案:(1){2}　
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-6ax+1.
(2)若函数f(x)在(-∞,6]上单调递减,则a的取值集合是　　　　.
解析:(2)因为f(x)=x2-6ax+1的单调递减区间是(-∞,3a],
又由已知条件知f(x)在(-∞,6]上单调递减,
所以3a≥6,所以a≥2.
所以满足条件的a的取值集合是{a|a≥2}.
答案:(2){a|a≥2}
[变式训练3-1] 若函数f(x)=x2-6ax+1在(-∞,6]上不是单调函数,则a的取值范围是　 .
解析:由于函数f(x)=x2-6ax+1的对称轴方程是x=3a,
因此当函数f(x)在(-∞,6]上不单调时,有3a<6.
即a<2.
答案:(-∞,2)
[即时训练3-1] (2022·吉林长春高一上期中)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+
2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1] B.[-1,3]
C.[3,+∞) D.[3,+∞)∪(-∞,-1]
解析:因为f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1图象的开口方向向上,对称轴方程为x=1-a,
又因为f(x)=x2+2(a-1)x+2a2-1在区间[-2,2]上是单调函数,
所以1-a≥2或1-a≤-2,
解得a≥3或a≤-1.
故选D.
方法总结
(1)研究二次函数的单调性,首先应明确二次函数图象的开口方向(二次项系数的正负)与二次函数图象的对称轴方程.
(2)“函数在某一个区间I上单调”与“函数的单调区间是I”是两个不同的概念.前者是函数相应单调区间的子集(如本例(2)),而后者就是函数的单调区间(如本例(1)).
方法总结
(1)对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.若函数是增函数,则左边函数值小于或等于右边函数值(若函数是减函数,则右边函数值小于或等于左边函数值),这样才能满足分段函数在实数集R上的单调递增(减),否则求出的参数范围会出现错误.
方法总结
判断复合函数的单调性,首先应明确函数的“复合”形式,结合复合函数单调性判断方法.
易错警示
判断复合函数单调性,首先求函数定义域.
方法总结
在求解抽象函数不等式时,利用函数单调性将“f”去掉,使其转化为具体的不等式,此时应特别注意函数的定义域.
方法总结
(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a).
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b).
(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中确定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.
(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
备用例题
[例1] 若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案:[-4,0]
[例2] 已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)答案:(-2,0)
课堂达标
解析:C中x1与x2的大小无法确定,故不能比较函数值的大小.故选ABD.
ABD
C
3.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)答案:1　03.2　函数的基本性质
3.2.1　函数的单调性与最值
选题明细表
知识点、方法 题号
函数单调性的判断 1,2,5,13
函数单调性的应用 7,8,12
函数值域和最值 3,4,6,9,10,11,14
基础巩固
1.下列说法中,正确的有(　B　)
①若任意x1,x2∈I,当x10,则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-在定义域上是增函数;④函数y=的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:当x10知f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)2.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.单调性不能确定
解析:函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,仅凭区间内有限个函数值的关系,不能作为判断函数单调性的依据,A,B,C错误,D正确.故选D.
3.函数f(x)=的最小值是(　B　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:当x>-1时,f(x)=x2的最小值为f(0)=0;当x≤-1时,f(x)=-x单调递减,可得f(x)≥1,综上可得函数f(x)的最小值为0.故选B.
4.给定函数f(x)=x+2,g(x)=4-x2,对于 x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为M(x)=min{f(x),g(x)},则M(x)的最大值为(　C　)
A.0 B.1 C.3 D.4
解析:f(x)=x+2,g(x)=4-x2,
作出函数M(x)=min{f(x),g(x)}的图象如图中实线部分所示,
由图可知,M(x)的最大值为3.故选C.
5.下列函数f(x)中,满足对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)的是(　B　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1
解析:因为对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2),所以函数f(x)单调递减.
因为f(x)=x2,f(x)=|x|,f(x)=2x+1在(0,+∞)上单调递增,f(x)=在(0,+∞)上单调递减.故选B.
6.函数f(x)=的最大值是　 .
解析:t=1-x(1-x)=(x-)2+≥.
所以0答案:
能力提升
7.若函数f(x)的定义域为R,且在(0,+∞)上单调递减,则下列不等式成立的是(　B　)
A.f()>f(a2-a+1)
B.f()≥f(a2-a+1)
C.f()D.f()≤f(a2-a+1)
解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
且a2-a+1=(a-)2+≥>0,
所以f(a2-a+1)≤f().
故选B.
8.(多选题)若函数f(x)=的值域是[0,+∞),则实数a的可能取值是(　CD　)
A.6 B.7 C.8 D.9
解析:f(x)=的值域是[0,+∞),
可得f(x)的最小值为0,显然a≠0,
若a<0,由y=ax2+ax+2的图象为开口方向向下的抛物线,可得f(x)的值域不为[0,+∞),
所以a>0,且Δ≥0,即a2-8a≥0,解得a≥8.故选CD.
9.函数y=2x+,则(　A　 )
A.有最大值,无最小值
B.有最小值,无最大值
C.有最小值,最大值
D.既无最大值,也无最小值
解析:设=t(t≥0),则x=,
所以y=1-t2+t=-(t-)2+(t≥0),对称轴t=∈[0,+∞),所以y在[0,]上单调递增,
在[,+∞)上单调递减,所以y在t=处取得最大值,无最小值.
故选A.
10.已知函数f(x)=,且f(1)=3,则a=　　　　;函数f(x)在[2,4]上的最小值为　　　　.
解析:因为f(1)=3,
所以f(1)==3,
所以a=1,所以f(x)=.
设2≤x1则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-).
由2≤x10.
所以f(x1)所以函数f(x)在[2,+∞)上单调递增.
因此函数f(x)在区间[2,4]的最小值为f(2)=3.
答案:1　3
11.(2022·重庆高一联考)已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2-3x+1,其中x∈R.则f(x)-的最小值为　　　　.
解析:由2f(x)-f(-x)=x2-3x+1可知2f(-x)-f(x)=x2+3x+1,与已知联立可解得f(x)=x2-x+1=(x-)2+≥,
令t=f(x),则g(t)=t-,t≥.
易知函数g(t)在[,+∞)上单调递增,
所以g(t)min=g()=-,
即所求最小值为-.
答案:-
12.求函数f(x)=x+(x>0)的单调区间.
解:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1(x1+)-(x2+)=(x1-x2)-=.
因为00.
由于x1x2-9的符号不能确定,因此需要对x1,x2的取值进行讨论.
当x1,x2∈(0,3]时,有x1x2-9<0,
所以>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(0,3]上单调
递减;
当x1,x2∈[3,+∞)时,x1x2-9>0,
所以<0,即f(x1)综上可知,函数f(x)=x+(x>0)的单调递减区间是(0,3],单调递增区间是[3,+∞).
13.已知函数f(x)=ax+的图象经过点A(1,0),B(2,-).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[,1]上的值域.
解:(1)因为f(x)的图象过A(1,0),B(2,-),
所以解得
所以f(x)=-x+.
(2)函数f(x)=-x+在(0,+∞)上单调递减,证明如下:
设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(-x1+)-(-x2+)=(x2-x1)+=,
由x1,x2∈(0,+∞)得,x1x2>0,x1x2+1>0.
由x10,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=-x+在(0,+∞)上单调递减.
(3)由(2)知,函数f(x)=-x+在[,1]上单调递减,
所以f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f()=,
所以f(x)的值域是[0,].
应用创新
14.定义在R上的函数f(x)满足:
①对于任意的实数m,n等式f(m+n)=f(m)+f(n)恒成立;
②当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.
(1)判断函数f(x)在R上的单调性;
(2)举出一个符合条件的函数f(x).
解:(1) x1,x2∈R,x1由已知f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]=
-f(x2-x1),
又当x>0时,f(x)<0,所以由x2-x1>0,得f(x2-x1)<0,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)因此,f(x)在R上是减函数.
(2)f(x)=-2x.(答案不唯一)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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