资源简介

4.1.3　幂函数
选题明细表
知识点、方法 题号
幂函数的概念、图象 1,2,4,7,8,12
幂函数的性质 3,4,5,6,10
幂函数综合应用 9,11,13,14
基础巩固
1.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　D　)
A.0 B.1 C.1或2 D.2
解析:因为函数f(x)是幂函数,
所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以2m-1>0,即m>,故m=2.故选D.
2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　B　)
解析:y=的图象位于第一象限,且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B.故选B.
3.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)(　D　)
A.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.既不是奇函数,也不是偶函数,在(0,+∞)上单调递增
解析:由题意设f(x)=xn,因为函数f(x)的图象经过点(3,),所以=3n,解得n=,即f(x)=,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.故选D.
4.(多选题)下列命题中是真命题的有(　BD　)
A.幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数
D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小
解析:由于幂函数f(x)=x-1的图象不经过点(0,0),所以A不正确;根据幂函数的定义,当x>0时,y不可能小于0,因此幂函数的图象不可能过第四象限;如幂函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,所以C不正确;根据幂函数的图象与性质,可得当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内单调递减,所以D是正确的.故选BD.
5.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上为增函数,则实数m=
　　　 　.
解析:因为f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,且在(0,+∞)上为增函数,
所以故m=4.
答案:4
6.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则函数 f(x)=　　 　　,若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　 　　.
解析:设幂函数f(x)=xα,由f(4)=4α=2,得到α=,于是f(x)==.若f(2-a)>f(a-1),则>,所以解得 1≤a<.
答案:　[1,)
能力提升
7.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(　B　)
A.-1C.-11 D.n<-1,m>1
解析:由幂函数的图象特征可知n<-1,08.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　C　)
A.0 　　　　B.1
C.2 　　　　D.3
解析:由函数图象可知,幂函数为偶函数,且幂指数小于0,当m=0时,
m2-4m=0,不合题意;当m=1时,m2-4m=-3,幂函数为奇函数,不合题意;当m=2时,m2-4m=-4,满足幂函数为偶函数,且幂指数小于0,符合题意;当m=3时,m2-4m=-3,幂函数为奇函数,不合题意.所以m的值为2.
故选C.
9.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)
(x1A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x1)C.> D.<
解析:因为f(x)为幂函数,故可设f(x)=xα,又它的图象经过点(,),可由=()α得出α=,所以f(x)=.设g(x)=xf(x)=x=,它在[0,+∞)上为增函数,若0≤x1
h(x2),故C,D中只能选择C.故选BC.
10.若(m-1<(3-2m,则实数m的取值范围为(　C　)
A.(-∞,) B.[1,]
C.[1,) D.(,]
解析:幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,
由(m-1<(3-2m,
得解不等式组可得则实数m的取值范围为[1,).故选C.
11.已知函数f(x)=,则f(3x-1)解析:由于函数f(x)=是定义在[0,+∞)上的增函数,
所以
所以x>2或≤x<1.
答案:[,1)∪(2,+∞)
12.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.问当x为何值时:
(1)f(x)>g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)解:设f(x)=xα,由题意,得()α=2 α=2,
所以f(x)=x2.同理可得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的大致图象,如图.
由图象可知,
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).
(2)当x=±1时,f(x)=g(x).
(3)当-113.已知幂函数f(x)的图象经过点(3,).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=(x-2)·f(x),试判断函数g(x)在区间[,1]上的单调性,并求函数g(x)在区间[,1]上的值域.
解:(1)设f(x)=xa,
则3a==3-1,则a=-1,
所以f(x)=x-1=(x≠0).
(2)因为g(x)=(x-2)·f(x)==1-,
所以函数g(x)在区间[,1]上单调递增,
所以x=1时,g(x)有最大值-1;
x=时,g(x)有最小值-3.
所以函数g(x)在[,1]上的值域为[-3,-1].
应用创新
14.已知f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　A　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
解析:由题意m2-m-1=1,
得m=-1或m=2,
又对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,
满足>0,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
m=-1时,
4m9-m5-1=-4+1-1=-4<0,不合题意,
m=2时,
4m9-m5-1=4×29-25-1=2 015>0,满足题意,
所以f(x)=x2 015,f(x)是奇函数,
所以f(x)在R上是增函数.
a+b>0,ab<0,
不妨设a>0,b<0,
则a>-b>0,
所以f(a)>f(-b),
即f(a)>-f(b),
所以f(a)+f(b)>0.故选A.
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4.1.3　幂函数
知识探究·素养启迪
1.幂函数
(1)定义:一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数 叫作(α次)幂函数.
知识探究
y=xα
(3)幂函数的图象特征
一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0):
①当α>0时,它在[0,+∞)有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点;
②当α<0时,它在(0,+∞)有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近.
2.常见幂函数的图象与性质
{x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇偶性 函数 函数 函数 函数 .函数
单调性 在(-∞,+∞)上单调 . 在(-∞,0]上单调
,
在(0,+∞)上单调
. 在(-∞,
+∞)上单调 . 在(-∞,0)上单调
,在(0,+∞)上单调 . 在[0,+∞)上单调
.
定点 .
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
小试身手
B
1.下列所给出的函数中,是幂函数的是(　 　)
A.y=-x3 B.y=x-3
C.y=2x3 D.y=x3-1
解析:由幂函数的定义知,只有B符合.故选B.
2.下列函数中,在(-∞,0)上单调递增的是(　 　)
A
3.已知幂函数y=xα的图象经过点(2,4),则f(-3)=　　 　　.
解析:由于幂函数y=xα的图象经过点(2,4),即2α=4,解得α=2,故f(-3)=
(-3)2=9.
答案:9
答案:(-∞,+∞)　偶函数
课堂探究·素养培育
探究点一
幂函数的概念
A.-1 B.0
C.1 D.2
方法总结
幂函数解析式特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
探究点二
幂函数的图象
A.-2或0 B.-1
C.0 D.-2
解析:由幂函数在第一象限的单调性可得,m2+2m-3<0,解得-3A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3
方法总结
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数.
探究点三
幂函数的性质
探究角度1　幂函数的单调性
[例3] 比较下列各组数的大小.
[例3] 比较下列各组数的大小.
[例3] 比较下列各组数的大小.
[即时训练3-1] 比较下列各组中两个数的大小.
方法总结
(1)根据幂函数性质比较大小,首先应明确幂函数单调性,y=xα中,若α>0,函数在(0,+∞)上是增函数;若α<0,则函数在(0,+∞)上是减函数.
(2)利用幂函数性质比较大小
①当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调性比较大小;
②当幂的底数和指数都不相同时,一种方法是作商,通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小;另一种方法是找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小,从而确定两个幂值的大小,而中间值一般选取0或1.
探究角度2　幂函数性质综合应用
[例4] (2022·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1
(m∈R)为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
解:(1)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数,
所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3;
当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去;
当m=3时,m+1=4满足题意;
所以f(x)=x4.
[例4] (2022·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1
(m∈R)为偶函数.
(2)若f(2a+1)>16,求实数a的取值范围.
方法总结
(1)涉及幂函数的奇偶性问题,主要是根据y=xα中α是奇数还是偶数确定.
(2)涉及具有奇偶性的幂函数的单调性综合应用问题,要结合奇、偶函数单调性求解.
备用例题
答案:③
①在区间(0,+∞)上单调递增;
②对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0.
求同时满足①,②的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时f(x)的值域.
解:因为m∈{x|-2都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.当m=-1时,f(x)=
x2只满足条件①而不满足条件②;当m=1时,f(x)=x0条件①,②都不满足.
当m=0时,f(x)=x3条件①,②都满足,则在区间[0,3]上单调递增,f(0)=
03=0,f(3)=33=27,所以x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27].
课堂达标
A
1.下列函数中既是偶函数,又在(0,+∞)上是减函数的是(　 　)
BD
2.(多选题)(2021·山东济南高一期中)若函数y=xα的定义域为R,且为奇函数,则α可能的值为(　 　)
3.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　 　　,b=　　　 　.
解析:由题设知f(3)=9,即3α=9,所以α=2.
所以f(x)=x2,其单调递增区间为[0,+∞).
4.幂函数f(x)=xα的图象过点(3,9),那么函数f(x)的单调递增区间是
　　 　　.
答案:[0,+∞)4.1.3　幂函数
核心知识目标 核心素养目标
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.通过具体实例,结合y=x,y=x2, y=x3,y=x-1,y=的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 以五个常见幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,发展学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养.
1.幂函数
(1)定义:一般来说,当x为自变量而α为非零实数时,函数y=xα叫作(α次)幂函数.
(2)幂函数y=x,y=x2,y=x3,都是正整数次幂函数 y=xn(x∈R,n是正整数)的例子.正整数次幂函数的倒数y=是负整数次幂函数.
负整数次幂函数和正整数次幂函数,统称为整数次幂函数.
y=,y=是分数次幂函数.
(3)幂函数的图象特征
一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0):
①当α>0时,它在[0,+∞)有定义且递增,值域为[0,+∞),函数图象过(0,0)和(1,1)两点;
②当α<0时,它在(0,+∞)有定义且递减,值域为(0,+∞),函数图象过(1,1),向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近.
2.常见幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
单调性 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增
定点 (1,1)
1.下列所给出的函数中,是幂函数的是(　B　)
A.y=-x3 B.y=x-3
C.y=2x3 D.y=x3-1
解析:由幂函数的定义知,只有B符合.故选B.
2.下列函数中,在(-∞,0)上单调递增的是(　A　)
A.y=x3 B.y=x2
C.y= D.y=
3.已知幂函数y=xα的图象经过点(2,4),则f(-3)=　　　　.
解析:由于幂函数y=xα的图象经过点(2,4),即2α=4,解得α=2,故f(-3)=(-3)2=9.
答案:9
4.幂函数y=的定义域为　　　　　　;其奇偶性是　　　　.
解析:因为y==,
所以函数的定义域为(-∞,+∞),且为偶函数.
答案:(-∞,+∞)　偶函数
　幂函数的概念
[例1] 已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是幂函数
解:若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,所以m=-1±.
[即时训练1-1] 已知点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)xa的图象上,则t+a等于(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:因为点(,27)在幂函数f(x)=(t-2)·xa的图象上,
所以f()=(t-2)()a=27,且t-2=1,
解得t=3,a=-3,所以t+a=3-3=0.故选B.
幂函数解析式特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
　幂函数的图象
[例2] 幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　　)
A.-2或0
B.-1
C.0
D.-2
解析:由幂函数在第一象限的单调性可得,m2+2m-3<0,解得-3[即时训练2-1] 幂函数y=x2,y=x-1,y=,y=在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　)
A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3
解析:由于在第一象限内直线x=1的右侧时,幂函数y=xα的图象从上到下相应的指数α由大变小,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,同理,y=x-1在第一象限的图象为C4,y=在第一象限内的图象为C2,y=在第一象限内的图象为C3.故选D.
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数.
　幂函数的性质
探究角度1　幂函数的单调性
[例3] 比较下列各组数的大小.
(1)和2.;
(2)-()和-();
(3)(-π和(-e;
(4)(a2+2和.
解:(1)因为函数y=在(0,+∞)上是减函数,2<2.1,所以>2..
(2)因为y=在(0,+∞)上是增函数,
所以()>(),
所以-()<-().
(3)因为(-π=,(-e=,
又y=在(0,+∞)上是减函数,且π>e.
所以<.
所以(-π<(-e.
(4)因为y=在(0,+∞)上是减函数,
又因为a2+2≥2,
所以(a2+2≤.
[即时训练3-1] 比较下列各组中两个数的大小.
(1)()0.3与()0.3;
(2)(-)-1与(-)-1.
解:(1)因为幂函数y=x0.3在(0,+∞)上是增函数,又>,
所以()0.3>()0.3.
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,
又-<-,所以(-)-1>(-)-1.
(1)根据幂函数性质比较大小,首先应明确幂函数单调性,y=xα中,若α>0,函数在(0,+∞)上是增函数;若α<0,则函数在(0,+∞)上是减函数.
(2)利用幂函数性质比较大小
①当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调性比较大小;
②当幂的底数和指数都不相同时,一种方法是作商,通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小;另一种方法是找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小,从而确定两个幂值的大小,而中间值一般选取0或1.
探究角度2　幂函数性质综合应用
[例4] (2022·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2a+1)>16,求实数a的取值范围.
解:(1)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数,
所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3;
当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去;
当m=3时,m+1=4满足题意;
所以f(x)=x4.
(2)由(1)知,不等式f(2a+1)>16化为(2a+1)4>16,
得2a+1<-2或2a+1>2,
即a<-或a>.
所以实数a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
[即时训练4-1] 已知幂函数f(x)=(m∈N+)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.
解:因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以m2-2m-3<0,所以-1因为m∈N+,所以m=2或1.
又函数图象关于y轴对称,所以m2-2m-3是偶数.
当m=1时,m2-2m-3=-4为偶数;
当m=2时,m2-2m-3=-3为奇数.故m=1.
所以(a+1<(3-2a,
即(a+1<(3-2a.
因为y=在(-∞,+∞)上是增函数,
所以a+1<3-2a,所以a<.
(1)涉及幂函数的奇偶性问题,主要是根据y=xα中α是奇数还是偶数确定.
(2)涉及具有奇偶性的幂函数的单调性综合应用问题,要结合奇、偶函数单调性求解.
[例1] 下列关于函数y=xα与y=αx(α∈{-1,,2,3})的图象正确的是(　　)
解析:函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数,选项A,直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-1;选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=;选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2;选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数y=x3,故C正确.故选C.
[例2] 已知函数f(x)=xn的图象经过点(3,),则f(x) 在区间[,4]上的最小值是(　　)
A.4 B. C.2 D.
解析:由题意知=3n,所以n=-1.所以f(x)=x-1且f(x)在[,4]上是减函数.所以f(x)=x-1在[,4]上的最小值是.故选B.
[例3] 若幂函数y=(m,n∈N*,且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是　　　　.(填序号)
①m,n是奇数,且<1;
②m是偶数,n是奇数,且>1;
③m是偶数,n是奇数,且<1;
④m,n是偶数,且>1.
解析:由题图知,函数y=为偶函数,m为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以0<<1,故③正确.
答案:③
[例4] 已知幂函数y=f(x)=,其中m∈{x|-2①在区间(0,+∞)上单调递增;
②对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0.
求同时满足①,②的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时f(x)的值域.
解:因为m∈{x|-2所以m=-1,0,1.因为对任意x∈R,
都有f(-x)+f(x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.当m=-1时,f(x)=x2只满足条件①而不满足条件②;当m=1时,f(x)=x0条件①,②都不满足.
当m=0时,f(x)=x3条件①,②都满足,则在区间[0,3]上单调递增,f(0)=03=0,f(3)=33=27,所以x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27].
1.下列函数中既是偶函数,又在(0,+∞)上是减函数的是(　A　)
A.y=x-2 B.y=
C.y= D.y=
解析:根据幂函数的性质以及偶函数定义,可知函数y=x-2和y=是偶函数,但y=x-2在(0,+∞)上是减函数,y=在(0,+∞)上是增函数.故选A.
2.(多选题)(2021·山东济南高一期中)若函数y=xα的定义域为R,且为奇函数,则α可能的值为(　BD　)
A.-1 B.1 C. D.3
解析:当α=-1时,f(x)=定义域不是R;
当α=时,f(x)=定义域不是R;当α=1时,f(x)=x 是定义域为R的奇函数;当α=3时,f(x)=x3是定义域为R的奇函数.故选BD.
3.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=　　　　,b=　　　　.
解析:由题意得解得
答案:　
4.幂函数f(x)=xα的图象过点(3,9),那么函数f(x)的单调递增区间是　　　　.
解析:由题设知f(3)=9,即3α=9,所以α=2.
所以f(x)=x2,其单调递增区间为[0,+∞).
答案:[0,+∞)
选题明细表
知识点、方法 题号
幂函数的概念、图象 1,2,4,7,8,12
幂函数的性质 3,4,5,6,10
幂函数综合应用 9,11,13,14
基础巩固
1.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　D　)
A.0 B.1 C.1或2 D.2
解析:因为函数f(x)是幂函数,
所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以2m-1>0,即m>,故m=2.故选D.
2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　B　)
解析:y=的图象位于第一象限,且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B.故选B.
3.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x)(　D　)
A.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.既不是奇函数,也不是偶函数,在(0,+∞)上单调递增
解析:由题意设f(x)=xn,因为函数f(x)的图象经过点(3,),所以=3n,解得n=,即f(x)=,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.故选D.
4.(多选题)下列命题中是真命题的有(　BD　)
A.幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数
D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小
解析:由于幂函数f(x)=x-1的图象不经过点(0,0),所以A不正确;根据幂函数的定义,当x>0时,y不可能小于0,因此幂函数的图象不可能过第四象限;如幂函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,所以C不正确;根据幂函数的图象与性质,可得当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内单调递减,所以D是正确的.故选BD.
5.若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm在(0,+∞)上为增函数,则实数m=　　　　.
解析:因为f(x)=(m2-3m-3)xm为幂函数,且在(0,+∞)上为增函数,所以故m=4.
答案:4
6.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则函数 f(x)=　　　　,若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　　　.
解析:设幂函数f(x)=xα,由f(4)=4α=2,得到α=,于是f(x)==.若f(2-a)>f(a-1),则>,所以解得 1≤a<.
答案:　[1,)
能力提升
7.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(　B　)
A.-1C.-11 D.n<-1,m>1
解析:由幂函数的图象特征可知n<-1,08.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　C　)
A.0 　　　　B.1
C.2 　　　　D.3
解析:由函数图象可知,幂函数为偶函数,且幂指数小于0,当m=0时,m2-4m=0,不合题意;当m=1时,m2-4m=-3,幂函数为奇函数,不合题意;当m=2时,m2-4m=-4,满足幂函数为偶函数,且幂指数小于0,符合题意;当m=3时,m2-4m=-3,幂函数为奇函数,不合题意.所以m的值为2.故选C.
9.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x1)C.> D.<
解析:因为f(x)为幂函数,故可设f(x)=xα,又它的图象经过点(,),可由=()α得出α=,所以f(x)=.设g(x)=xf(x)=x=,它在[0,+∞)上为增函数,若0≤x1h(x2),故C,D中只能选择C.故选BC.
10.若(m-1<(3-2m,则实数m的取值范围为(　C　)
A.(-∞,) B.[1,]
C.[1,) D.(,]
解析:幂函数f(x)=在定义域[0,+∞)上单调递增,由(m-1<(3-2m,
得解不等式组可得则实数m的取值范围为[1,).故选C.
11.已知函数f(x)=,则f(3x-1)解析:由于函数f(x)=是定义在[0,+∞)上的增函数,
所以
所以x>2或≤x<1.
答案:[,1)∪(2,+∞)
12.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.问当x为何值时:
(1)f(x)>g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)解:设f(x)=xα,由题意,得()α=2 α=2,
所以f(x)=x2.同理可得g(x)=x-2.
在同一平面直角坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的大致图象,如图.
由图象可知,
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).
(2)当x=±1时,f(x)=g(x).
(3)当-113.已知幂函数f(x)的图象经过点(3,).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=(x-2)·f(x),试判断函数g(x)在区间[,1]上的单调性,并求函数g(x)在区间[,1]上的值域.
解:(1)设f(x)=xa,
则3a==3-1,则a=-1,
所以f(x)=x-1=(x≠0).
(2)因为g(x)=(x-2)·f(x)==1-,
所以函数g(x)在区间[,1]上单调递增,
所以x=1时,g(x)有最大值-1;
x=时,g(x)有最小值-3.
所以函数g(x)在[,1]上的值域为[-3,-1].
应用创新
14.已知f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　A　)
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
解析:由题意m2-m-1=1,
得m=-1或m=2,
又对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,
满足>0,
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
m=-1时,
4m9-m5-1=-4+1-1=-4<0,不合题意,
m=2时,
4m9-m5-1=4×29-25-1=2 015>0,满足题意,
所以f(x)=x2 015,f(x)是奇函数,
所以f(x)在R上是增函数.
a+b>0,ab<0,
不妨设a>0,b<0,
则a>-b>0,
所以f(a)>f(-b),
即f(a)>-f(b),
所以f(a)+f(b)>0.故选A.
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